高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解+几何证明选讲习题及详解
高中数学高考总复习
函数的奇偶性习题及详解+几何证明选讲习题及详解
高中数学高考总复习函数的奇偶性习题(附参考答案)
一、选择题
1．(文)下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A．y＝x＋x3(x∈R)
B．y＝3x(x∈R)
C．y＝－log2x(x>0，x∈R)
D．y＝－1
x(x∈R，x≠0)
[答案] A
[解析] 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除 C，若 x＝0 在定义域内，则
应有 f(0)＝0，排除 B；又函数在定义域内单调递增，排除 D，故选 A.
(理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )
A．f(x)＝sinx B．f(x)＝－|x＋1|
C．f(x)＝1
2(ax＋a－x) D．f(x)＝ln2－x
2＋x
[答案] D
[解析] y＝sinx 与 y＝ln 2－x
2＋x
为奇函数，而 y＝1
2(ax＋a－x)为偶函数，y＝－|x＋1|是非奇
非偶函数．y＝sinx 在[－1,1]上为增函数．故选 D.
2．(2010·安徽理，4)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)＝1，f(2)＝2，则 f(3)
－f(4)＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
[答案] A
[解析] f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1，故选 A.
3．(2010·河北唐山)已知 f(x)与 g(x)分别是定义在 R 上奇函数与偶函数，若 f(x)＋g(x)＝
log2(x2＋x＋2)，则 f(1)等于( )
A．－1
2 B.1
2
C．1 D.3
2
[答案] B
[解析] 由条件知，f1＋g1＝2
f－1＋g－1＝1
，
∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．
∴ f1＋g1＝2
g1－f1＝1
，∴f(1)＝1
2.
4．(文)(2010·北京崇文区)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并满足 f(x＋2)＝－ 1
fx
，当
1≤x≤2 时，f(x)＝x－2，则 f(6.5)＝( )
A．4.5 B．－4.5
C．0.5 D．－0.5
[答案] D
[解析] ∵f(x＋2)＝－ 1
fx
，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－ 1
fx＋2
＝f(x)，∴f(x)周期为 4，
∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.
(理)(2010·山东日照)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且 f(x＋2)＝f(x)，若 f(x)在[－
1,0]上是减函数，则 f(x)在[2,3]上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
[答案] A
[解析] 由 f(x＋2)＝f(x)得出周期 T＝2，
∵f(x)在[－1,0]上为减函数，
又 f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数，从而 f(x)在[2,3]上为增函数．
5．(2010·辽宁锦州)已知函数 f(x)是定义在区间[－a，a](a>0)上的奇函数，且存在最大值
与最小值．若 g(x)＝f(x)＋2，则 g(x)的最大值与最小值之和为( )
A．0 B．2
C．4 D．不能确定
[答案] C
[解析] ∵f(x)是定义在[－a，a]上的奇函数，∴f(x)的最大值与最小值之和为 0，又 g(x)
＝f(x)＋2 是将 f(x)的图象向上平移 2 个单位得到的，故 g(x)的最大值与最小值比 f(x)的最大
值与最小值都大 2，故其和为 4.
6．定义两种运算：a⊗b＝ a2－b2，a⊕b＝|a－b|，则函数 f(x)＝ 2⊗x
x⊕2－2
( )
A．是偶函数
B．是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
[答案] B
[解析] f(x)＝ 4－x2
|x－2|－2
，
∵x2≤4，∴－2≤x≤2，
又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．
则 f(x)＝ 4－x2
－x
，
f(x)＋f(－x)＝0，故选 B.
7．已知 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设 a＝f(log47)，
b＝f(log1
23)，c＝f(0.20.6)，则 a、b、c 的大小关系是( )
A．c
1，|log1
23|＝log23>log2 7，0<0.20.6<1，
∴|log1
23|>|log47|>|0.20.6|.
又∵f(x)在(－∞，0]上是增函数，且 f(x)为偶函数，
∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．
∴b0 得，－22，排除 D，
当 x＝π
6
时，y＝
π
6
sinπ
6
＝π
3>1，排除 B，故选 C.
二、填空题
11．(文)已知 f(x)＝ sinπx x<0
fx－1－1 x>0
，则 f
－11
6 ＋f
11
6 的值为________．
[答案] －2
[解析] f
11
6 ＝f
5
6 －1＝f
－1
6 －2
＝sin
－π
6 －2＝－5
2
，
f
－11
6 ＝sin
－11π
6 ＝sinπ
6
＝1
2
，∴原式＝－2.
(理)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1
2
对称，则 f(1)＋f(2)
＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.
[答案] 0
[解析] ∵f(x)的图象关于直线 x＝1
2
对称，
∴f
1
2
＋x ＝f
1
2
－x ，对任意 x∈R 都成立，
∴f(x)＝f(1－x)，又 f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－f(1＋x)
＝f(－1－x)＝f(2＋x)，
∴周期 T＝2 ∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝0
又 f(1)与 f(0)关于 x＝1
2
对称
∴f(1)＝0 ∴f(3)＝f(5)＝0 填 0.
12．(2010·深圳中学)已知函数 y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－
π，π]，且它们在 x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式fx
gx<0 的解集是________．
[答案]
－π
3
，0 ∪
π
3
，π
[解析] 依据偶函数的图象关于 y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全 f(x)、
g(x)的图象，
∵fx
gx<0，∴ fx<0
gx>0
，或 fx>0
gx<0
，观察两函数的图象，其中一个在 x 轴上方，一个
在 x 轴下方的，即满足要求，∴－π
30 得，－218
11
，∴18
110，当 x∈(－1，－1
3)时，g′(x)<0，当 x∈(－1
3
，＋∞)
时，g′(x)>0，
∴g(x)在 x＝－1 处取得极大值，在 x＝－1
3
处取得极小值．
又∵g(－1)＝2，g(－1
3)＝50
27
，且方程 g(x)＋b＝0 即 g(x)＝－b 有三个不同的实数解，∴50
27<
－b<2，
解得－20 且 a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．
(1)求 a 的值；
(2)求函数 f(x)的值域；
(3)当 x∈(0,1]时，tf(x)≥2x－2 恒成立，求实数 t 的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即 f(－x)＝－f(x)恒成立，∴f(0)＝
0.
即 1－ 4
2×a0＋a
＝0，
解得 a＝2.
(2)∵y＝2x－1
2x＋1
，∴2x＝1＋y
1－y
，
由 2x>0 知1＋y
1－y
>0，
∴－10
－fx x<0
.
(1)若 f(－1)＝0，曲线 y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，且在点(－1，f(－1))处的切线垂直于 y
轴，求 F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当 x∈[－1,1]时，g(x)＝kx－f(x)是单调函数，求实数 k 的取值范围；
(3)设 mn<0，m＋n>0，a>0，且 f(x)为偶函数，证明 F(m)＋F(n)>0.
[解析] (1)因为 f(x)＝ax2＋bx＋c，所以 f ′(x)＝2ax＋b.
又曲线 y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线垂直于 y 轴，故 f ′(－1)＝0，
即－2a＋b＝0，因此 b＝2a.①
因为 f(－1)＝0，所以 b＝a＋c.②
又因为曲线 y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，
所以 c＝2a＋3.③
解由①，②，③组成的方程组得，a＝－3，b＝－6，c＝－3.
从而 f(x)＝－3x2－6x－3.
所以 F(x)＝
－3x＋12 x>0
3x＋12 x<0
.
(2)由(1)知 f(x)＝－3x2－6x－3，
所以 g(x)＝kx－f(x)＝3x2＋(k＋6)x＋3.
由 g(x)在[－1,1]上是单调函数知：
－k＋6
6
≤－1 或－k＋6
6
≥1，得 k≤－12 或 k≥0.
(3)因为 f(x)是偶函数，可知 b＝0.
因此 f(x)＝ax2＋c.
又因为 mn<0，m＋n>0，
可知 m，n 异号．
若 m>0，则 n<0.
则 F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋c－an2－c
＝a(m＋n)(m－n)>0.
若 m<0，则 n>0.
同理可得 F(m)＋F(n)>0.
综上可知 F(m)＋F(n)>0.
高中数学高考总复习函数概念习题(附参考答案)
一、选择题
1．(文)(2010·浙江文)已知函数 f(x)＝log2(x＋1)，若 f(a)＝1，则 a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 由题意知，f(a)＝log2(a＋1)＝1，∴a＋1＝2，
∴a＝1.
(理)(2010·广东六校)设函数 f(x)＝ 2x x∈－∞，2]
log2x x∈2，＋∞
，则满足 f(x)＝4 的 x 的值是
( )
A．2 B．16
C．2 或 16 D．－2 或 16
[答案] C
[解析] 当 f(x)＝2x 时.2x＝4，解得 x＝2.
当 f(x)＝log2x 时，log2x＝4，解得 x＝16.
∴x＝2 或 16.故选 C.
2．(文)(2010·湖北文，3)已知函数 f(x)＝ log3x x>0
2x x≤0
，则 f(f(1
9))＝( )
A．4 B.1
4
C．－4 D．－1
4
[答案] B
[解析] ∵f(1
9)＝log3
1
9
＝－2<0
∴f(f(1
9))＝f(－2)＝2－2＝1
4.
(理)设函数 f(x)＝ 21－x－1 x<1
lgx x≥1
，若 f(x0)>1，则 x0 的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(10，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－1,10)
D．(0,10)
[答案] A
[解析] 由 x0<1
21－x0－1>1
或 x0≥1
lgx0>1
⇒x0<0 或 x0>10.
3．(2010·天津模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这
些函数为“同族函数”，那么函数解析式为 f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )
A．7 个 B．8 个
C．9 个 D．10 个
[答案] C
[解析] 由 x2＝1 得 x＝±1，由 x2＝4 得 x＝±2，故函数的定义域可以是{1,2}，{－1,2}，
{1，－2}，{－1，－2}，{1,2，－1}，{1,2，－2}，{1，－2，－1}，{－1,2，－2}和{－1，
－2,1,2}，故选 C.
4．(2010·柳州、贵港、钦州模拟)设函数 f(x)＝1－2x
1＋x
，函数 y＝g(x)的图象与 y＝f(x)的图
象关于直线 y＝x 对称，则 g(1)等于( )
A．－3
2 B．－1
C．－1
2 D．0
[答案] D
[解析] 设 g(1)＝a，由已知条件知，f(x)与 g(x)互为反函数，∴f(a)＝1，即1－2a
1＋a
＝1，
∴a＝0.
5．(2010·广东六校)若函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(1－x)的图象大致为
( )
[答案] A
[解析] 解法 1：y＝f(－x)的图象与 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称．将 y＝f(－x)的图象向
右平移一个单位得 y＝f(1－x)的图象，故选 A.
解法 2：由 f(0)＝0 知，y＝f(1－x)的图象应过(1,0)点，排除 B、C；由 x＝1 不在 y＝f(x)
的定义域内知，y＝f(1－x)的定义域应不包括 x＝0，排除 D，故选 A.
6．(文)(2010·广东四校)已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定
义如下表，填写下列 g(f(x))的表格，其三个数依次为( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 1
x 1 2 3
g(x) 1 3 2
x 1 2 3
g(f(x))
A.3,1,2 B．2,1,3
C．1,2,3 D．3,2,1
[答案] D
[解析] 由表格可知，f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝1，g(1)＝1，g(2)＝3，g(3)＝2，
∴g(f(1))＝g(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2，g(f(3))＝g(1)＝1，
∴三个数依次为 3,2,1，故选 D.
(理)(2010·山东肥城联考)已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其
定义如下表：
x 1 2 3
f(x) 2 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则方程 g[f(x)]＝x 的解集为( )
A．{1} B．{2}
C．{3} D．∅
[答案] C
[解析] g[f(1)]＝g(2)＝2，g[f(2)]＝g(3)＝1；
g[f(3)]＝g(1)＝3，故选 C.
7．若函数 f(x)＝loga(x＋1) (a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则 a 等于( )
A.1
3 B. 2
C. 2
2 D．2
[答案] D
[解析] ∵0≤x≤1，∴1≤x＋1≤2，
又∵0≤loga(x＋1)≤1，故 a>1，且 loga2＝1，∴a＝2.
8．(文)(2010·天津文)设函数 g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝ gx＋x＋4，x＜gx
gx－x，x≥gx
，则 f(x)
的值域是( )
A.
－9
4
，0 ∪(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C.
－9
4
，＋∞
D.
－9
4
，0 ∪(2，＋∞)
[答案] D
[解析] 由题意可知 f(x)＝ x2＋x＋2 x<－1 或 x>2
x2－x－2 －1≤x≤2
1°当 x<－1 或 x>2 时，f(x)＝x2＋x＋2＝ x＋1
2 2＋7
4
由函数的图可得 f(x)∈(2，＋∞)．
2°当－1≤x≤2 时，f(x)＝x2－x－2＝ x－1
2 2－9
4
，
故当 x＝1
2
时，f(x)min＝f
1
2 ＝－9
4
，
当 x＝－1 时，f(x)max＝f(－1)＝0，
∴f(x)∈ －9
4
，0 .
综上所述，该分段函数的值域为 －9
4
，0 ∪(2，＋∞)．
(理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝
log21－x x≤0
fx－1－fx－2 x>0
，则 f(2010)的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[答案] B
[解析] f(2010)＝f(2009)－f(2008)＝(f(2008)－f(2007))－f(2008)＝－f(2007)，同理 f(2007)
＝－f(2004)，∴f(2010)＝f(2004)，
∴当 x>0 时，f(x)以 6 为周期进行循环，
∴f(2010)＝f(0)＝log21＝0.
9．(文)对任意两实数 a、b，定义运算“*”如下：a*b＝ a，若 a≤b；
b，若 a>b
函数 f(x)＝log1
2
(3x
－2)*log2x 的值域为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0] D．[0，＋∞)
[答案] C
[解析] ∵a*b＝ a，若 a≤b，
b，若 a>b.
而函数 f(x)＝log1
2
(3x－2)与 log2x 的大
致图象如右图所示，
∴f(x)的值域为(－∞，0]．
(理)定义 max{a、b、c}表示 a、b、c 三个数中的最大值，f(x)＝max{
1
2 x，x－2，log2x(x>0)}，
则 f(x)的最小值所在范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,3)
[答案] C
[解析] 在同一坐标系中画出函数 y＝
1
2 x，y＝x－2 与 y＝log2x 的图象，y＝
1
2 x 与 y＝
log2x 图象的交点为 A(x1，y1)，y＝x－2 与 y＝log2x 图象的交点为 B(x2，y2)，则由 f(x)的定义
知，当 x≤x1 时，f(x)＝
1
2 x，当 x10
，若 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于 x 的方程 f(x)
＝x 的解的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 解法 1：当 x≤0 时，f(x)＝x2＋bx＋c.
∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴ －42＋b·－4＋c＝c
－22＋b·－2＋c＝－2
，解得 b＝4
c＝2
，
∴f(x)＝ x2＋4x＋2 x≤0
2 x>0
，
当 x≤0 时，由 f(x)＝x 得，x2＋4x＋2＝x，
解得 x＝－2，或 x＝－1；
当 x>0 时，由 f(x)＝x 得，x＝2，
∴方程 f(x)＝x 有 3 个解．
解法 2：由 f(－4)＝f(0)且 f(－2)＝－2 可得，f(x)＝x2＋bx＋c 的对称轴是 x＝－2，且顶
点为(－2，－2)，于是可得到 f(x)的简图如图所示．方程 f(x)＝x 的解的个数就是函数图象 y
＝f(x)与 y＝x 的图象的交点的个数，所以有 3 个解．
二、填空题
11．(文)(2010·北京东城区)函数 y＝ x＋1＋lg(2－x)的定义域是________．
[答案] [－1,2)
[解析] 由 x＋1≥0
2－x>0
得，－1≤x<2.
(理)函数 f(x)＝ x＋ 4－x的最大值与最小值的比值为________．
[答案] 2
[解析] ∵ x≥0
4－x≥0
，∴0≤x≤4，f 2(x)＝4＋2 x4－x≤4＋[x＋(4－x)]＝8，且 f
2(x)≥4，
∵f(x)≥0，∴2≤f(x)≤2 2，故所求比值为 2.
[点评] (1)可用导数求解；(2)∵0≤x≤4，∴0≤x
4
≤1，故可令x
4
＝sin2θ(0≤θ≤π
2)转化为
三角函数求解．
12．函数 y＝cosx－1
sinx－2
x∈[0，π]的值域为________．
[答案] 0，4
3
[解析] 函数表示点(sinα，cosα)与点(2,1)连线斜率．而点(sinα，
cosα)α∈[0，π]表示单位圆右半部分，由几何意义，知 y∈[0，4
3]．
13．(2010·湖南湘潭市)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，
如果函数 f(x)的图象恰好通过 n(n∈N*)个整点，则称函数 f(x)为 n 阶整点函数，有下列函数
①f(x)＝sin2x ②g(x)＝x3 ③h(x)＝
1
3 x
④φ(x)＝lnx.
其中是一阶整点函数的是________．(写出所有正确结论的序号)
[答案] ①④
[解析] 其中①只过(0,0)点，④只过(1,0)点；②过(0,1)，(1,1)，(2,8)等，③过(0,1)，(－
1,3)等．
14．(文)若 f(a＋b)＝f(a)·f(b)且 f(1)＝1，则f2
f1
＋f3
f2
＋…＋f2012
f2011
＝________.
[答案] 2011
[解析] 令 b＝1，则fa＋1
fa
＝f(1)＝1，
∴f2
f1
＋f3
f2
＋…＋f2012
f2011
＝2011.
(理)设函数 f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列命题：
①b＝0，c>0 时，方程 f(x)＝0 只有一个实数根；
②c＝0 时，y＝f(x)是奇函数；
③方程 f(x)＝0 至多有两个实根．
上述三个命题中所有的正确命题的序号为________．
[答案] ①②
[解析] ①f(x)＝x|x|＋c
＝ x2＋c，x≥0
－x2＋c，x<0
，
如右图与 x 轴只有一个交点．
所以方程 f(x)＝0 只有一个实数根正确．
②c＝0 时，f(x)＝x|x|＋bx 显然是奇函数．
③当 c＝0，b<0 时，f(x)＝x|x|＋bx＝ x2＋bx，x≥0
－x2＋bx，x<0
如右图方程 f(x)＝0 可以有三个实数根．
综上所述，正确命题的序号为①②.
三、解答题
15．(文)(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水，水厂每小时可向蓄水池中
注水 60 吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为 120 6t吨，(0≤t≤24)．
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于 80 吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的 24 小时内，
有几小时出现供水紧张现象．
[解析] (1)设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨，
则 y＝400＋60t－120 6t(0≤t≤24)
令 6t＝x，则 x2＝6t 且 0≤x≤12，
∴y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40(0≤x≤12)；
∴当 x＝6，即 t＝6 时，ymin＝40，
即从供水开始到第 6 小时时，蓄水池水量最少，只有 40 吨．
(2)依题意 400＋10x2－120x<80，
得 x2－12x＋32<0，
解得 40，当 201 时，有 h(x)≥4(当且仅当 x＝2 时，取“＝”)；
当 x<1 时，有 h(x)≤0(当且仅当 x＝0 时，取“＝”)．
则函数 h(x)的值域是(－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞)．
(3)可取 f(x)＝sin2x＋cos2x，α＝π
4
，则 g(x)＝f(x＋α)＝cos2x－sin2x，
于是 h(x)＝f(x)f(x＋α)＝cos4x.
(或取 f(x)＝1＋ 2sin2x，α＝π
2
，则 g(x)＝f(x＋α)＝1－ 2sin2x.于是 h(x)＝f(x)f(x＋α)＝
cos4x)．
[点评] 本题中(1)、(2)问不难求解，关键是读懂 h(x)的定义，第(3)问是一个开放性问题，
乍一看可能觉得无从下手，但细加观察不难发现，cos4x＝cos22x－sin22x＝(cos2x＋
sin2x)(cos2x－sin2x)积式的一个因式取作 f(x)，只要能够找到α，使 f(x＋α)等于另一个因式也
就找到了 f(x)和 g(x)．
17．(文)某种商品在 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系如图所示：
该商品在 30 天内日销售量 Q(件)与时间 t(天)之间的关系如表所示：
第 t 天 5 15 20 30
Q(件) 35 25 20 10
(1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格 P 与时间 t 的函数关系式；
(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销
售量 Q 与时间 t 的一个函数关系式；
(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是 30 天中的第几
天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)
[解析] (1)P＝ t＋20 0900，知 ymax＝1125，
∴这种商品日销售金额的最大值为 1125 元，30 天中的第 25 天的日销售金额最大．
(理)(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当
地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入 x 万元，可获得纯利润 P＝－ 1
160(x
－40)2＋100 万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产
的销售，其规划方案为：在未来 10 年内对该项目每年都投入 60 万元的销售投资，其中在前
5 年中，每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路，公路 5 年建成，通车前该特产
只能在当地销售；公路通车后的 5 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售
的投资收益为：每投入 x 万元，可获纯利润 Q＝－159
160(60－x)2＋119
2 ·(60－x)万元，问仅从这
10 年的累积利润看，该规划方案是否可行？
[解析] 在实施规划前，由题设 P＝－ 1
160(x－40)2＋100(万元)，知每年只需投入 40 万，
即可获得最大利润 100 万元，则 10 年的总利润为 W1＝100×10＝1000(万元)
实施规划后的前 5 年中，由题设 P＝－ 1
160(x－40)2＋100 知，每年投入 30 万元时，有最
大利润 Pmax＝795
8 (万元)
前 5 年的利润和为795
8
×5＝3975
8 (万元)
设在公路通车的后 5 年中，每年用 x 万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x)万元用于
外地区的销售投资，
则其总利润为
W2＝[－ 1
160(x－40)2＋100]×5＋(－159
160x2＋119
2 x)×5＝－5(x－30)2＋4950.
当 x＝30 时，W2＝4950(万元)为最大值，
从而 10 年的总利润为3975
8
＋4950(万元)．
∵3975
8
＋4950>1000，
∴该规划方案有极大实施价值．
高中数学高考总复习几何证明选讲习题(附参考答案)
一、选择题
1．已知矩形 ABCD，R、P 分别在边 CD、BC 上，E、F 分别为 AP、PR 的中点，当 P
在 BC 上由 B 向 C 运动时，点 R 在 CD 上固定不变，设 BP＝x，EF＝y，那么下列结论中正
确的是( )
A．y 是 x 的增函数
B．y 是 x 的减函数
C．y 随 x 的增大先增大再减小
D．无论 x 怎样变化，y 为常数
[答案] D
[解析] ∵E、F 分别为 AP、PR 中点，∴EF 是△PAR 的中位线，∴EF＝1
2AR，∵R 固
定，∴AR 是常数，即 y 为常数．
2．(2010·湖南考试院)如图，四边形 ABCD 中，DF⊥AB，垂足为 F，DF＝3，AF＝2FB
＝2，延长 FB 到 E，使 BE＝FB，连结 BD，EC.若 BD∥EC，则四边形 ABCD 的面积为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
[答案] C
[解析] 由条件知 AF＝2，BF＝BE＝1，
∴S△ADE＝1
2AE×DF＝1
2
×4×3＝6，
∵CE∥DB，∴S△DBC＝S△DBE，∴S 四边形 ABCD＝S△ADE＝6.
3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O′相交于 A 和 B，PQ 切⊙O 于 P，交⊙O′于 Q
和 M，交 AB 的延长线于 N，MN＝3，NQ＝15，则 PN＝( )
A．3
B. 15
C．3 2
D．3 5
[答案] D
[解析] 由切割线定理知：
PN2＝NB·NA＝MN·NQ＝3×15＝45，
∴PN＝3 5.
4．如图，Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，CD＝6，且 AD BD＝3 2，则斜边
AB 上的中线 CE 的长为( )
A．5 6
B.5 6
2
C. 15
D.3 10
2
[答案] B
[解析] 设 AD＝3x，则 DB＝2x，由射影定理得 CD2＝AD·BD，∴36＝6x2，∴x＝ 6，
∴AB＝5 6，
∴CE＝1
2AB＝5 6
2 .
5．已知 f(x)＝(x－2010)(x＋2009)的图象与 x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好
经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )
A．(0,1)
B．(0,2)
C．(0， 2010
2009)
D．(0， 2009
2010)
[答案] A
[解析] 由题意知圆与 x 轴交点为 A(2010,0)，
B(－2009,0)，与 y 轴交点为 C(0，－2010×2009)，D(0，y2)．设圆的方程为：x2＋y2＋
Dx＋Ey＋F＝0
令 y＝0 得 x2＋Dx＋F＝0，此方程两根为 2010 和－2009，∴F＝－2010×2009
令 x＝0 得 y2＋Ey－2010×2009＝0
∴－2010×2009×y2＝－2010×2009
∴y2＝1，故选 A.
[点评] 圆与 x 轴交点 A(2010,0)，B(－2009,0)与 y 轴交点 C(0，－2010×2009)，D(0，
y2)，
∵A、C、B、D 四点共圆，∴AO·OB＝OC·OD，
∴OD＝1，∴y2＝1.
6．设平面π与圆柱的轴的夹角为β (0°<β<90°)，现放入 Dandelin 双球使之与圆柱面和
平面π都相切，若已知 Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则
截线椭圆的离心率为( )
A.1
2
B. 2
2
C. 3
3
D. 3
2
[答案] B
[解析] ∵Dandelin 双球与平面π的两切点是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭
圆的短轴长，
∴2b＝2c，∴e＝c
a
＝ c
b2＋c2
＝ c
2c
＝ 2
2 .
二、填空题
7．如图，PT 切⊙O 于点 T，PA 交⊙O 于 A、B 两点，且与直径 CT 交于点 D，CD＝2，
AD＝3，BD＝6，则 PB＝________.
[答案] 15
[解析] 由相交弦定理得 DC·DT＝DA·DB，则 DT＝9.
由切割线定理得 PT2＝PB·PA，即(PB＋BD)2－DT2＝PB(PB＋AB)．又 BD＝6，AB＝AD
＋BD＝9，∴(PB＋6)2－92＝PB(PB＋9)，得 PB＝15.
8．(09·天津)如图，AA1 与 BB1 相交于点 O，AB∥A1B1 且 AB＝1
2A1B1.若△AOB 的外接圆
的直径为 1，则△A1OB1 的外接圆的直径为______________．
[答案] 2
[解析] ∵AB∥A1B1 且 AB＝1
2A1B1，∴△AOB∽△A1OB1，∴两三角形外接圆的直径之
比等于相似比，
∴△A1OB1 的外接圆直径为 2.
9．如图，EB、EC 是⊙O 的两条切线，B、C 是切点，A、D 是⊙O 上两点，如果∠E
＝46°，∠DCF＝32°，则∠A 的度数是________．
[答案] 99°
[解析] 连接 OB、OC、AC，根据弦切角定理得，
∠EBC＝∠BAC，∠CAD＝∠DCF，
可得∠A＝∠BAC＋∠CAD＝1
2(180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°.
[点评] 可由 EB＝EC 及∠E 求得∠ECB，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD，由圆内接四
边形对角互补求得∠A.
10．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PAB 为割线，PC＝4，PB＝8，∠B＝30°，则 BC＝
________.
[答案] 4 3
[解析] (1)由切割线定理 PC2＝PA·PB，
∴PA＝2，∠ACP＝∠B＝30°，
在△PAC 中，由正弦定理 2
sin30°
＝ 4
sin∠PAC
，
∴sin∠PAC＝1，
∴∠PAC＝90°，从而∠P＝60°，∠PCB＝90°，
∴BC＝ PB2－PC2＝ 82－42＝4 3.
11．(2010·重庆文)如图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 C，各段弧所在的
圆经过同一点 P(点 P 不在 C 上)且半径相等，设第 i 段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则
cosα1
3 cosα2＋α3
3
－sinα1
3 sinα2＋α3
3
＝____________.
[答案] －1
2
[解析] 如图，O1、O2、O3 为三个圆的圆心，A1、A2、A3 分别是每两个圆的交点，则
∠A1PA2＋∠A2PA3＋∠A3PA1＝1
2(α1＋α2＋α3)＝2π，∴α1＋α2＋α3＝4π，
∴cosα1
3 cosα2＋α3
3
－sinα1
3 sinα2＋α3
3
＝cosα1＋α2＋α3
3
＝cos4π
3
＝cos π＋π
3
＝－cosπ
3
＝－1
2.
12．(2010·广东中山市四校联考)如图，PA 切圆 O 于点 A，
割线 PBC 经过圆心 O，OB＝PB＝1，OA 绕点 O 逆时针旋转 60°
到 OD，则 PD 的长为________．
[答案] 7
[解析] 由图可知，PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)＝3，∴PA＝ 3，∴∠AOP＝60°，
又∠AOD＝60°，∴∠POD＝120°，∵PO＝2，OD＝1，
∴cos∠POD＝22＋12－PD2
2×2×1
＝－1
2
，∴PD＝ 7.
三、解答题
13．(2010·南京市调研)如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 在 AB 的延长线上，PC 与⊙O 相
切于点 C，PC＝AC＝1，求⊙O 的半径．
[解析] 连接 OC.
设∠PAC＝θ.因为 PC＝AC，所以∠CPA＝θ，∠COP＝2θ.
又因为 PC 与⊙O 相切于点 C，所以 OC⊥PC.
所以 3θ＝90°.所以θ＝30°.
设⊙O 的半径为 r，在 Rt△POC 中，
r＝CP·tan30°＝1× 3
3
＝ 3
3 .
14．(2010·江苏盐城调研)如图，圆 O 的直径 AB＝8，C 为圆周上一点，BC＝4，过 C
作圆的切线 l，过 A 作直线 l 的垂线 AD，D 为垂足，AD 与圆 O 交于点 E，求线段 AE 的长．
[解析] 连结 OC、BE、AC，则 BE⊥AE.
∵BC＝4，∴OB＝OC＝BC＝4，即△OBC 为正三角形，
∴∠CBO＝∠COB＝60°，
又直线 l 切⊙O 于 C，
∴∠DCA＝∠CBO＝60°，
∵AD⊥l，∴∠DAC＝90°－60°＝30°，
而∠OAC＝∠ACO＝1
2
∠COB＝30°，∴∠EAB＝60°，
在 Rt△BAE 中，∠EBA＝30°，∴AE＝1
2AB＝4.
15．(2010·辽宁实验中学)如图，⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P，
E 为⊙O 上一点，AE＝AC，DE 交 AB 于点 F，且 AB＝2BP＝4，
(1)求 PF 的长度．
(2)若圆 F 与圆 O 内切，直线 PT 与圆 F 切于点 T，求线段 PT 的长度．
[解析] (1)连结 OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，
结合题中条件弧长 AE 等于弧长 AC 可得∠CDE＝
∠AOC，
又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋∠OCP，
从而∠PFD＝∠OCP，故△PFD∽△PCO，
∴PF
PC
＝PD
PO
，
由割线定理知 PC·PD＝PA·PB＝12，
故 PF＝PC·PD
PO
＝12
4
＝3.
(2)若圆 F 与圆 O 内切，设圆 F 的半径为 r，
因为 OF＝2－r＝1，即 r＝1，
所以 OB 是圆 F 的直径，且过 P 点的圆 F 的切线为 PT，
则 PT2＝PB·PO＝2×4＝8，即 PT＝2 2.
