2018高考数学(文)复习-2013-2017高考分类汇编-第5章 平面向量

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2018高考数学(文)复习-2013-2017高考分类汇编-第5章 平面向量

第五章 ‎ 平面向量 第1节 平面向量的概念、基本定理及坐标运算 题型62 向量的概念及共线向量 ‎1. (2013辽宁文3)已知点,则与向量同方向的单位向量为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎1.解析 则与其同方向的单位向量.故选A.‎ 题型63 平面向量的线性运算 ‎1.(2013江苏10)设分别是的边上的点,,,‎ 若(为实数),则的值为 .‎ ‎1.分析 利用平面向量的加、减法的运算法则将用,表示出来,对照已知条件,求出,的值即可.‎ 解析 由题意,‎ 于是.故.‎ ‎2. (2013四川文12)如图,在平行四边形中,对角线与交于点,,则 . ‎ ‎2.分析 根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义求解.‎ 解析 由向量加法的平行四边法则,得.又是的中点,所以 ‎,所以,所以.又,所以 ‎.‎ ‎3.(2014福建文10)设为平行四边形对角线的交点,为平行四边形所在平面内任意一点,则等于( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.(2014新课标Ⅰ文6)设分别为的三边的中点,则( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.(2014浙江文9)设为两个非零向量的夹角,已知对任意实数,的最小值为( ).‎ ‎ A.若确定,则唯一确定 B.若确定,则唯一确定 ‎ C.若确定,则唯一确定 D.若确定,则唯一确定 ‎6.(2017全国2文4)设非零向量,满足,则( ).‎ A B. C. D. ‎ ‎6.解析 由平方得,即,则.故选A.‎ ‎7.(2017天津文14)在中,,,.若,,且,则的值为 .‎ ‎7.解析 解法一:如图所示,以向量,为平面向量的基底,则依题意可得.‎ 又因为,则.‎ 又因为,则 ‎,即得.‎ 解法二:以点为坐标原点,以所在直线为轴建立直角坐标系(如图所示).依题意易得,,,则可得,,于是有,‎ 解得.‎ 题型64 向量共线的应用 ‎1.(2015北京文6)设,是非零向量,“”是“”的( ).‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎1.解析 由,若,则,即,‎ 因此.反之,若,并不一定推出,而是,原因在于:‎ 若,则或.所以“”是“”的充分而不必要条件.故选A.‎ 题型65 平面向量基本定理及应用 ‎1.(2013广东文10)设是已知的平面向量且.关于向量的分解,有如下四个命题:‎ ‎①给定向量,总存在向量,使; ‎ ‎②给定向量和,总存在实数和,使;‎ ‎③给定向量和正数,总存在单位向量,使.‎ ‎④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使.‎ 上述命题中的向量、和,在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数 ‎ A. 1 B. ‎2 C. 3 D.4 ‎ ‎1.分析 利用向量的平行四边形法则或三角形法则、平面向量基本定理进行判断.‎ 解析 对于①,若向量确定,因为是确定的,故总存在向量,满足,‎ 即,故正确;‎ 对于②,因为和不共线,由平面向量基本定理知,总存在唯一的一对实数,满足,故正确;‎ 对于③,如果,则以为三边长可以构成一个三角形,如果和正数确定,则一定存在单位向量和实数满足,故正确;‎ 对于④,如果给定的正数和不能满足“为三边长可以构成一个三角形”这时单位向量和就不存在,故错误.故选C.‎ ‎2.(2016四川文9) 已知正的边长为,平面内的动点,满足,,则的最大值是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. B解析 正三角形的对称中心为,易得,.‎ 以为原点,直线为轴建立平面直角坐标系,如图所示.‎ 则.‎ 设,由已知,得.‎ 又,所以,所以.‎ 因此.‎ 它表示圆上的点与点距离平方的,‎ 所以.故选.‎ 题型66 向量的坐标运算 ‎1.(2014广东文3)已知向量,则( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.(2014北京文3)已知向量,,则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 解析 由知,所以.故选A.‎ ‎3.(2014湖南文10)在平面直角坐标系中,为原点,,,,动点满足,则的取值范围是( ).‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎4.(2014陕西文18)(本小题满分12分)在直角坐标系中,已知点,点在三边围成的区域(含边界)上,且.‎ ‎(1)若,求;‎ ‎(2)用表示,并求的最大值.‎ ‎5.(2015全国1文2) 已知点,向量,则向量( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.解析 由题意可得,‎ ‎.故选A.‎ ‎6.(2015年湖南文9) 已知点,,在圆上运动,且.若点的坐标为,则的最大值为( ).‎ A. 6 B. ‎7 C. 8 D. 9‎ ‎6.解析 解法一: 由题意,为直径,所以,‎ 当点为时,取得最大值.故选B.‎ 解法二 :由题意得,为圆的直径,故可设,‎ 所以,而,‎ 当且仅当“”时“”,取所以的最大值为.故选B.‎ ‎7.(2015年江苏6)已知向量,,若,则的值为 .‎ ‎7.解析 由题意,‎ 从而,解得,故.‎ 评注 也可以将用与线性表示,‎ 如.‎ 题型67 向量平行(共线)的坐标表示 ‎1. (2013陕西文2)已知向量,若,则实数等于( ).‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎1.解析 由.故选C.‎ ‎2.(2015四川文2)设向量与向量共线,则实数( ).‎ ‎ A. 2 B. ‎3 C. 4 D. 6‎ ‎2.解析 由向量平行的性质,得,解得.故选B.‎ ‎3.(2016全国甲文13)已知向量,向量,且,则_________.‎ ‎3. 解析 因为,所以,解得.‎ ‎4.(2017山东文11)已知向量,,若,则 .‎ ‎4.解析 由,得,解得.‎ 第2节 平面向量的数量积 题型68 平面向量的数量积 1. ‎(2013湖北文7)已知点,,,,则向量在 ‎ 方向上的投影为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎1.分析 首先求出的坐标,然后根据投影的定义进行计算.‎ 解析 由已知得,因此在方向上的投影为.故选A.‎ ‎2.(2013福建文10)在四边形则该四边形的面积为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎2.分析 先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直,再求面积.‎ 解析 因为,所以,‎ 所以.故选C.‎ ‎3. (2013湖南文8)已知是单位向量,.若向量满足 则的最大值为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎3.分析 将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律求解.‎ 解析 因为是单位向量,所以.又,所以,所以.‎ 所以.‎ 所以.所以.‎ 所以.‎ 所以.所以.‎ 所以.所以的最大值为.故选C.‎ 4. ‎(2013天津文12)在平行四边形中,,‎ ‎ ,为的中点.若, 则的长 ‎ ‎ 为 .‎ ‎4.分析 用表示与,然后进行向量的数量积计算.‎ 解析 由已知得 所以 所以 ‎5.(2013浙江文17) 设为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大值等于________.‎ ‎5.分析 为了便于计算可先求的范围,再求的最值.‎ 解析 根据题意,得 ‎.‎ 因为,所以,所以.故的最大值为.‎ ‎6. (2013安徽文13)若非零向量满足,则与夹角的余弦值为 .‎ ‎6.解析 由两边平方,得所以.‎ 又所以.‎ 7. ‎(2013山东文15)在平面直角坐标系中,已知,.若 ‎ ,则实数的值为 .‎ ‎7.分析 利用向量垂直的充要条件,列方程求解.‎ 解析 因为,所以,所以.又 ‎,所以.所以.‎ 7. ‎(2013重庆文14) 在为边,为对角线的矩形中,,‎ ‎ 则实数 .‎ ‎8.分析 画出矩形草图,利用向量加减运算及数量积运算直接求解.‎ 解析 如图所示,由于,所以.‎ 在矩形中,由得,所以,即,解得.‎ ‎9.(2014大纲文6)已知为单位向量,其夹角为,则( ).‎ A. B.‎0 C.1 D.2‎ ‎10.(2014新课标Ⅱ文4)设向量满足,,则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎11. (2014山东文7)已知向量. 若向量的夹角为,则实数( ). ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. (2014安徽文10)设为非零向量,,两组向量和均由2个和2个排列而成,若所有可能取值中的最小值为,则与的夹角为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎13. 分析 本题考查向量的数量积的最值.‎ 解析 由如下三种可能:‎ ‎① ;‎ ‎② ;‎ ‎③ .‎ 易知,当时,,,‎ 此时,‎ 因此最小值为.‎ 当时, ‎ 得,此时,不满足题意,故舍去.‎ 综上所述,若最小值为,则与的夹角.故选B.‎ ‎14.(2014四川文10)已知为抛物线的焦点,点,在该抛物线上且位于轴的两侧,(其中为坐标原点),则与面积之和的最小值是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎15.(2014重庆文12)已知向量_________.‎ ‎16.(2014江西文12)已知单位向量的夹角为,且,若向量,则 .‎ ‎17.(2014陕西文13)设,向量,‎ 若,则_______.‎ ‎18.(2014四川文14)向量,,,且与的夹角等于与的夹角,则____________.‎ ‎19.(2014湖北文12)若向量,,, 则 .‎ ‎20.(2014江苏12)如图所示,在平行四边形中,已知,,,,则的值是 .‎ ‎21. (2014天津文13)已知菱形的边长为,,点,分别在边,上,,.若,则的值为________.‎ ‎22.(2015全国2文4)向量,,则( ).‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎22.解析 由向量的坐标表示方法知,,.故有.故选C.‎ ‎23.(2015福建文7)设向量,,.若,则实数的值等于( ).‎ A. B. C. D. [来源:Z.xx.‎ ‎23.解析 由已知可得,因为,则,即,解得.故选A.‎ ‎24.(2015广东文9) 在平面直角坐标系中,已知四边形是平行四边形,‎ ‎,,则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎24.解析 因为四边形是平行四边形,由平行四边形法则可得,所以.故选A.‎ 评注 本题考查1.平面向量的加法运算;2.平面向量数量积的坐标运算.‎ ‎25.(2015重庆文7)已知非零向量,满足,且,则与的夹角为 ‎( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎25.解析 因为,所以,即,‎ 所以,所以与的夹角为.故选C.‎ ‎26.(2015陕西文8)对任意的平面向量,,下列关系式中不恒成立的是( ).‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎26.解析 因为,所以A选项正确;‎ 当与方向相反时,B选项不成立,所以B选项错误;‎ 向量平方等于向量模的平方,所以C选项正确;‎ ‎,所以D选项正确.故选B.‎ ‎27.(2015年湖南文9) 已知点,,在圆上运动,且.‎ 若点的坐标为,则的最大值为( ).‎ A. 6 B. ‎7 C. 8 D. 9‎ ‎27.解析 解法一: 由题意,为直径,所以 ‎,当点为时,取得最大值.故选B.‎ 解法二 :由题意得,为圆的直径,‎ 故可设,‎ 所以,‎ 而,‎ 当且仅当“”时取“”,所以的最大值为.故选B.‎ ‎28.(2015安徽文15)是边长为2的等边三角形,已知向量,满足,‎ ‎,则下列结论中正确的是 (写出所有正确结论的序号).‎ ‎①为单位向量;②为单位向量;③;④;⑤.‎ ‎28.解析 由题意作图,如图所示.‎ 因为等边三角形的边长为2,,‎ 所以,得.故①正确;‎ 因为,所以,‎ 得.故②错误,④正确;‎ 由,,为等边三角形,可得与的夹角为.故③错误;‎ 由.‎ 所以,故⑤正确.‎ 综上可知,正确的编号是①④⑤.‎ 评注 1. 考查平面向量的基本概念;2. 考查平面向量的性质.‎ ‎29.(2015湖北文11).已知向量,,则 .‎ ‎29 .解析 因为,所以即,‎ ‎.‎ ‎30.(2015山东文13)过点作圆的两条切线,切点分别为 则 .‎ ‎30.解析 根据题意,作出图形,如图所示.‎ 由平面几何知识,得.‎ 由切线长定理,得.‎ 在中,,所以.‎ 可得.所以.‎ ‎31.(2015天津文13)在等腰梯形中,已知,, ,‎ ‎,点和点分别在线段和上,且,, ‎ 则的值为 .‎ ‎31.解析 在等腰梯形中,由,,得,, ,‎ 所以 ‎.‎ ‎32.(2015浙江文13) 已知,是平面单位向量,且.若平面向量满足 ‎,则 .‎ ‎32.解析 设,,由,得,即.‎ 又,得,即,故.‎ 过点作直线,如图所示,因为,,‎ 据平面向量数量积的几何意义知,在,上的投影均为,‎ 所以.故.‎ ‎33.(2016北京文9)已知向量,,则与 夹角的大小为_________.‎ ‎33. 解析 由已知可得,.‎ 所以.‎ ‎34.(2016全国丙文3)已知向量,,则( ). ‎ A. B. C. D.‎ ‎34. A 解析 因为,,,‎ 所以.‎ 由,所以.故选A.‎ ‎35.(2016全国乙文13)设向量,,且,则 .‎ ‎35. 解析 由题意,解得.‎ ‎36. (2016山东文13)已知向量,.若,则实数的值为________.‎ ‎36. 解析 由题意可得,‎ ‎,解得.‎ ‎37.(2016天津文7)已知是边长为1的等边三角形,点,分别是边,的中点,连接并延长到点,使得,则的值为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎37.B 解析 由题意作图,如图所示.则.故选B.‎ ‎38.(2016上海文12)如图所示,已知,,,是曲线上一个动点,则的取值范围是 .‎ ‎38.解析 由题意设,故,‎ 由线性规划的有关知识知.故填.‎ 评注 也可以设,,则,.利用三角有关知识求解.‎ ‎39.(2016浙江文15)已知平面向量,,,,.若为平面单位向量,则的最大值是________.‎ ‎39.解析 由已知得,所以.‎ 不妨取,,设,‎ 则 ‎,取等号时与同号.‎ 所以(其中,,取为锐角).显然.易知当时,取最大值1,此时为锐角,,同为正,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为.‎ ‎40.(2016江苏13)如图所示,在中,是的中点,,是上两个三等分点,,,则 的值是 .‎ ‎40. 解析 解法一(基底法):令,,则,,,则,,,,,,故,,因此,.故.‎ 解法二(建系法):可以考虑以为原点,所在直线为轴,的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设,,则,,.‎ 则,,,,,.由题意,,因此,,故.‎ 评注 特别地,可以假定,建立特殊的直角坐标系.这类问题以前也遇到过,比如下面一题.‎ 在平面四边形中,点,分别是边,的中点,且,,.若,则 .‎ 解析 解法一(配凑):由题意得,,‎ 从而,平方整理得.‎ ‎(或).‎ 故 ‎.故填.‎ 解法二:(建系)建立如图所示的平面直角坐标系,‎ 不妨设,,从而,,.‎ 由题意,从而,‎ 即通过,求解,‎ ‎①②得,即④,‎ 而③即为⑤,‎ ‎⑤④得,即.故填.‎ 可见,强制建系归根结底转化为恰当的代数(强烈的目标意识)处理,而合理的建系会对运算起到简化作用.‎ ‎41.(2017全国1文13)已知向量,.若向量与垂直.则 .‎ 解析 由题得,因为与,所以,解得.‎ ‎42.(2017全国3文13)已知向量,,且,则 .‎ 解析 因为,所以,即,解得.‎ 评注 考查向量的坐标运算,属于基础题型,公式套用即可,没有难度.‎ ‎43.(2017浙江10)如图所示,已知平面四边形,,,,与交于点,记 ,,,则( ).‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎43.解析 如图所示,动态研究问题:,.此时有,,,且,.‎ 故.‎ ‎44.(2017浙江15)已知向量,满足,,则的最小值是 ,最大值是 .‎ ‎44.解析 解法一:如图所示,和是以 为邻边的平行四边形的两条对角线,则,是以为圆心的单位圆上的一动点,构造2个全等的平行四边形,平行四边形.所以.‎ 易知当,B,C三点共线时,最小,此时;‎ 当时,最大,此时. ‎ 解法二:‎ ‎(是向量,的夹角).‎ 所以当时,取得最小值4;当时,取得最大值.‎ ‎45.(2017江苏12)如图所示,在同一个平面内,向量,,的模分别为,,,与的夹角为,且,与的夹角为.若, 则 .‎ ‎45.解析 解法一:由题意 (*)‎ 而由,得,,‎ ‎.‎ 将(*)式化简为 ‎ 式①加式②,得.故填.‎ 解法二(坐标法):如图所示,以所在的直线为轴,过且垂直于的直线为轴 建立平面直角坐标系,由题意结合解法一可得,,,由 ‎,得,即,解得,‎ 故.故填.‎ 解法三(解三角形):由,可得,,如图所示,根据向 量的分解,易得,即,即,‎ 解得,所以.‎ 题型69 向量与三角形四心——暂无
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