【数学】2020届一轮复习苏教版专题五第一讲小题考法——函数与导数学案
[江苏卷5年考情分析]
小题考情分析
大题考情分析
常考点
1.函数的基本性质(5年4考)
2.函数的零点问题(5年4考)
3.导数与函数的单调性、最值(5年2考)
4.基本不等式(5年3考)
本部分内容在高考解答题中是必考内容.2014年第19题，考查函数与不等式；2015年第19题，考查函数的单调性及应用函数零点确定参数值；2016年第19题，考查函数与不等式、零点问题；2017年第20题，考查函数与导数、函数的极值、零点问题；2018年第19题，考查函数的定义、函数零点以及导数应用于函数的性质问题．题目难度较大，多体现分类讨论思想.
偶考点
1.一元二次不等式恒成立问题
2.线性规划问题
第一讲 小题考法——函数与导数
考点(一) 函数的基本性质
主要考查函数的三要素以及函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，常结合分段函数命题.
[题组练透]
1．(2018·江苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．
解析：由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，
可知函数f(x)的周期是4，
所以f(15)＝f(－1)＝＝，
所以f(f(15))＝f＝cos＝.
答案：
2．(2017·江苏高考)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(x)＝x3－2x＋ex－，
得f(－x)＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)，
所以f(x)是R上的奇函数．
又f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号，
所以f(x)在其定义域内单调递增．
因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，
所以f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)，
所以a－1≤－2a2，解得－1≤a≤，
故实数a的取值范围是.
答案：
3．(2018·扬州期末)已知函数f(x)＝若存在实数k使得该函数的值域为[－2,0]，则实数a的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)的图象如图所示，
①当x∈[－1，k]时，f(x)＝log(－x＋1)－1在[－1,1)上是单调递增，且f(－1)＝－2，f＝0，因为原函数在[－1，a]上的值域为[－2,0]，所以必有－1
0)，
f(x＋a)＝(x＋a)(1－a|x＋a|)＋1，
又∵f(x＋a)≤f(x)对任意的x∈R恒成立，
在同一直角坐标系中作出满足题意的y＝f(x＋a)与y＝f(x)的图象如图所示．
∴x(1＋ax)＋1≥(x＋a)[1－a(x＋a)]＋1恒成立，
即x＋ax2＋1≥－a(x2＋2ax＋a2)＋x＋a＋1，
整理得：2x2＋2ax＋a2－1≥0恒成立，
∴Δ＝4a2－4×2×(a2－1)≤0，解得a≥.
即实数a的取值范围是[，＋∞)．
答案：[，＋∞)
[方法技巧]
基本初等函数图象与性质的应用技巧
(1)指数函数与对数函数的单调性都取决于其底数，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和00和α<0两种情况的不同．
考点(三)
函数的零点问题
主要考查函数零点个数问题以及根据函数零点个数求参数的取值范围.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·苏锡常镇一模)若函数f(x)＝则函数y＝|f(x)|－的零点个数为________．
(2)(2018·镇江期末)已知k为常数，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx＋2有且只有四个不同解，则实数k的取值构成的集合为________．
[解析] (1)当x≥1时，y＝－，
则＝，即ln x＝x2，
令g(x)＝ln x－x2，x≥1，
则函数g(x)是连续函数且先增后减，
g(1)＝－＜0，g(2)＝ln 2－＞0，
g(4)＝ln 4－2＜0，由函数的零点判定定理可知g(x)＝ln x－x2有2个零点．
当x＜1时，y＝
函数的图象与y＝的图象如图，则两个函数有2个交点，综上，函数y＝|f(x)|－有4个零点．
(2)作函数y＝f(x)和y＝kx＋2的图象，如图所示，两图象除了(0,2)还应有3个公共点．
当k≥0时，直线应与曲线y＝f(x)(x>1)相切，
设切点(x0，ln x0)，则切线斜率为k＝，又k＝，则＝，解得x0＝e3，此时k＝；
当k<0时，当y＝kx＋2与曲线y＝相切于点(0,2)时，k＝－1，函数y＝f(x)和y＝kx＋2的图象只有3个公共点，不符合题意，
当－10.若函数y＝f(f(x))－1有3个不同的零点，则m的取值范围是________．
解析：令f(x)＝t，则f(t)＝1，所以t＝或t＝m－1，即f(x)＝与f(x)＝m－1有3个不同解．
画出函数f(x)的图象，结合题意解得
解得00时，令f(x)＝e－x－＝0，解得x＝ln 2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，因为f′(x)＝3x2－3m，若m≤0，则函数f(x)为增函数，不合题意，若m>0，由f′(x)>0，得x<－；由f′(x)<0，得－0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)．
法二：(分离参数法)当x>0时，令f(x)＝e－x－＝0，解得x＝ln 2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，令x3－3mx－2＝0，显然x＝0不是它的根，所以3m＝x2－，令y＝x2－(x<0)，则y′＝2x＋＝，当x∈(－∞，－1)时，y′<0，此时函数单调递减；当x∈(－1,0)时，y′>0，此时函数单调递增，故ymin＝3，因此，要使f(x)＝x3－3mx－2在(－∞，0)上有2个不同的零点，则需3m>3，即m>1.
答案：(1，＋∞)
[必备知能·自主补缺]
(一) 主干知识要牢记
1．函数的定义域
(1)函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识．
(2)对于复合函数的定义域要注意：
①如果函数f(x)的定义域为A，则f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x的取值范围．
②如果f(g(x))的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域．
③f(g(x))与f(h(x))联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同．
2．函数的值域
求函数值域的常用方法有观察法、不等式法、图象法、换元法、单调性法等．
3．函数的图象
函数的图象包括作图、识图、用图，其中作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
4．函数的单调性
单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判断函数单调性常用定义法、图象法及导数法．
5．函数的奇偶性
函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域上具有相同的单调性．判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及性质法．
6．函数的周期性
周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|，最小正数T叫做f(x)的最小正周期．
(二) 二级结论要用好
1．函数单调性和奇偶性的重要结论
(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)为增(减)函数．
(2)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．
(3)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0.
2．抽象函数的周期性与对称性的结论
(1)函数的周期性
①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，T＝2a.
②若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，T＝2a.
③若函数f(x)满足f(x＋a)＝，则f(x)是周期函数，T＝2a.
(2)函数图象的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，或f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，或f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．
③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
3．函数图象平移变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c＞0时向左移，c＜0时向右移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数)．
(2)把y＝f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b＜0时向下移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数)．
[课时达标训练]
A组——抓牢中档小题
1．(2018·江苏高考)函数f(x)＝的定义域为________．
解析：由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≥2}．
答案：{x|x≥2}
2．(2018·苏州期末)已知4a＝2，logax＝2a，则正实数x的值为________．
解析：由4a＝2，得22a＝21，所以2a＝1，即a＝.由logx＝1，得x＝1＝.
答案：
3．函数f(x)＝ln的值域是________．
解析：因为|x|≥0，所以|x|＋1≥1.
所以0＜≤1.所以ln≤0，
即f(x)＝ln的值域为(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
4．(2018·启东模考)设函数f(x)＝
则f(f(2))＝________.
解析：因为f(2)＝－4＋2＝－2，f(－2)＝－2－1＝3，所以f(f(2))＝3.
答案：3
5．已知f(x)是奇函数，g(x)＝.若g(2)＝3，则g(－2)＝________.
解析：由题意可得g(2)＝＝3，解得f(2)＝1.又f(x)是奇函数，则f(－2)＝－1，所以g(－2)＝＝＝－1.
答案：－1
6．(2018·南京、盐城一模)设函数y＝ex＋－a的值域为A，若A⊆[0，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
解析：因为ex>0，所以y＝ex＋－a≥2 －a＝2－a，当且仅当ex＝1，即x＝0时取等号．故函数的值域A＝[2－a，＋∞)．又A⊆[0，＋∞)，所以2－a≥0，得a≤2，即实数a的取值范围是(－∞，2]．
答案： (－∞，2]
7．(2018·福建模拟)已知函数f(x)＝有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：当x<1时，令ln(1－x)＝0，解得x＝0，故f(x)在(－∞，1)上有1个零点，
∴f(x)在[1，＋∞)上有1个零点．
当x≥1时，令－a＝0，得a＝≥1.
∴实数a的取值范围是[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
8．(2018·苏州模拟)设a＝log2，b＝log，c＝0.3，则a，b，c按从小到大的顺序排列为_________．
解析：因为log2log22＝1,0<0.3<0＝1，即a<0，b>1,0a－e；当x≥1时，f(x)＝x＋≥4，当且仅当x＝，即x＝2时，取“＝”，又函数f(x)的值域是[4，＋∞)，所以a－e≥4，即a≥e＋4.
答案： [e＋4，＋∞)
13．(2018·南京、盐城、连云港二模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋x.若f(a)＋f(－a)＜4，则实数a的取值范围为________．
解析：法一：(奇偶性的性质)因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(a)＋f(－a)＝2 f(|a|)<4，
得f(|a|)<2，即|a|2＋|a|<2，(|a|＋2)(|a|－1)<0，解得－10，且a≠2，则g(x)在[a，＋∞)上无零点，
在(－∞，a)上存在零点x＝0和x＝－，
∴≥a，解得0－时，f(a)＝log，因为a>－，所以>，从而f(a)<2.
综上，函数f(a)的值域是(－∞，2)．
令h(b)<2，即b2＋2b＋2<2，解得－20，y＝x3－ax＋|x－2|>0在(0，＋∞)恒成立，所以图象仅在第一象限，所以a＜0时显然满足题意；当a≥0时，x≤0，y＝ax－1的图象仅经过第三象限，由题意知，x>0，y＝x3－ax＋|x－2|的图象需经过第一、四象限．
y＝x3＋|x－2|与y＝ax在y轴右侧的图象有公共点(且不相切)，如图，
y＝x3＋|x－2|＝
结合图象设切点坐标为(x0，x－x0＋2)，y′＝3x2－1，则有3x－1＝，
解得x0＝1，所以临界直线l0的斜率为2，所以a＞2时，符合．综上，a＜0或a＞2.
答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)
5．(2018·苏州测试)设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝2x，若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f2(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当x≥0时，定义在R上的偶函数f(x)＝2x，易得f(x)＝2|x|，x∈R.由f(x＋a)≥f2(x)得，2|x＋a|≥(2|x|)2，即|x＋a|≥|2x|对于x∈[a，a＋2]恒成立，即(3x＋a)(x－a)≤0对于x∈[a，a＋2]恒成立，
即解得a≤－.
答案：
6．(2018·南京、盐城、连云港二模)已知函数f(x)＝t∈R.若函数g(x)＝f(f (x)－1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为________．
解析：当x<0时，f′(x)＝－3x2＋6x＝3x(2－x)，故函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，此时f(0)＝t.
当t≥0时，作出函数f(x)的图象如图①所示．
令f(x)＝0，得x＝0，
从而当g(x)＝f(f(x)－1)＝0时，f(x)＝1，
由图象①可知，此时至多有两个零点，不符合题意；
当t<0时，作出函数f(x)的图象如图②所示．
令f(x)＝0，得x＝0，或x＝m(m<0)，且－m3＋3m2＋t＝0，
从而当g(x)＝f(f(x)－1)＝0时，
f(x)－1＝0或f(x)－1＝m，即f(x)＝1或f(x)＝1＋m，
借助图象②知，欲使得函数g(x)恰有4个不同的零点，
则m＋1≥0，从而－1≤m<0.
又因为t(m)＝m3－3m2，而t′(m)＝3m2－6m>0，
故t(m)在区间[－1,0)上单调递增，从而t∈[－4,0)．
答案： [－4,0)
