中考数学分类汇编二次函数压轴题

中考数学分类汇编二次函数压轴题

中考数学与二次函数有关的压轴题 纵观2016年全国各省市中考数学试卷其中与二次函数有关的压轴题，其考点涉及：一次函数、二次函数的性质，函数图像上点的坐标与方程的关系；轴对称和等腰三角形的性质；特殊平行四边形性质；图形的旋转变换；相似三角形的性质；锐角三角函数应用；圆的性质；阅读理解，等.129数学思想涉及：分类讨论；数形结合；转化，等.现选取部分省市的2016年中考题展示，以飨读者.‎ 一、与特殊平行四边形性质的有关综合题 ‎【题1】‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．‎ ‎（1）求a的值及点A，B的坐标；‎ ‎（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；‎ ‎（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【题2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B． ‎ ‎（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式； ‎ ‎（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积； ‎ ‎（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标． ‎ ‎ ‎ ‎【题2】‎ ‎【题3】如图1，二次函数的图像过点A（-1，3），顶点B的横坐标为1.‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式；‎ ‎（2）点P在该二次函数的图像上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；‎ ‎（3）如图3，一次函数（k＞0）的图像与该二次函数的图像交于O、C两点，点T为该二次函数图像上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N。若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值。‎ 二、与轴对称和等腰三角形性质有关的综合题 ‎【题4】如图，顶点为的抛物线经过坐标原点O，与轴交于点B．‎ ‎（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；‎ ‎（2）过B作OA的平行线交轴于点C，交抛物线于点，求证：△OCD≌△OAB；‎ ‎（3）在轴上找一点，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．‎ ‎【题5】如图，二次函数y＝ax 2＋bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x＝－ ，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，‎ BD． ‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，将△BPF沿边PF翻折，得到△B′PF，使△B′PF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的 ，若点B′在OD上方，求线段PD的长度;‎ x y A D C B O x y A D C B O x y A D C B O ‎（3）在（2）的条件下，过B′作B′H⊥PF于H，点Q在OD下方的抛物线上，连接AQ与B′H交于点M，点G在线段AM上，使∠HPN+∠DAQ =135°，延长PG交AD于N．若AN+ B′M=,求点Q的坐标．‎ ‎【题6】如图，在平面直角坐标系中，直线y=—2x+10与x轴、y轴相交于A、B两点.点C的坐标是（8,4），连接AC、BC.‎ ‎（1）求过O、A、C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；‎ ‎（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。‎ 三、与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题 ‎【题8】如图1，二次函数的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0,1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且S△AMO︰S四边形AONB=1︰48。‎ ‎（1）求直线AB和直线BC的解析式；‎ ‎（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD//x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F，当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使GH+BH的值最小，求点H的坐标和GH+BH的最小值；‎ ‎（3）如图2，直线AB上有一点K（3,4），将二次函数沿直线BC平移，平移的距离是t(t≥0)，平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点A/，点C/；当△A/C/K是直角三角形时，求t的值。‎ ‎【题9】如图，直线与轴、轴分别相交于A、B两点，抛物线 经过点B．‎ ‎ (1)求该地物线的函数表达式；‎ ‎ (2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM．设点M的横坐标为，△ABM的面积为S．求S与的函数表达式，并求出S的最大值；‎ ‎ (3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点.‎ ‎ ①写出点的坐标；‎ ‎ ②将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，当直线与直线重合时停止旋转．在旋转过程中，直线与线段交于点C．设点B、到直线的距离分别为 ‎、，当最大时，求直线旋转的角度（即∠BAC的度数）．‎ 四、与直角三角形性质有关的综合题 ‎【题10】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3‎ ‎）两点，与x轴的另一个交点为B.‎ ‎⑴若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；‎ ‎⑵在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；‎ ‎⑶设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．‎ 第25题图 ‎【题11】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；‎ ‎（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？‎ ‎（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．‎ 五、与相似三角形性质有关的综合题 ‎【题12】‎ ‎【题13】如图，直线l：y=－x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ=135°.‎ ‎ (1) 求△AOB的周长；‎ ‎(2) 设AQ=t>0.试用含t的代数式表示点P的坐标；‎ ‎(3) 当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记作∠AOQ=m，若过点A的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：‎ ‎ ① 6a+3b+2c=0;‎ ‎② 当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于，求二次项系数a的值.‎ 六、与圆的性质有关的综合题 ‎【题14】‎ 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2+4mx﹣5m（m＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线y=x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y=x上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．‎ ‎（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6，求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求A、B两点的坐标；‎ ‎（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线y=x上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．‎ 七、与阅读理解有关的综合题 ‎【题15】若抛物线L：y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L与顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线l叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”.‎ ‎ (1) 若直线y=mx+1与抛物线y=x2－2x+n具有“一带一路”关系，求m，n的值；‎ ‎(2) 若某“路线”L的顶点在反比例函数的图像上，它的“带线” l的解析式为y=2x－4，求此“路线”L的解析式；‎ ‎ (3) 当常数k满足≤k≤2时，求抛物线L: y=ax2+(3k2－2k+1)x+ k的“带线” l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围.‎ ‎【题16】如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子．‎ ‎（1）求绳子最低点离地面的距离；‎ ‎（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；‎ ‎（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．‎ 八、与方程根和关系的关系、函数值大小比较有关的综合题 ‎【题17】‎ 已知抛物线与x轴相交于不同的两点,‎ （1） 求的取值范围 （2） 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；‎ （3） 当时，由（2）求出的点和点构成的的面积是否有最值，若有，求出最值及相对应的值；若没有，请说明理由.‎ ‎【题18】已知二次函数 ‎(1)当时，求这个二次函数的顶点坐标；‎ ‎(2)求证：关于的一元次方程有两个不相等的实数根；‎ ‎(3)如图，该二次函数与轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与轴交于C点，P是轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP交BC于点Q，求证：‎ ‎【题19】已知函数.在同一平面直角坐标系中.‎ ‎ （1）若函数的图像过点（-1,0），函数的图像过点（1,2），求a，b的值.‎ ‎ (2)若函数的图像经过的顶点.①求证：；②当时，比较,的大小. ‎ ‎【题20】已知两个二次函数和.对于函数，当x=2时，该函数取最小值.‎ （1） 求b的值； ‎ （2） 若函数y1的图像与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；‎ （3） 若函数y1、y2的图像都经过点（1，-2），过点（0，a-3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图像共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1

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