2018-2019学年甘肃省宁县第二中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年甘肃省宁县第二中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年甘肃省宁县第二中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．cos（）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．‎ ‎【详解】‎ cos（）＝cos（﹣17π）＝cos（17π）＝cos（π）＝﹣cos．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎2．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（　　）‎ A．4 B．2 C．4π D．2π ‎【答案】A ‎【解析】利用弧长公式，求出圆的半径，再利用扇形的面积公式，求出结果即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵弧度是2的圆心角所对的弧长为4，‎ 根据弧长公式，可得圆的半径为2，‎ ‎∴扇形的面积为：4×2＝4 ，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查扇形的弧长公式与扇形的面积公式，属于基础题．‎ ‎3．已知，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先观察与60°–α的关系，再运用诱导公式即可。‎ ‎【详解】‎ cos（60°–α）=sin[90°–（60°–α）]=sin（30°+α）=，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式，属于基础题，比较容易。‎ ‎4．函数y＝2cosx﹣3的值不可能是（　　）‎ A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣5‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接求出函数y＝2cosx﹣3的值域得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵﹣1≤cosx≤1，∴﹣2≤2cosx≤2，则y＝2cosx﹣3∈[﹣5，﹣1]．‎ ‎∴函数y＝2cosx﹣3的值不可能是0．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦函数值域的求法，是基础的计算题．‎ ‎5．已知事件M”3粒种子全部发芽”，事件N“3粒种子都不发芽”，那么事件M和N是（　　）‎ A．互斥且对立事件 B．不是互斥事件 C．互斥但不对立事件 D．对立事件 ‎【答案】C ‎【解析】事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生，而事件M”3粒种子全部发芽”的对立事件为”3粒种子不都发芽”，可得结论．‎ ‎【详解】‎ 事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生，故事件M和事件N互斥 而事件M”3粒种子全部发芽”的对立事件为”3粒种子不都发芽”，有可能1个不发芽，也有可能2个不发芽，也有可能三个不发芽，故事件M和事件N不对立 故事件M和事件N互斥不对立 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了互斥事件与对立事件的概念，弄清事件M的对立事件是关键，属于基础题．‎ ‎6．我校有高一学生850人，高二学生900人，高三学生1200人，学校团委欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（　　）‎ A．高一学生被抽到的概率最大 B．高二学生被抽到的概率最大 C．高三学生被抽到的概率最大 D．每名学生被抽到的概率相等 ‎【答案】D ‎【解析】根据抽样的定义和性质进行判断即可 ‎【详解】‎ 由抽样的定义知，无论哪种抽样，样本被抽到的概率都相同，‎ 故每名学生被抽到的概率相等，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抽样的应用，结合抽样的性质是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎7．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等均为，从而可得到正确的选项．‎ ‎【详解】‎ ‎∵打电话的顺序是任意的，打电话给甲、乙、丙三人的概率都相等，‎ ‎∴第一个打电话给甲的概率为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．‎ ‎8．点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为（　　）‎ A．（，） B．（，）‎ C．（，） D．（，）‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出Q点所在终边上的最小正角，然后利用任意角的三角函数的定义求出Q点坐标．‎ ‎【详解】‎ 解：点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，‎ 所以Q点所在终边上的最小正角是：，‎ 由任意角的三角函数的定义可知Q点坐标为：（cos，），即（，）．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查任意角的三角函数的定义的应用，象限角的求法，是基础题．‎ ‎9．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 模拟程序的运行，可得 S＝4，n＝1，不满足条件S≥6，S＝8，n＝2‎ 不满足条件n＞3，执行循环体，满足条件S≥6，S＝2，n＝3‎ 不满足条件n＞3，执行循环体，不满足条件S≥6，S＝4，n＝4‎ 此时，满足条件n＞3，退出循环，输出S的值为4．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎10．已知点P（sinα+cosα，tanα）在第四象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（　　）‎ A．（，）∪（，） B．（0，）∪（，）‎ C．（，）∪（，2π） D．（，）∪（π，）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由点P的横坐标大于0且纵坐标小于0解三角不等式求解α的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵点P（sinα+cosα，tanα）在第四象限，‎ ‎∴，‎ 由sinα+cosαsin（α），‎ 得2kπ＜α2kπ+π，k∈Z，‎ 即2kπα＜2kππ，k∈Z．‎ 由tanα＜0，得kπα＜kπ+π，k∈Z．‎ ‎∴α∈（，）∪（，2π）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的符号，考查了三角不等式的解法，是基础题．‎ ‎11．已知函数 f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0， ω＞0，≤)的图象如下，则点的坐标是( )‎ A．(，) B．(，)‎ C．(，) D．(，)‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数f（x）的部分图象求得A、T、ω和φ的值即可．‎ ‎【详解】‎ 由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，‎ A＝2，T＝2×（4﹣1）＝6，‎ ‎∴ω，‎ 又x＝1时，y＝2，‎ ‎∴φ2kπ，k∈Z；‎ ‎∴φ2kπ，k∈Z；‎ 又0＜φ，∴φ，‎ ‎∴点P（，）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 已知函数的图象求解析式 ‎(1).‎ ‎(2)由函数的周期求 ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.‎ ‎12．已知A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点B，则弦AB的长度大于等于半径长度的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由几何概型中的线段型得：弦AB的长度大于等于半径长度的概率为，得解．‎ ‎【详解】‎ 当弦AB的长度大于等于半径长度时，点B在优弧CD上运动，‎ ‎∠COD，‎ 由几何概型中的线段型可得：‎ 弦AB的长度大于等于半径长度的概率为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概型中的线段型，属简单题．‎ 二、填空题 ‎13．已知，则__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先对弦化切，再代入求结果.‎ 详解：因为，所以 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎14．求使得不等式成立的x的取值范围______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】根据正切函数的图象和性质即可得解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，可得：tanx，‎ ‎∴由正切函数的图象和性质可得：x∈．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正切函数的图象和性质的应用，属于基础题．‎ ‎15．比较大小：______cos（）‎ ‎【答案】＞‎ ‎【解析】利用诱导公式化简后，根据三角函数的单调性进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ cos（π）＝cos（﹣4π）＝cos（）＝cos，‎ cos（π）＝cos（﹣4π）＝cos（）＝cos，‎ ‎∵y＝cosx在（0，π）上为减函数，‎ ‎∴coscos，‎ 即cos（π）＞cos（π）．‎ 故答案为：＞．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的大小比较，根据三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎16．将函数的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则下列关于函数y＝g（x）的说法正确的序号是____．‎ ‎（1）当时，函数有最小值； （2）图象关于直线对称；‎ ‎（3）图象关于点对称； （4）在上是增函数．‎ ‎【答案】（1）、（2）‎ ‎【解析】由三角函数图象的变换及三角函数图象的性质逐一判断即可得解．‎ ‎【详解】‎ 由已知将函数的图象向右平移个单位，得函数解析式为h（x）＝2sin[4（x）]＝2sin（4x），‎ 再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）＝2sin（2x），‎ 对于（1），当时，2x∈[，]，函数有最小值，即（1）正确，‎ 对于（2），令2xk，则x，即k＝﹣1时，图象关于直线对称，即（2）正确，‎ 对于（3），令2xkπ，则x，即图象关于点（）对称，即（3）错误，‎ 对于（4），令2kπ2x，解得kπx≤kπ，即函数在上不单调，即（4）错误，‎ 综上，关于函数y＝g（x）的说法正确的序号是（1）、（2），‎ 故答案为：（1）、（2）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数图象的变换及三角函数图象的性质，熟记基本性质，准确计算是关键，属中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知，求sinα﹣cosα的值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用同角三角函数基本关系结合二倍角公式求解即可 ‎【详解】‎ 解：∵，‎ ‎∴sinα﹣cosα＞0，‎ ‎∴sinα﹣cosα ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数基本关系，二倍角公式，三角函数符号的判断，是基础题 ‎18．求证：sinα+cosα．‎ ‎【答案】见证明 ‎【解析】由二倍角公式化简等式左边即可证明 ‎【详解】‎ 证明：∵1+2sinα•cosα＝ ‎ ‎∵1+sinα+cosα≠0，‎ ‎∴左端 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎＝sinα+cosα＝右端．‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题 ‎19．已知f（α）．‎ ‎（1）化简f（α）；‎ ‎（2）若α∈（0，π），且cos，求f（α）的值．‎ ‎【答案】（1） （2）1‎ ‎【解析】（1）由诱导公式化简求解即可；（2）先求sinα，再求f（α）即可 ‎【详解】‎ ‎（1）f（α）‎ ‎ ‎ ‎＝﹣tanα．‎ ‎（2）∵α∈（0，π），且cos，‎ ‎∴sinα，‎ ‎∴f（α）＝﹣tanα1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式化简，同角三角函数基本关系，熟记公式准确计算是关键，是基础题 ‎20．城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示：‎ 组别 一 二 三 四 五 候车时间（分钟）‎ 人数 ‎2‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（1）估计这15名乘客的平均候车时间；‎ ‎（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；‎ ‎（3）若从上表第三，四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率。‎ ‎【答案】（1）分钟；（2）；（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）累积各组中与频数的积，可得这名乘客总和，即可利用公式求解平均的候车时间；（2）根据名乘客中候车时间少于分钟的频数和为，可估计这名乘客候车时间少于分钟的人数；（3）将两组乘客编号，进而列举出所有基本事件和抽到的两人恰好来自于不同组的基本事件个数，代入古典概型的概率公式可得答案.‎ 试题解析：（1）由图表得:,‎ 所以这名乘客的平均候车时间为分钟.‎ ‎（2）由图表得：这名乘客中候车时间少于分钟的人数为，所以，这名乘客中候车时间少于分钟的人数大约等于.‎ ‎（3）设第三组的乘客为,第四组的乘客，，“抽到的的两人恰好来自不同的组”为事件.所得基本事件共有种，即 ‎.‎ 其中事件包含基本事件种，，由古典概型可得，即所求概率等于.‎ ‎【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率的计算.‎ ‎21．已知函数（0＜φ＜π）‎ ‎（1）当φ时，在给定的坐标系内，用“五点法”做出函数f（x）在一个周期内的图象；‎ ‎（2）若函数f（x）为偶函数，求φ的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求函数在[﹣π，π]上的单调递减区间．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）φ；（3）[0，π]‎ ‎【解析】（1）先列表描点即可画出图像；（2）由偶函数求解即可；（3）求f（x）＝的单调减区间则可求 ‎【详解】‎ ‎（1）当φ时，，‎ 列表如下：‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ x ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎﹣2‎ ‎0‎ 用“五点法”作出函数的一个周期内的图象，如图所示；‎ ‎（2）∵函数f（x）为偶函数，∴，‎ ‎∵0＜φ＜π，∴φ；‎ ‎（3）由（2）得，f（x）＝ ，‎ 当x∈[﹣π，π]时，∴，‎ ‎∴当，即x∈[0，π]时f（x）单调递减．‎ ‎∴函数在[﹣π，π]上的单调递减区间[0，π]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查五点作图法，三角函数的奇偶性及单调性，熟记基本性质，准确计算是关键，是中档题 ‎22．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为．现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的．‎ ‎（1）求袋中原有白球的个数；‎ ‎（2）求取球两次终止的概率 ‎（3）求甲取到白球的概率．‎ ‎【答案】（1）3个白球（2）（3）‎ ‎【解析】（1）设出袋中原有n个白球，写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到关于n 的方程，解方程即可．（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数7×6，满足条件的事件数4×3，根据等可能事件的概率公式写出满足条件的事件的概率．（3）甲先取，甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．这三种情况是互斥关系，根据互斥事件的概率公式得到结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设袋中原有n个白球，由题意知：，‎ 解得n＝3（舍去n＝﹣2），即袋中原有3个白球 ‎（2）记“取球两次终止”为事件A，‎ ‎（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次或第3次或第5次取到白球 记“甲取到白球”为事件B，‎ ‎【点睛】‎ 考查运用概率知识解决实际问题的能力，考查古典概型，准确计算是关键，是中档题