2018高考数学（文）复习-2013-2017高考分类汇编-第5章 平面向量

2018高考数学（文）复习-2013-2017高考分类汇编-第5章 平面向量

第五章 ‎ 平面向量 第1节 平面向量的概念、基本定理及坐标运算 题型62 向量的概念及共线向量 ‎1. （2013辽宁文3）已知点，则与向量同方向的单位向量为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎1.解析 则与其同方向的单位向量.故选A.‎ 题型63 平面向量的线性运算 ‎1.（2013江苏10）设分别是的边上的点，，，‎ 若（为实数），则的值为 .‎ ‎1.分析 利用平面向量的加、减法的运算法则将用，表示出来，对照已知条件，求出，的值即可.‎ 解析 由题意，‎ 于是.故.‎ ‎2. （2013四川文12）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则 . ‎ ‎2.分析 根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义求解.‎ 解析 由向量加法的平行四边法则，得.又是的中点，所以 ‎，所以，所以.又，所以 ‎.‎ ‎3.（2014福建文10）设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意一点，则等于（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.（2014新课标Ⅰ文6）设分别为的三边的中点，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.（2014浙江文9）设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数，的最小值为（ ）.‎ ‎ A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 ‎ C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定 ‎6.（2017全国2文4）设非零向量，满足，则（ ）.‎ A B. C. D. ‎ ‎6.解析 由平方得，即，则.故选A.‎ ‎7.（2017天津文14）在中，，，.若，，且，则的值为 .‎ ‎7.解析 解法一：如图所示，以向量，为平面向量的基底，则依题意可得.‎ 又因为，则.‎ 又因为，则 ‎，即得.‎ 解法二：以点为坐标原点，以所在直线为轴建立直角坐标系(如图所示).依题意易得，，，则可得，，于是有，‎ 解得.‎ 题型64 向量共线的应用 ‎1.（2015北京文6）设，是非零向量，“”是“”的（ ）.‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎1.解析 由，若，则，即，‎ 因此.反之，若，并不一定推出，而是，原因在于：‎ 若，则或.所以“”是“”的充分而不必要条件.故选A.‎ 题型65 平面向量基本定理及应用 ‎1．（2013广东文10）设是已知的平面向量且．关于向量的分解，有如下四个命题：‎ ‎①给定向量，总存在向量，使； ‎ ‎②给定向量和，总存在实数和，使；‎ ‎③给定向量和正数，总存在单位向量，使.‎ ‎④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使.‎ 上述命题中的向量、和，在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数 ‎ A． 1 B． ‎2 C． 3 D．4 ‎ ‎1.分析 利用向量的平行四边形法则或三角形法则、平面向量基本定理进行判断.‎ 解析 对于①，若向量确定，因为是确定的，故总存在向量，满足，‎ 即，故正确；‎ 对于②，因为和不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数，满足，故正确；‎ 对于③，如果，则以为三边长可以构成一个三角形，如果和正数确定，则一定存在单位向量和实数满足，故正确；‎ 对于④，如果给定的正数和不能满足“为三边长可以构成一个三角形”这时单位向量和就不存在，故错误.故选C.‎ ‎2.（2016四川文9） 已知正的边长为，平面内的动点，满足，，则的最大值是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. B解析 正三角形的对称中心为，易得，.‎ 以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示.‎ 则.‎ 设，由已知，得.‎ 又，所以，所以.‎ 因此.‎ 它表示圆上的点与点距离平方的，‎ 所以.故选.‎ 题型66 向量的坐标运算 ‎1.（2014广东文3）已知向量，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.（2014北京文3）已知向量，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 解析 由知，所以.故选A.‎ ‎3.（2014湖南文10）在平面直角坐标系中，为原点，，，，动点满足,则的取值范围是（ ）.‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎4.（2014陕西文18）（本小题满分12分）在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，且.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）用表示，并求的最大值.‎ ‎5.（2015全国1文2） 已知点，向量，则向量（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.解析 由题意可得，‎ ‎.故选A.‎ ‎6.（2015年湖南文9） 已知点，，在圆上运动，且.若点的坐标为，则的最大值为（ ）.‎ A. 6 B. ‎7 C. 8 D. 9‎ ‎6.解析 解法一: 由题意，为直径，所以，‎ 当点为时，取得最大值.故选B.‎ 解法二 :由题意得，为圆的直径，故可设，‎ 所以，而，‎ 当且仅当“”时“”，取所以的最大值为.故选B.‎ ‎7.（2015年江苏6）已知向量，，若，则的值为 ．‎ ‎7.解析 由题意，‎ 从而，解得，故．‎ 评注 也可以将用与线性表示，‎ 如．‎ 题型67 向量平行（共线）的坐标表示 ‎1. (2013陕西文2）已知向量，若，则实数等于（ ）.‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎1.解析 由.故选C.‎ ‎2.（2015四川文2）设向量与向量共线，则实数（ ）.‎ ‎ A. 2 B. ‎3 C. 4 D. 6‎ ‎2.解析 由向量平行的性质，得，解得.故选B.‎ ‎3.（2016全国甲文13）已知向量，向量，且，则_________.‎ ‎3. 解析 因为，所以，解得.‎ ‎4.（2017山东文11）已知向量，，若，则 .‎ ‎4.解析 由，得，解得.‎ 第2节 平面向量的数量积 题型68 平面向量的数量积 1. ‎（2013湖北文7）已知点，，，，则向量在 ‎ 方向上的投影为（ ）.‎ A． B． C． D． ‎ ‎1.分析 首先求出的坐标，然后根据投影的定义进行计算.‎ 解析 由已知得，因此在方向上的投影为.故选A.‎ ‎2．(2013福建文10）在四边形则该四边形的面积为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎2.分析 先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直，再求面积.‎ 解析 因为，所以，‎ 所以.故选C.‎ ‎3. (2013湖南文8）已知是单位向量，.若向量满足 则的最大值为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎3.分析 将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律求解.‎ 解析 因为是单位向量，所以.又，所以，所以.‎ 所以.‎ 所以.所以.‎ 所以.‎ 所以.所以.‎ 所以.所以的最大值为.故选C.‎ 4. ‎(2013天津文12）在平行四边形中，，‎ ‎ ，为的中点.若， 则的长 ‎ ‎ 为 .‎ ‎4.分析 用表示与，然后进行向量的数量积计算.‎ 解析 由已知得 所以 所以 ‎5.（2013浙江文17） 设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于________.‎ ‎5.分析 为了便于计算可先求的范围，再求的最值.‎ 解析 根据题意，得 ‎.‎ 因为，所以，所以.故的最大值为.‎ ‎6. (2013安徽文13）若非零向量满足，则与夹角的余弦值为 .‎ ‎6.解析 由两边平方，得所以.‎ 又所以.‎ 7. ‎（2013山东文15）在平面直角坐标系中，已知，．若 ‎ ，则实数的值为 ．‎ ‎7.分析 利用向量垂直的充要条件，列方程求解.‎ 解析 因为，所以，所以.又 ‎，所以.所以.‎ 7. ‎(2013重庆文14） 在为边，为对角线的矩形中，，‎ ‎ 则实数 .‎ ‎8.分析 画出矩形草图，利用向量加减运算及数量积运算直接求解.‎ 解析 如图所示，由于，所以.‎ 在矩形中，由得，所以，即，解得.‎ ‎9.（2014大纲文6）已知为单位向量，其夹角为，则（ ）.‎ A． B．‎0 C．1 D．2‎ ‎10.（2014新课标Ⅱ文4）设向量满足，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎11. （2014山东文7）已知向量. 若向量的夹角为，则实数（ ）. ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. （2014安徽文10）设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎13. 分析 本题考查向量的数量积的最值.‎ 解析 由如下三种可能：‎ ‎① ；‎ ‎② ；‎ ‎③ .‎ 易知，当时，，，‎ 此时，‎ 因此最小值为.‎ 当时， ‎ 得，此时，不满足题意，故舍去.‎ 综上所述，若最小值为，则与的夹角.故选B.‎ ‎14.（2014四川文10）已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎15.（2014重庆文12）已知向量_________.‎ ‎16.（2014江西文12）已知单位向量的夹角为，且，若向量，则 .‎ ‎17.（2014陕西文13）设，向量，‎ 若，则_______.‎ ‎18.（2014四川文14）向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则____________.‎ ‎19．（2014湖北文12）若向量，，， 则 .‎ ‎20.（2014江苏12）如图所示，在平行四边形中，已知，，，，则的值是 ．‎ ‎21. （2014天津文13）已知菱形的边长为，，点，分别在边，上，，.若，则的值为________.‎ ‎22.（2015全国2文4）向量,，则（ ）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎22.解析 由向量的坐标表示方法知，，.故有.故选C.‎ ‎23.（2015福建文7）设向量，，．若，则实数的值等于（ ）.‎ A． B． C． D． [来源:Z.xx.‎ ‎23.解析 由已知可得，因为，则，即，解得.故选A.‎ ‎24.（2015广东文9） 在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，‎ ‎，，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎24.解析 因为四边形是平行四边形，由平行四边形法则可得，所以.故选A.‎ 评注 本题考查1.平面向量的加法运算；2.平面向量数量积的坐标运算．‎ ‎25.（2015重庆文7）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 ‎（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎25.解析 因为，所以，即，‎ 所以，所以与的夹角为．故选C．‎ ‎26.（2015陕西文8）对任意的平面向量，，下列关系式中不恒成立的是（ ）.‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎26.解析 因为，所以A选项正确；‎ 当与方向相反时，B选项不成立，所以B选项错误；‎ 向量平方等于向量模的平方，所以C选项正确；‎ ‎，所以D选项正确.故选B.‎ ‎27.（2015年湖南文9） 已知点，，在圆上运动，且.‎ 若点的坐标为，则的最大值为（ ）.‎ A. 6 B. ‎7 C. 8 D. 9‎ ‎27.解析 解法一: 由题意，为直径，所以 ‎，当点为时，取得最大值.故选B.‎ 解法二 :由题意得，为圆的直径，‎ 故可设，‎ 所以，‎ 而，‎ 当且仅当“”时取“”，所以的最大值为.故选B.‎ ‎28.（2015安徽文15）是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，‎ ‎，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的序号）.‎ ‎①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤.‎ ‎28.解析 由题意作图，如图所示.‎ 因为等边三角形的边长为2，，‎ 所以，得.故①正确；‎ 因为，所以，‎ 得.故②错误，④正确；‎ 由，，为等边三角形，可得与的夹角为.故③错误；‎ 由.‎ 所以，故⑤正确.‎ 综上可知，正确的编号是①④⑤.‎ 评注 1. 考查平面向量的基本概念；2. 考查平面向量的性质.‎ ‎29.（2015湖北文11）.已知向量，，则 .‎ ‎29 .解析 因为，所以即，‎ ‎.‎ ‎30.（2015山东文13）过点作圆的两条切线，切点分别为 则 .‎ ‎30.解析 根据题意，作出图形，如图所示.‎ 由平面几何知识，得.‎ 由切线长定理，得.‎ 在中，，所以.‎ 可得.所以.‎ ‎31.（2015天津文13）在等腰梯形中，已知，， ，‎ ‎，点和点分别在线段和上，且，， ‎ 则的值为 ．‎ ‎31.解析 在等腰梯形中，由，，得，， ，‎ 所以 ‎.‎ ‎32.（2015浙江文13） 已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足 ‎，则 ．‎ ‎32.解析 设，，由，得，即.‎ 又，得，即，故.‎ 过点作直线，如图所示，因为，，‎ 据平面向量数量积的几何意义知，在，上的投影均为，‎ 所以.故.‎ ‎33.（2016北京文9）已知向量，，则与 夹角的大小为_________.‎ ‎33. 解析 由已知可得，.‎ 所以.‎ ‎34.（2016全国丙文3）已知向量，，则（ ）. ‎ A. B. C. D.‎ ‎34. A 解析 因为，，，‎ 所以.‎ 由，所以.故选A.‎ ‎35.（2016全国乙文13）设向量，，且，则 .‎ ‎35. 解析 由题意，解得.‎ ‎36. （2016山东文13）已知向量，.若，则实数的值为________.‎ ‎36. 解析 由题意可得，‎ ‎，解得.‎ ‎37.（2016天津文7）已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎37.B 解析 由题意作图，如图所示.则.故选B.‎ ‎38.（2016上海文12）如图所示，已知，，，是曲线上一个动点，则的取值范围是 .‎ ‎38.解析 由题意设，故，‎ 由线性规划的有关知识知.故填.‎ 评注 也可以设，，则，.利用三角有关知识求解.‎ ‎39.（2016浙江文15）已知平面向量，，，，.若为平面单位向量，则的最大值是________.‎ ‎39.解析 由已知得，所以.‎ 不妨取，，设，‎ 则 ‎，取等号时与同号.‎ 所以（其中，，取为锐角）.显然.易知当时，取最大值1，此时为锐角，，同为正，因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为.‎ ‎40.（2016江苏13）如图所示，在中，是的中点，，是上两个三等分点，，，则 的值是 .‎ ‎40. 解析 解法一（基底法）：令，，则，，，则，，，，，，故，，因此，.故.‎ 解法二（建系法）：可以考虑以为原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，，则，，.‎ 则，，，，，.由题意，，因此，，故.‎ 评注 特别地，可以假定，建立特殊的直角坐标系.这类问题以前也遇到过，比如下面一题.‎ 在平面四边形中，点，分别是边，的中点，且，，.若，则 .‎ 解析 解法一（配凑）：由题意得，，‎ 从而，平方整理得.‎ ‎（或）.‎ 故 ‎.故填.‎ 解法二：（建系）建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 不妨设，，从而，，.‎ 由题意，从而，‎ 即通过，求解，‎ ‎①②得，即④，‎ 而③即为⑤，‎ ‎⑤④得，即.故填.‎ 可见，强制建系归根结底转化为恰当的代数（强烈的目标意识）处理，而合理的建系会对运算起到简化作用.‎ ‎41.（2017全国1文13）已知向量，.若向量与垂直.则 .‎ 解析 由题得，因为与，所以，解得.‎ ‎42.（2017全国3文13）已知向量，，且，则 .‎ 解析 因为，所以，即，解得.‎ 评注 考查向量的坐标运算，属于基础题型，公式套用即可，没有难度.‎ ‎43.（2017浙江10）如图所示，已知平面四边形，，，，与交于点，记 ，，，则（ ）.‎ A． ‎ B． C． D． ‎ ‎43.解析 如图所示，动态研究问题:，．此时有，，，且，．‎ 故.‎ ‎44.（2017浙江15）已知向量，满足，，则的最小值是 ，最大值是 .‎ ‎44.解析 解法一：如图所示，和是以 为邻边的平行四边形的两条对角线，则，是以为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形，平行四边形．所以．‎ 易知当，B，C三点共线时，最小，此时；‎ 当时，最大，此时． ‎ 解法二:‎ ‎(是向量，的夹角).‎ 所以当时，取得最小值4；当时，取得最大值.‎ ‎45.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为．若， 则 ．‎ ‎45.解析 解法一：由题意 （*）‎ 而由，得，，‎ ‎．‎ 将（*）式化简为 ‎ 式①加式②，得．故填．‎ 解法二（坐标法）：如图所示，以所在的直线为轴，过且垂直于的直线为轴 建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得，，，由 ‎，得，即，解得，‎ 故．故填．‎ 解法三（解三角形）：由，可得，，如图所示，根据向 量的分解，易得，即，即，‎ 解得，所以．‎ 题型69 向量与三角形四心——暂无