【数学】2019届一轮复习北师大版第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5节学案
第5节 指数与指数函数
最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的指数函数的图像；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
知 识 梳 理
1.根式
(1)概念：式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫作指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图像与性质
a>1
0
0时，y>1；
当x<0时，01；
当x>0时，00且a≠1)的图像越高，底数越大.
2.指数函数的单调性仅与底数a的取值有关.
3.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)＝－4.( )
(2)(－1)＝(－1)＝.( )
(3)函数y＝2x－1是指数函数.( )
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).( )
解析 (1)由于＝＝4，故(1)错.
(2)(－1)＝＝1，故(2)错.
(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，
故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.
(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.
故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(教材例题改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图像经过，则
f(－1)＝( )
A.1 B.2 C. D.3
解析 依题意可知a2＝，解得a＝，
所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.
答案 C
3.(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－，则f(x)( )
A.是偶函数，且在R上是增函数
B.是奇函数，且在R上是增函数
C.是偶函数，且在R上是减函数
D.是奇函数，且在R上是减函数
解析 ∵函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝3－x－＝－3x＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数.
∵函数y＝在R上是减函数，
∴函数y＝－在R上是增函数.
又∵y＝3x在R上是增函数，
∴函数f(x)＝3x－在R上是增函数.
答案 B
4.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A.a1，∴b0，a≠1)的图像恒过点A，下列函数中图像不经过点A的是( )
A.y＝ B.y＝|x－2|
C.y＝2x－1 D.y＝log2(2x)
(2)(2018·长沙一中质检)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
解析 (1)由题意，得点A(1，1)，将点A(1，1)代入四个选项，y＝的图像不过点A(1，1).
(2)将函数f(x)＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图像与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图像，如图所示.
∴当01.73 B.0.6－1>0.62
C.0.8－0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1
解析 (1)令g(x)＝ax2＋2x＋3，
由于f(x)的值域是，
所以g(x)的值域是[2，＋∞).
因此有解得a＝1，
这时g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝.
由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].
(2)A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，
∴1.72.5<1.73，错误；
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，
∴0.6－1>0.62，正确；
C中，∵(0.8)－1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，
∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；
D中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，
∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B.
答案 (1)(－∞，－1] (2)B
规律方法 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
【训练3】 (1)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a0时，f(x)为增函数，
log0.53＝－log23，所以log25>|－log23|>0，
所以b＝f(log25)>a＝f(log0.53)>c＝f(2m)＝f(0)，
故b＞a＞c.
(2)原不等式变形为m2－m<，
又y＝在(－∞，－1]上是减函数，知≥＝2.
故原不等式恒成立等价于m2－m<2，解得－11时，a，b，c的大小关系是( )
A.c1时，01，c＝logx<0，所以c0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A.a B.a C.a D.a
解析 原式＝＝＝a.
答案 C
3.(2018·南阳、信阳等六市一模)设x>0，且10时，11.
∵x>0时，bx0时，>1.
∴>1，∴a>b，∴11，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.00，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A.(－∞，2] B.[2，＋∞)
C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
解析 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减.
答案 B
二、填空题
6.不等式2x2－x<4的解集为________.
解析 ∵2x2－x<4，∴2x2－x<22，
∴x2－x<2，即x2－x－2<0，解得－10，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________.
解析 若a>1，则f(x)＝ax＋b在[－1，0]上是增函数，
∴则a－1＝0，无解.
当0e，
因此x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝e.
答案 e
三、解答题
9.已知f(x)＝x3(a>0，且a≠1).
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立.
解 (1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
对于定义域内任意x，有
f(－x)＝(－x)3
＝(－x)3
＝(－x)3
＝x3＝f(x).
∴f(x)是偶函数.
(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x>0时的情况，
当x>0时，要使f(x)>0，即x3>0，
即＋>0，即>0，则ax>1.
又∵x>0，∴a>1.
因此当a的取值范围为(1，＋∞)时，f(x)>0.
10.(2018·南昌三校联考)已知函数f(x)＝，a为常数，且函数的图像过点(－1，2).
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值.
解 (1)由已知得＝2，解得a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝，
又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝，
∴－－2＝0，
令＝t，则t>0，t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，
又t>0，故t＝2，即＝2，解得x＝－1，
故满足条件的x的值为－1.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2018·郑州质检)设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意的x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则( )
A.K的最大值为0 B.K的最小值为0
C.K的最大值为1 D.K的最小值为1
解析 对于任意的x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，
则f(x)≤K在(－∞，1]上恒成立，
即f(x)的最大值小于或等于K即可.
令2x＝t，则t∈(0，2]，y＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，
可得y的最大值为1，故K≥1.
答案 D
12.(2018·安徽江南十校联考)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是________.
解析 由f(x＋1)＝f(1－x)知y＝f(x)的图像关于x＝1对称，∴b＝2.
又f(0)＝3，得c＝3.
则f(bx)＝f(2x)，f(cx)＝f(3x).
当x≥0时，3x≥2x≥1，且f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴f(3x)≥f(2x).
当x<0时，0<3x<2x<1，且f(x)在(－∞，1]上是减函数，∴f(3x)>f(2x)，从而有f(cx)≥f(bx).
答案 f(cx)≥f(bx)
13.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－，
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)当x<0时，f(x)＝0，故f(x)＝无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－，
因为2x>0，所以2x＝2，所以x＝1.
(2)当t∈[1，2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1>0，
所以m≥－(22t＋1)，
因为t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞).
