高考文科数学模拟题5

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高考文科数学模拟题5

016 年全国高考文科数学模拟试题一 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必 将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 (1)设集合 , ,则 A. B. C. D. (2)给定函数① ,② ,③ ,④ ,其中在区间 上单 调递减的函数序号是 A.①④ B.②③ C.③④ D.①② (3)设 ,则“ ”是“ ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (4)设变量 满足约束条件 ,则目标函数 的最小值为 (A) (B) (C) (D) (5)一个袋子中有号码为 1、2、3、4、5 大小相同的 5 个小球,现从袋中任取出一个球,取出后 不放回,然后再从袋中任取一个球,则第一次取得号码为奇数,第二次取得号码为偶数球的概率 为 A. B. C. D. (6) 一空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为 12π+8 5 3 ,则正视图与侧视图中 x 的 值为 A.5    B.4    C.3    D.2 (7)一个样本容量为 10 的样本数据,它们组成一个公差不为 O 的等差数列{ },若 a3 =8,且 a1, a3,a7 成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是 A.13 ,12 B.13 ,13 C.12 ,13 D.13 ,14. (8)曲线 y= +1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 A. B. C. D.1 (9)已知双曲线 与抛物线 有一个公共的 焦点 F,且两曲线的一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. (10)若 表示不超过 的最大整数,执行如图所示 的程序框图,则输出 的值为 A. B. C. D. (11)已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=l, BC= ,则球 O 的表面积等于 A.4 B.3 C.2 D. (12)若函数 ,并且 ,则下列各结论正确 的是 A. B. 2{ | }M x x x= = { | lg 0}N x x= ≤ M N = [0,1] (0,1] [0,1) ( ,1]−∞ 2xe− 1 3 1 2 2 3 ( ) sin xf x x = 2 3 3a b π π< < < ( ) ( ) ( )2 a bf a f ab f +< < ( )( ) ( )2 a bf ab f f b +< < 1 2y x= 1 2 log ( 1)y x= + | 1|y x= − 12xy += (0,1) ,a b R∈ ( )3 2 0a b b− > a b> yx,    ≥− ≥− ≥+ 42 1 1 yx yx yx yxz += 3 11 3 2 3 13 na 2 2 2 2- 1( 0, 0)x y a ba b = > > 2 8y x= 3 0x y± = 3 0x y± = 2 0x y± = 2 0x y± = [ ]x x S 4 5 7 9 2 π π π π C. D. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必 须作答。第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大概题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)数列 的首项为 3, 为等差数列且 ,若 , , 则 . (14)已知向量 ,若 ⊥ ,则 16x+4y 的最小值为  . (15)已知直线 与双曲线 交于两点,则该双曲线的离心率的取值 范围是 . (16)如图甲, 在 中, , , 为.垂足, 则 , 该结论称为射影定 理. 如图乙, 在三棱锥 中, 平面 , 平 面 , 为 垂 足 , 且 在 内, 类比射影定理, 探究 、 、 这三者之间满足的关系是 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)( 本小题满分 12 分) 已知向量 (1)当 时,求 的值; (2)已知在锐角 ΔABC 中,a,b,c分别为角 A,B,C的对边, ,函数 ,求 的取值范围. (18)(本小题满分 12 分) 某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查,以 计算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”.若小区 内有至少 的住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称为“非低碳小区” .已知 备选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区,两个低碳小区. (Ⅰ)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率; (Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 ,调查显示其“低碳族”的比例为 ,数据如图 1 所示,经 过同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这时小区 是否达到“低 碳小区”的标准? (19)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD⊥底面 ABCD,E 是 AB 上一点.已知 PD= 2,CD=4,AD= 3. (Ⅰ)若∠ADE=π 6,求证:CE⊥平面 PDE; (Ⅱ)当点 A 到平面 PDE 的距离为 2 7时,求三棱锥 A-PDE 的侧面积. ( )( ) ( )2 a bf ab f f a +< < ( ) ( ) ( )2 a bf b f f ab +< < ABC∆ AB AC⊥ AD BC⊥ D 2AB BD BC= ⋅ A BCD− AD ⊥ ABC AO ⊥ BCD O O BCD∆ ABCS∆ BCOS∆ BCDS∆ %75 A 2 1 A O 月排放量 (百千克/户 户) 频率 组距 0.46 0.23 0.10 0.07 1 2 3 4 5 图 2 O 月排放量 (百千克/户 户) 频率 组距 0.30 0.25 0.20 0.15 0.05 1 2 3 4 5 图 1 6 0.14 { }na { }nb * 1 ( )n n nb a a n N+= − ∈ 23 −=b 1210 =b 8a = 2 xy = ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > (sin , 1), (cos ,3)m x n x= − =  //m n  ( ) ( )f x m n n= + ⋅   (20)(本小题满分 12 分) 已知 是椭圆 的左、右焦点,A 是椭圆上位于第一象限内的一点, ,若椭圆的离心率等于 . (1)求直线 的方程( 为坐标原点); (2)直线 交椭圆于点 ,若三角形 的面积等于 4 ,求椭圆的方程. (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 . (1)当 时,求函数 的单调区间; (2)若对于任意 都有 成立,求实数 的取值范围; (3)若过点 可作函数 图象的三条不同切线,求实数 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则安所做的第一题计分。作答 时请写清题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 为直角三角形, ,以 为直径的圆交 于点 ,点 是 边的中点,连 交圆 于点 . (Ⅰ)求证: 四点共圆; (Ⅱ)求证: . (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),在极坐标系(与直角 坐标系 取相同的长度单位,且以原点 为极点,以 轴正半轴为极轴)中,圆 的方程为 . (Ⅰ)求圆 的圆心到直线 的距离; (Ⅱ)设圆 与直线 交于点 .若点 的坐标为(3, ),求 . (24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式证明选讲 已知函数 (1)求不等式 的解集; (2)若关于 的不等式 在 上恒成立,求实数 的取值范围。 1 2,F F 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 1 2 0AF F F⋅ =  2 2 AO O AO B 2ABF 2 ( ) 3 21 23 2 af x x x x= − + − ( )a∈R 3a = ( )f x [ )1,x∈ +∞ ( ) 2( 1)f x a′ < − a 10, 3  −   ( )y f x= a ABC∆ 90=∠ABC AB AC E D BC OD O M EDBO ,,, ABDMACDMDE ⋅+⋅=22 xOy l 23 2 25 2 x t y t  = −  = + t xOy O x C 2 5 sinρ θ= C l C l A B、 P 5 | | | |PA PB+ 11)( ++−= xxxf 3)( ≥xf x xxaxf 2)( 22 +−> R a 016 年全国高考文科数学模拟试题一答案 一、选择题 (1)A (2)B (3)A (4)B (5)D (6)C (7)B (8)B (9)D (10)C (11)A (12)D 【 解 析 】 , , 令 则 在 成立,所以 g(x)为 的减函 数 , 所 以 , 所 以 , 所 以 为 的 减 函 数 , 所 以 . 二、填空题 (13) (14) 8 (15) (16) 三、解答题 (17)(本小题满分 12 分) 解:(I)由 m//n,可得 3sinx=-cosx,于是 tanx= . ∴ . …………………………4 分 (II)∵在△ABC 中,A+B= -C,于是 , 由正弦定理知: , ∴ ,可解得 . ………………………………………………6 分 又△ABC 为锐角三角形,于是 , ∵ =(m+n)·n =(sinx+cosx,2)·(sinx,-1)=sin2x+sinxcosx-2 = = , ∴ .……………………10 分 由 得 , ∴ 0 A 3− 5 ,2  +∞    又∠AED=π 3,∴∠DEC=π 2,即 CE⊥DE. ∵PD⊥底面 ABCD,CE 底面 ABCD, ∴PD⊥CE. ∴CE⊥平面 PDE.……………………………………………………………(6 分) (Ⅱ)∵PD⊥底面 ABCD,PD 平面 PDE, ∴平面 PDE⊥平面 ABCD. 如图,过 A 作 AF⊥DE 于 F,∴AF⊥平面 PDE, ∴AF 就是点 A 到平面 PDE 的距离,即 AF= 2 7. 在 Rt△DAE 中,由 AD·AE=AF·DE,得 3AE= 2 7· 3+AE 2,解得 AE=2. ∴S△APD= 1 2PD·AD= 1 2× 2× 3=2, S△ADE= 1 2AD·AE= 1 2× 3×2= 3, ∵BA⊥AD,BA⊥PD,∴BA⊥平面 PAD, ∵PA 平面 PAD,∴BA⊥PA. 在 Rt△PAE 中,AE=2,PA= PD 2+AD 2= 2+3= 5, ∴S△APE= 1 2PA·AE= 1 2× 5×2= 5. ∴三棱锥 A-PDE 的侧面积 S 侧=2+ 3+ 5.…………………………(12 分) (20)(本小题满分 12 分) 解:(1)由 ,知 ,因为椭圆的离心率等于 , 所以, 可得 ,设椭圆方程为 --------2 分 设 ,由 ,知 ∴ ,代入椭圆方程可得 --------4 分 ∴A( ),故直线 的斜率 --------5 分 直线 的方程为 --------6 分 (2)连结 由椭圆的对称性可知, , --------9 分 所以 -------10 分 又由 解得 ,故椭圆方程为 ------12 分 (21)(本小题满分 12 分) 解:(1)当 时, ,得 .………1 分 因为 , 所以当 时, ,函数 单调递增; 当 或 时, ,函数 单调递减. 所以函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 和 .……3 分 (2)方法 1:由 ,得 , 因为对于任意 都有 成立, 即对于任意 都有 成立, 即对于任意 都有 成立,………………………………4 分 令 ,要使对任意 都有 成立, 必须满足 或 …………………………………………5 分 2 1 2 0AF F F⋅ =  212 FFAF ⊥ 2 2 2 ,2c a= 2 21 2b a= 2 2 22x y a+ = 0 0( , )A x y 2 1 2 0AF F F⋅ =  0x c= 0( , )A c y 0 1 2y a= 2 1,2 2a a AO 2 2k = AO 2 2y x= 1 1 2 2, , , ,AF BF AF BF 2112 FAFABFABF SSS ∆∆∆ == 242 122 1 =ac 2 2c a= 2 216, 16 8 8a b= = − = 2 2 116 8 x y+ = 3a = ( ) 3 21 3 23 2f x x x x= − + − ( ) 2' 3 2f x x x= − + − ( ) ( )( )2' 3 2 1 2f x x x x x= − + − = − − − 1 2x< < ( ) 0f x′ > ( )f x 1x < 2x > ( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x ( )1,2 ( ),1−∞ ( )2,+∞ ( ) 3 21 23 2 af x x x x= − + − ( ) 2' 2f x x ax= − + − [ )1,x∈ +∞ '( ) 2( 1)f x a< − [ )1,x∈ +∞ 2 2 2( 1)x ax a− + − < − [ )1,x∈ +∞ 2 2 0x ax a− + > ( ) 2 2h x x ax a= − + [ )1,x∈ +∞ ( ) 0h x > 0∆ < ( ) 0, 1,2 1 0. a h ∆ ≥  ≤   > ⊂ ⊂ ⊂ 即 或 …………………………………………6 分 所以实数 的取值范围为 .……………………………………………7 分 方法 2:由 ,得 , 因为对于任意 都有 成立, 所以问题转化为,对于任意 都有 .………………4 分 因为 ,其图象开口向下,对称轴为 . ①当 时,即 时, 在 上单调递减, 所以 , 由 ,得 ,此时 .…………………………………5 分 ②当 时,即 时, 在 上单调递增,在 上单调递减, 所以 , 由 ,得 ,此时 .……………Ks5uKs5uKs5u ………………6 分 综上①②可得,实数 的取值范围为 .…………………………………………7 分 (3)设点 是函数 图象上的切点, 则过点 的切线的斜率为 ,…………………………………8 分 所以过点 的切线方程为 .……………9 分 因为点 在切线上, 所以 即 .……………………………10 分 若过点 可作函数 图象的三条不同切线, 则方程 有三个不同的实数解.……………………………………10 分 令 ,则函数 与 轴有三个不同的交点. 令 ,解得 或 . 因为 , , 所以必须 ,即 . 所以实数 的取值范围为 .………………………………………………12 分 (22) (本小题满分 10 分) 解:(1)连接 ,则 ……………………………………………1 分 又 是 的中点,所以 ……………………………………………3 分 又 ,所以 ,所以 故 四点共圆. …………………………………………………………5 分 (2) 延长 交圆于点 , ……………………8 分 2 8 0a a− < 2 8 0, 1,2 1 0. a a a a  − ≥  ≤  + > a ( )1,8− ( ) 3 21 23 2 af x x x x= − + − ( ) 2' 2f x x ax= − + − [ )1,x∈ +∞ '( ) 2( 1)f x a< − [ )1,x∈ +∞ [ ]max'( ) 2( 1)f x a< − ( ) 2 2 22 4 a af x x ′ = − − + −   2 ax = 12 a < 2a < ( )'f x [ )1,+∞ ( ) ( )max' ' 1 3f x f a= = − ( )3 2 1a a− < − 1a > − 1 2a− < < 12 a ≥ 2a ≥ ( )'f x 1, 2 a     ,2 a +∞   ( ) 2 max' ' 22 4 a af x f  = = −   ( )2 2 2 14 a a− < − 0 8a< < 2 8a≤ < a ( )1,8− 3 21, 23 2 aP t t t t − + −   ( )y f x= P ( ) 2' 2k f t t at= = − + − P ( )( )3 2 21 2 23 2 ay t t t t at x t+ − + = − + − − 10, 3  −   ( )( )3 2 21 1 2 2 03 3 2 at t t t at t− + − + = − + − − 3 22 1 1 03 2 3t at− + = 10, 3  −   ( )y f x= 3 22 1 1 03 2 3t at− + = ( ) 3 22 1 1 3 2 3g t t at= − + ( )y g t= t ( ) 22 0g t t at′ = − = 0t = 2 at = ( ) 10 3g = 31 1 2 24 3 ag a  = − +   31 1 02 24 3 ag a  = − + <   2a > a ( )2,+∞ BE ECBE ⊥ D BC BDDE = ODODOBOE == , ODBODE ∆≅∆ 90=∠=∠ OEDOBD BOED ,,, DO H +⋅=+⋅=⋅= DODMOHDODMDHDMDE )(2  OHDM ⋅ ,即 ……10 分 (23)(本小题满分 10 分) 解:(1)由 得 ,即 由 得 所以 …………………4 分 (2)将 的参数方程代入圆 的直角坐标方程,得 即 ,由于 故可设 是上述方程的两实根,所以 ,又直线 过点 ,故由上式及 的几 何意义得: …………………10 分 (24)(本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)由题设知: , 令 ,解得 ,这就是两个分界点。把全体实数分成 3 个区间。 不等式的解集是以下不等式组解集的并集: ,或 ,或 ………………3 分 解得函数 的解集为 ; ………………………………5 分 (Ⅱ)不等式 即 , 时,恒有 ,…………………………8 分 不等式 解集是 R, 的取值范围是 .…………………………………………………………10 分 )2 1()2 1(2 ABDMACDMDE ⋅+⋅=∴ ABDMACDMDE ⋅+⋅=22 θρ sin52= 05222 =−+ yyx 5)5( 22 =−+ yx 23 2 25 2 x t y t  = −  = + 053 =−−+ yx 2 23 2 535 = −− =d l C 5)2 2()2 23( 22 =+− tt 04232 =+− tt 0144)23( 2 >××−=∆ 21,tt    = =+ 4 23 21 21 tt tt l )5,3(p t 232121 =+=+=+ ttttPBPA 721 >++− xx 1 0, 2 0x x− = + = 1, 2x x= = −    >++− ≥ 721 1 xx x    >+++− <<− 721 12 xx x    >−−+− −≤ 721 2 xx x )(xf ),3()4,( +∞∪−−∞ 3)( ≥xf 821 +≥++− axx Rx∈ 3)2()1(21 =+−−≥++− xxxx  821 +≥++− axx 8 3,a∴ + ≤ a∴ ]5-,(−∞
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