高考考前复习资料—高中数学不等式部分错题精选

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高考考前复习资料—高中数学不等式部分错题精选

高中数学不等式部分错题精选 一、选择题:‎ ‎1.设若0f(b)>f(c),则下列结论中正确的是 (D)‎ A (a-1)(c-1)>0 B ac>‎1 C ac=1 D ac<1‎ 错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数的图象,由图可得出选D.‎ ‎2.设成立的充分不必要条件是 (D)‎ A B C D x<-1‎ 错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清,正确答案为D。‎ ‎3.不等式的解集是 (D)‎ A B C D ‎ 错解:选B,不等式的等价转化出现错误,没考虑x=-2的情形。正确答案为D。‎ ‎4.某工厂第一年产量为A,第二年增长率为a,第三年增长率为b,这两年的平均增长率为x,则 A B C D ‎ 错解:对概念理解不清,不能灵活运用平均数的关系。正确答案为B。‎ ‎5.已知,则‎2a+3b的取值范围是 (D)‎ A B C D ‎ 错解:对条件“ ”不是等价转化,解出a, b范围,再求‎2a+3b的范围,扩大了范围。正解:用待定系数法,解出‎2a+3b=(a+b)(a-b),求出结果为D。‎ ‎6.若不等式ax+x+a<0的解集为 Φ,则实数a的取值范围(D )‎ A a≤-或a≥ B a< C -≤a≤ D a≥ ‎ 正确答案:D 错因:学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。‎ ‎7.已知函数y=㏒(3x在[-1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围( )‎ A a≤-6 B -<a<‎-6 C -8<a≤-6 D -8≤a≤-6 ‎ 正确答案:C 错因:学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。‎ ‎8.已知实数x、y、z满足x+y+z=0,xyz>0记T=++,则( C ) ‎ A T>0 B T=‎0 C T<0 D 以上皆错 正确答案: C 错因:学生对已知条件不能综合考虑,判断T的符号改为判定 xyz(++)的符号。‎ ‎9.下列四组条件中,甲是乙的充分不必要条件的是( D )‎ A. 甲 a>b,乙 < B 甲 ab<0,乙 ∣a+b∣<∣a-b∣ ‎ ‎ C. 甲 a=b ,乙 a+b=2 D 甲 ,乙 ‎ 正确答案: D 错因:学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻。‎ ‎10. f(x)=︱2—1|,当a<b<c时有f(a)>f(c)>f(b)则(D) A A . a<0,b<0,c<0 B a<0,b>0,c>‎0 C 2<2 D 2<2 ‎ ‎ 正确答案:D 错因:学生不能应用数形结合的思想方法解题。‎ ‎11.a, b∈R,且a>b,则下列不等式中恒成立的是(B )‎ A.a2>b2 B.( ) a <()b C. lg (a-b)>0 D.>1‎ 正确答案:B。错误原因:容易忽视不等式成立的条件。 ‎ ‎12. x为实数,不等式|x-3|-|x-1|>m恒成立,则m的取值范围是( D )‎ A. m>2 B. m<‎2 ‎ C. m>-2 D. m<-2‎ 正确答案:D 易忽视绝对值的几何意义,用常规解法又容易出错。‎ ‎13.已知实数x、y满足x2+y2=1,则(1-xy)(1+xy)( B)‎ A.有最小值,也有最大值1 B.有最小值,也有最大值1‎ C.有最小值,但无最大值 D.有最大值1,但无最小值 正确答案:B 错因:容易忽视x、y本身的范围。‎ ‎14.若a>b>0,且>,则m的取值范围是()‎ A. mR B. m>‎0 C. m<0 D. –b0)的解集为{x|m≤x≤n},且|m-n|=‎2a,则a的值等于( B )‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ ‎19.若实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b(a≠b),则mx+ny的最大值为( B )‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ 点评:易误选A,忽略运用基本不等式“=”成立的条件。‎ ‎20.数列{an}的通项式,则数列{an}中的最大项是( D )‎ ‎ A、第9项 B、第8项和第9项 C、第10项 D、第9项和第10项 答案:D点评:易误选A,运用基本不等式,求,忽略定义域N*。‎ ‎21. 不等式>在上有解,则的取值范围是 ( C )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 错解:D 选D恒成立 正解 C ‎22.已知是方程的两个实根,则的最大值为( A )‎ ‎ A、18 B、‎19 C、 D、不存在 ‎ 答案:A 错选:B  错因:化简后是关于k的二次函数,它的最值依赖于所得的k的范围。‎ ‎23.实数m,n,x,y满足m2+n2=a , x2+y2=a , 则mx+ny的最大值是  A  。‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ 答案:B错解:A错因:忽视基本不等式使用的条件,而用 得出错解。‎ ‎24.如果方程(x-1)(x 2-2x+m)=0的三个根可以作为一个三角形的三条边长,那么实数m的取值范围是 ( ) ‎ A、0≤m≤1 B、<m≤‎1 C、≤m≤1 D、m≥‎ 正确答案:(B)错误原因:不能充分挖掘题中隐含条件。‎ 二 填空题 ‎1.设,则的最大值为 ‎ 错解:有消元意识,但没注意到元的范围。正解:由得:,且,原式=,求出最大值为1。‎ ‎2.若恒成立,则a的最小值是 ‎ ‎ 错解:不能灵活运用平均数的关系,正解:由,即,故a的最小值是。‎ ‎3.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为 。‎ 错解一、因为对a>0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4。‎ 错解二、,所以z的最小值是。‎ 错解分析:解一等号成立的条件是相矛盾。解二等号成立的条件是,与相矛盾。‎ 正解:z===,令t=xy, 则,由在上单调递减,故当t=时 有最小值,所以当时z有最小值。‎ ‎4.若对于任意x∈R,都有(m-2)x2-2(m-2)x-4<0恒成立,则实数m的取值范围是 。‎ 正确答案:(-2,2) 。‎ 错误原因:容易忽视m=2。‎ ‎5.不等式ax+ bx + c>0 ,解集区间(- ,2),对于系数a、b、c,则有如下结论:‎ ① a >0 ②b>0 ③ c>0 ④a + b + c>0 ⑤a – b + c>0,其中正确的结论的序号是________________________________.‎ 正确答案 2 、3、 4 错因:一元二次函数的理解 ‎6.不等式(x-2)≥0的解集是 .正确答案:‎ ‎7.不等式的解集为(-∞,0),则实数a的取值范围是_____________________。‎ 正确答案:{-1,1}‎ ‎8.若α,β,γ为奇函数f(x)的自变量,又f(x)是在(-∞,0)上的减函数,且有α+β>0,α+γ>0,β+γ>0,则f(α)+f(β)与f(-γ)的大小关系是:f(α)+f(β) _____<_________f(-γ)。‎ ‎9.不等式|x+1|(2x-1)≥0的解集为____________‎ 答案: 点评:误填而忽略x=-1。‎ ‎10.设x>1,则y=x+的最小值为___________‎ 答案: 点评:误填:4,错因:≥,当且仅当即x=2时等号成立,忽略了运用基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”的条件。‎ ‎11.设实数a,b,x,y满足a2+b2=1,x2+y2=3, 则ax+by的取值范围为_______________.‎ 错解:错因:,当且仅当时等号成立,而此时与已知条件矛盾。 正解:[-] ‎ ‎12..-4<k<o是函数y=kx2-kx-1恒为负值的___________条件 错解:充要条件 错因:忽视时符合题意。 正解:充分非必要条件 ‎ ‎13.函数y=的最小值为_______________‎ 错解:2 错因:可化得,而些时等号不能成立。 正解:‎ ‎14.已知a,b,且满足a+3b=1,则ab的最大值为___________________.‎ 错解: 错因:由得,,‎ 等号成立的条件是与已知矛盾。 正解:‎ ‎15.设函数的定义域为R,则k的取值范围是 。‎ 错解: 错因:对二次函数图象与判别式的关系认识不清,误用。答案:‎ ‎16.不等式(x-2)2 (3-x) (x-4)3 (x-1) 的解集为 。‎ 答案: 错解: 错因:忽视x=2时不等式成立。‎ ‎17.已知实数x,y满足,则x的取值范围是       。‎ 答案:错解: 错因:将方程作变形使用判别式,忽视隐含条件“”。‎ ‎18.若,且2x+8y-xy=0则x+y的范围是 。‎ 答案:由原方程可得                           ‎ ‎ 错解:设代入原方程使用判别式。‎ ‎ 错因:忽视隐含条件,原方程可得y (x-8)=2x,则x>8则x+y>8‎ ‎19.已知实数 。‎ 正确答案:错因:找不到解题思路,另外变形为时易忽视这一条件。‎ ‎20.已知两个正变量 恒成立的实数m的取值范围是 。‎ 正确答案: 错误原因:条件x+y=4不知如何使用 ‎21已知函数①②③④,其中以4为最小值的函数个数是 0 。‎ 错误原因:对使用算术平均数和几何平均数的条件意识性不强。‎ ‎22.已知是定义在的等调递增函数,且,则不等式的解集为 。‎ 正确答案: 错误原因:不能正确转化为不等式组。‎ ‎23.已知a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 则ax+by+cz的最大值为 ‎ 错误原因:忽视使用基本不等式时等号成立的条件,易填成5。应使用如下做法:‎9a2+x2≥6ax, 9b2+y2 ≥6by,‎9c2+z2≥6cz,6(ax+by+cz)≤9(a2+b2+c2)+9(x2+y2+z2) = 18, ax+by+cz≤3‎ 三、解答题:‎ ‎1.是否存在常数 c,使得不等式对任意正数 x,y恒成立?‎ 错解:证明不等式恒成立,故说明c存在。‎ 正解:令x=y得,故猜想c=,下证不等式恒成立。 要证不等式,因为x,y是正数,即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤‎ ‎2(2 x+y)(x+2y),也即证,即2xy≤(恒成立)同理不等式也成立,故存在c=使原不等式恒成立。‎ ‎2.已知适合不等式的x的最大值为3,求p的值。‎ 错解:对此不等式无法进行等价转化,不理解“x的最大值为‎3”‎的含义。‎ 正解:因为x的最大值为3,故x-3<0,原不等式等价于,‎ 即,则,‎ 设(1)(2)的根分别为,则 若,则9-15+p-2=0,p=8 ‎ 若,则9-9+p+2=0,p=-2 当a=-2时,原方程组无解,则p=8‎ ‎ 3. 设,且,求的取值范围。‎ ‎ 解:令  则 ‎ 比较系数有 ‎ 即 ‎ 说明:此题极易由已知二不等式求出的范围,然后再求即的范围,这种解法错在已知二不等式中的等号成立的条件不一定相同,它们表示的区域也不一定相同,用待定系数法则容易避免上述错误。‎ ‎ 4. 若,解关于的不等式:。‎ ‎ 解:令 则 ‎ 的判别式 ‎ 恒成立 ‎ ‎ 原不等式的解为 ‎ 说明:此题容易由得出的错误结论。解有关不等式的问题,一定要注意含参数的表达式的符号,否则易出错误。‎ ‎5. 求函数的极大值或极小值。‎ ‎ 解:当时, ‎ ‎ 当且仅当 即时,‎ ‎ 当时,‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当 即时,‎ ‎ 说明:此题容易漏掉对的讨论。不等式成立的前提是。‎ ‎6.求函数的最大值。‎ ‎ 解:‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当  即时, 说明:此题容易这样做:‎ ‎。但此时等号应满足条件,这样的是不存在的,错误的原因是没有考虑到等号成立的条件。这一点在运用重要不等式时一定要引起我们高度的重视。‎ ‎7.解不等式:。‎ ‎ 解:当时,原不等式为 ‎ ‎ 当时,原不等式为 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 原不等式的解为 ‎ 说明:此题易在时处出错,忽略了的前提。这提醒我们分段求解的结果要考虑分段的前提。‎ ‎7. 若且,解不等式: ‎ ‎ 解:若,两边取以为底的对数 ‎ ‎ ‎ 若,同样有,‎ ‎ ‎ ‎ 又  当时不等式的解为 ‎ 当时不等式的解为 ‎ 说明:此题易在时的解中出错,容易忽略这个条件。解决对数问题要注意真数大于0的条件。‎ ‎8.方程的两根都大于2,求实数的取值范围。‎ ‎ 解:设方程的两根为,则必有 ‎ ‎ ‎ 说明:此题易犯这样的错误:‎ ‎ 且 和判别式联立即得的范围 原因是只是的充分条件 即不能保证同时成立 ‎9.设函数f(x)=logb(b>0且b≠1),‎ ‎(1)求f(x)的定义域;‎ ‎(2)当b>1时,求使f(x)>0的所有x的值。‎ 解 (1)∵x2-2x+2恒正,∴f(x)的定义域是1+2ax>0,‎ 即当a=0时,f(x)定义域是全体实数。‎ 当a>0时,f(x)的定义域是(-,+∞)‎ 当a<0时,f(x)的定义域是(-∞,-)‎ ‎(2)当b>1时,在f(x)的定义域内,f(x)>0>1x2-2x+2>1+2ax x2-2(1+a)x+1>0其判别式Δ=4(1+a)2-4=‎4a(a+2)‎ ‎(i)当Δ<0时,即-20∴f(x)>0x<-‎ ‎(ii)当Δ=0时,即a=-2或0时 若a=0,f(x)>0(x-1)2>0x∈R且x≠1‎ 若a=-2,f(x)>0(x+1)2>0x<且x≠-1‎ ‎(iii)当△>0时,即a>0或a<-2时 方程x2-2(1+a)x+1=0的两根为x1=1+a-,x2=1+a+‎ 若a>0,则x2>x1>0>-‎ ‎∴或 若a<-2,则 ‎∴f(x)>0x<1+a-或1+a+<x<-‎ 综上所述:当-2<a<0时,x的取值集合为x|x<-‎ 当a=0时,x∈R且x≠1,x∈R,当a=-2时:x|x<-1或-1<x<‎ 当a>0时,x∈x|x>1+a+或-<x<1+a-‎ 当a<-2时,x∈x|x<1+a-或1+a+<x<-‎ 错误原因:解题时易忽视函数的定义域,不会合理分类。‎ ‎10.设集合M=[-1,1],N=[-,],f(x)=2x2+mx-1,若x∈N,m∈M,求证|f(x)|≤ 证明:|f(x)|=|2x2+mx-1|= |(2x2-1)+mx|≤|(2x2-1)|+|mx|= (2x2-1)+|mx|≤(2x 2-1)+| x|‎ ‎=-2(| x|-)2+≤ 错因:不知何时使用绝对值不等式。‎ ‎11.在边长为a的正三角形中,点P、Q、R分别在BC、CA、AB上,且BP+CQ+AR=a,设BP=x,CQ=y,AR=z,三角形PQR的面积为s,求s的最大值及相应的x、y、z的值。‎ 解 设ΔBPR、ΔPCR、ΔARQ的面积为s1、、s2、s3,则 S=SΔABC-S1-S2-S3=a2-[a2-(xy+xz+yz)]=(xy+xz+yz)‎ 由x+y+z=a,得xy+yz+zx≤,∴Smav=a2,此时,x=y=z= 错因:不知如何使用基本不等式。‎ ‎12.设a、b∈R,求证:≤‎ 证明:当|a+b|=0时,不等式已成立 当|a+b|≠0时,∵ |a+b|≤|a|+|b|‎ ‎ ∴ =≤=‎ ‎ =+≤‎ 点评:错证:∵|a+b|≤|a|+|b|‎ ‎ ∴ ≤≤ ①‎ ‎ 错因:①的推理无根据。‎
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