2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第13讲直线与圆练习
第13讲 直线与圆
[考情分析] 本讲内容主要以考查求直线和圆的方程,直线与圆和圆与圆的位置关系等问题为主,其中含参数问题为命题的热点,一般以选择、填空的形式出现,难度不大.
热点题型分析
热点1 直线方程
1.直线方程的五种形式
(1)点斜式:y-y0=k(x-x0),其中k为直线斜率,(x0,y0)为直线上一点;
(2)斜截式:y=kx+b,其中k为直线斜率,b为直线纵截距;
(3)两点式:=;其中(x1,y1),(x2,y2)为直线上两点;
(4)截距式:+=1,其中a为直线的横截距,b为直线的纵截距;
(5)一般式:Ax+By+C=0,其中A2+B2≠0.
2.直线平行与垂直的判定
若两直线方程为l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2,l1⊥l2⇔k1·k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.
3.三种距离公式
(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离:|P1P2|=;
(2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为:
d=;
(3)两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为:d=.
1.下列有关直线的四个命题中,真命题为( )
A.直线的斜率为tanα,则其倾斜角为α
B.经过点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
C.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示
D.若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交
答案 C
解析
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对于A,如tan225°=1可以看作是一直线斜率,但是225°并不为直线倾斜角;对于B,当直线垂直于x轴时,不能用点斜式写直线方程;对于D,当两直线方程组成的方程组有无穷多个解时,两条直线重合,并不是相交的关系;对于C,当x1≠x2时,其直线斜率为kP1P2=,则由点斜式可得方程为y-y1=(x-x1),即(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),当x1=x2时,直线方程为x=x1,也满足(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),故C正确.
2.已知直线l的倾斜角为,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b=( )
A.-4 B.-2 C.0 D.2
答案 B
解析 由题意知l的斜率为-1,则l1的斜率为1,即kAB==1,所以a=0;由l1∥l2知-=1,则b=-2,所以a+b=-2.故选B.
1.与直线的斜率和倾斜角有关的问题,往往容易忽略倾斜角的取值范围.如第1题,不关注范围就容易错选A选项.因此解题时要关注斜率和倾角的函数关系(特别是倾角的范围),即k=tanα;求范围的问题时,要结合正切函数图象具体问题具体分析.
2.在求直线方程时要合理选择方程形式,特别是要考虑当直线斜率不存在时,是否满足条件.如第1题,未考虑此情况,就容易错选B选项.因此要注意几种直线方程形式的局限性,即点斜式、两点式、斜截式要求直
线不能与x轴垂直;截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.
3.在研究两直线位置关系问题中不要忽视斜率不存在的情况.如第2题,先求出a=0即l1的斜率存在,否则需要考虑b=0的情况;其中解两条直线平行的问题时,求出相应参数值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的情况;利用平行线间距离公式计算距离时,要注意两条直线方程中x与y的系数是否一致.
热点2 圆的方程
求圆的方程的两种方法:
(1)直接法:利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,数形结合直接求出圆心坐标、半径,进而利用圆的标准方程求出圆的方程;
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(2)待定系数法:先设出圆的方程,再列出满足条件的方程(组)求出各系数,进而求出圆的方程,此种方法多以设圆的一般方程求解.
1.已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且在直线x-y-3=0上截得的弦长为,则圆C的方程为__________________.
答案 (x-1)2+(y+1)2=2
解析 解法一:所求圆的圆心在直线x+y=0上,
∴设所求圆的圆心为(a,-a).
又∵所求圆与直线x-y=0相切,
∴半径r==|a|.
又所求圆在直线x-y-3=0上截得的弦长为,
∵圆心(a,-a)到直线x-y-3=0的距离d=,
∴d2+2=r2,即+=2a2,
解得a=1,∴圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
解法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
则圆心(a,b)到直线x-y-3=0的距离d=,
∴r2=+,即2r2=(a-b-3)2+3.①
∵所求圆与直线x-y=0相切,∴(a-b)2=2r2.②
又∵圆心在直线x+y=0上,∴a+b=0. ③
联立①②③,解得
故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
2.(2016·浙江高考)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.
答案 (-2,-4) 5
解析 因为a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a2=a+2,所以a=-1或2.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,其中D2+E2-4F=1+4-10=-5<0,所以该方程不表示圆;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,则圆心为(-2,-4),半径为5.
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1.确定圆方程时可以采取两种方法:一是如第1题解法一利用圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径即可;二是解法二利用待定系数法,此法常设圆的一般方程求解.
2.分析二元二次方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆时,如果忽略其成立的条件第2题容易得出两个结论.因此解题时可以直接判断D2+E2-4AF>0是否成立;也可以配方后判断方程的右侧是否大于0.
热点3 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系
(1)几何法(d-r法):即圆心到直线的距离d与圆半径r进行比较,d
r⇔直线与圆相离;
(2)判别式法:设直线l:Ax+By+C=0…①,圆O:(x-a)2+(y-b)2=r2…②,由①与②组成方程组M,消去x(或y)后的一元二次方程,其根的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆相交;Δ=0⇔直线与圆相切;Δ<0⇔直线与圆相离.
2.圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别是R,r(R>r);圆心距为d;两圆方程联立的方程组为M,则两圆的位置关系如下:
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1.(2018·全国卷Ⅱ)过抛物线y2=4x上的点P作圆C:x2+y2-6x+8=0的切线PA和PB,切点分别为A,B,则四边形PACB面积的最小值为( )
A. B. C. D.2
答案 C
解析 如图所示,四边形PACB由两个全等的直角三角形PAC和PBC构成,因此当PC长度最小时,四边形PACB面积取得最小值.由于P在抛物线y2=4x上,设P的坐标为,
∵x2+y2-6x+8=0,整理得(x-3)2+y2=1,
∴C点坐标为(3,0),
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所以|PC|==,由于y∈R,所以当y=±2时,|PC|min=2.又圆C的半径为1,此时|PA|=,所以四边形PACB面积的最小值为.故选C.
2.(2019·石家庄模拟)设圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A.4 B.4 C.8 D.8
答案 C
解析 因为圆C1,C2和两坐标轴相切,且都过点(4,1),所以两圆都在第一象限内,设圆心坐标为(a,a),则
|a|=,
解得a=5+2或a=5-2,
可取C1(5+2,5+2),C2(5-2,5-2),
故|C1C2|= =8.故选C.
3.(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=________,r=________.
答案 -2
解析 根据题意画出图形,可知
A(-2,-1),C(0,m),B(0,3),则
|AB|==2,
|AC|==,
|BC|=|m-3|.
∵直线2x-y+3=0与圆C相切于点A,
∴∠BAC=90°,∴|AB|2+|AC|2=|BC|2.
即20+4+(m+1)2=(m-3)2,解得m=-2.
因此r=|AC|==.
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1.讨论直线与圆、圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.
2.圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆心到点的距离问题;圆上的点与直线上的点距离的最值问题,可以转化为圆心到直线的距离问题;圆上点与另一圆上点的距离最值问题,可以转化为两圆心之间的距离问题.
热点4 交汇题型
直线与圆的问题,很多时候常常需要借助代数坐标化,将动态问题转变为函数问题,因此圆的相关知识,常与向量、不等式、三角函数、概率等问题交汇考查,凸显坐标法与数形结合三位一体的命题理念,有效地考查解析几何的基本思想.
交汇点一 与向量交汇
典例1 (2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为( )
A.3 B.2 C. D.2
解析 建立如图所示的直角坐标系,则C点坐标为(2,1).
设BD与圆C切于点E,连接CE,则CE⊥BD.
∵CD=1,BC=2,
∴BD==,
EC===,
即圆C的半径为,
∴P点的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=.
设P(x0,y0),则(θ为参数),
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而=(x0,y0),=(0,1),=(2,0).
∵=λ+μ=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),
∴μ=x0=1+cosθ,λ=y0=1+sinθ.
两式相加,得λ+μ=1+sinθ+1+cosθ
=2+sin(θ+φ)≤3,
当且仅当θ=+2kπ-φ,k∈Z时,λ+μ取得最大值3.故选A.
答案 A
平面向量与圆的交汇是解析几何的一个热点内容,在高考中一直是考查的重点.解题时一方面要能够正确分析向量表达式,将它们转化为图形中的相应位置关系;另一方面还要善于运用向量的运算来解决问题.
(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若·≤20,则点P的横坐标的取值范围是________.
答案 [-5,1]
解析 因为点P在圆O:x2+y2=50上,
所以设P点坐标为(x,±)(-5≤x≤5).
因为A(-12,0),B(0,6),
所以=(-12-x,-)或=(-12-x,),=(-x,6-)或=(-x,6+).
因为·≤20,先取P(x, )进行计算,
所以(-12-x)(-x)+(-)(6-)≤20,即2x+5≤ .
当2x+5≤0,即x≤-时,上式恒成立;
当2x+5≥0,即x≥-时,(2x+5)2≤50-x2,
解得-5≤x≤1,即-≤x≤1.故x≤1.
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同理可得P(x,-)时,x≤-5.
又-5≤x≤5,所以-5≤x≤1.
故点P的横坐标的取值范围为[-5,1].
设P(x,y),则=(-12-x,-y),=(-x,6-y).
∵·≤20,
∴(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤20,
即2x-y+5≤0.
如图,作圆O:x2+y2=50,直线2x-y+5=0与⊙O交于E,F两点,
∵P在圆O上且满足2x-y+5≤0,
∴点P在上.
由得F点的横坐标为1.
又D点的横坐标为-5,
∴P点的横坐标的取值范围为[-5,1].
交汇点二 与不等式交汇
典例2 已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=25,圆C上的点到直线l:3x+4y+m=0(m<0)的最短距离为1,若点N(a,b)在直线l上位于第一象限的部分,则+的最小值为________.
解析 圆C:(x-3)2+(y-4)2=25,圆心坐标(3,4),半径为5,因为圆C上的点到直线l:3x+4y+m=0(m<0)的最短距离为1,则直线l与圆C相离,设圆心到直线的距离为d,则d-r=1,可得=6,解得m=-55或m=5(舍去).
因为点N(a,b)在直线l上位于第一象限的部分,
所以3a+4b=55,a>0,b>0.
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则+=(3a+4b)=
≥=,
当且仅当a=-55+,b=55-时取等号.
答案
一般来说,处理直线与圆的位置关系,常利用圆心到直线的距离与半径大小的关系构造不等式;或是运用图形(象)明显(或挖掘隐含)的几何性质与特征,转化为与之等价的代数不等式,通过解不等式(组)求出相应的范围与最值问题.
若直线l:ax+by+1=0(a>0,b>0)把圆C:(x+4)2+(y+1)2=16分成面积相等的两部分,则当ab取得最大值时,坐标原点到直线l的距离是( )
A.4 B.8 C.2 D.
答案 D
解析 由题意知直线ax+by+1=0过圆心(-4,-1),即4a+b=1.由基本不等式可知ab≤·2=,当且仅当4a=b=时等号成立,即直线方程为x+y+1=0,所以原点到直线的距离为d==.故选D.
交汇点三 与概率交汇
典例3 (2019·太原市一模)已知圆C:x2+y2=1,直线l:y=k(x+2),在[-1,1]上随机选取一个数k,则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为( )
A. B. C. D.
解析 因为当直线l与圆相离时,圆心(0,0)到直线kx-y+2k=0的距离大于半径,所以>1,即k>或k<-.所以概率P==.故选C.
答案 C
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与直线和圆“交汇”的概率问题一般要先画出满足条件的几何图形,一方面根据直线与圆、圆与圆的位置关系构建不等关系,利用几何概型公式进行计算;二是利用条件确定符合条件的参数取值,利用古典概型公式或几何概型公式进行计算.
将一个骰子抛掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,设两条直线l1:ax+by=2,l2:x+2y=2平行的概率为p1,相交的概率为p2,则点P(p1,p2)与直线l2:x+2y=2的位置关系是( )
A.P在直线l2上 B.P在直线l2的下方
C.P在直线l2的上方 D.无法确定
答案 B
解析 易知当且仅当≠时两条直线相交,而=的情况有三种:a=1,b=2(此时两条直线重合);a=2,b=4(此时两直线平行);a=3,b=6(此时两直线平行).而抛掷两次的所有情况有6×6=36种,所以两条直线相交的概率p2=1-=,两条直线平行的概率p1==,则点P,易判断该点在直线l2:x+2y=2的下方.故选B.
真题自检感悟
1.(2019·北京高考)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为________.
答案 (x-1)2+y2=4
解析 ∵抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),准线l为直线x=-1,∴圆的圆心坐标为(1,0).
又∵圆与l相切,∴圆心到l的距离为圆的半径,
∴r=2.∴圆的方程为(x-1)2+y2=4.
2.(2019·天津高考)设a∈R,直线ax-y+2=0和圆(θ为参数)相切,则a的值为________.
答案
解析 把圆的参数方程化为圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心为(2,1),半径r=2.又直线方程为ax-y+2=0,且直线与圆相切,所以圆心到直线的距离d==2,所以a=.
3.(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,
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B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·=0,则点A的横坐标为________.
答案 3
解析 根据已知作图(如图),因为AB为圆C的直径,
所以∠ADB=90°.又因为·=0,C是AB中点,
所以△ADB是等腰直角三角形.设直线AB的倾斜角为α,
所以α=∠AOB+∠OAB,
则tanα=tan(∠AOB+∠OAB)
===-3,
所以直线AB的方程为y=-3(x-5).
由解得所以点A的横坐标为3.
4.(2017·北京高考)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为________.
答案 6
解析 根据题意作出图形,如图所示,
A(-2,0),P(x,y).
由点P向x轴作垂线交x轴于点Q,则点Q的坐标为(x,0).
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·=||||cosθ,
||=2,||=,
cosθ==,
所以·=2(x+2)=2x+4.
点P在圆x2+y2=1上,所以x∈[-1,1].
所以·的最大值为2+4=6.
如解法一图所示,因为点P在圆x2+y2=1上,
所以可设P(cosα,sinα)(0≤α<2π),
所以=(2,0),=(cosα+2,sinα),
·=2cosα+4≤2+4=6,
当且仅当cosα=1,即α=0,P(1,0)时“=”号成立.
即·的最大值为6.
专题作业
一、选择题
1.过点(2,1)且倾斜角比直线y=-x-1的倾斜角小的直线方程是( )
A.x=2 B.y=1 C.x=1 D.y=2
答案 A
解析 ∵直线y=-x-1的斜率为-1,则倾斜角为,
依题意,所求直线的倾斜角为-=,∴斜率不存在,∴过点(2,1)的直线方程为x=2.故选A.
2.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0截得的弦长为( )
A. B.2 C. D.2
答案 D
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解析 直线方程为y=x,圆的标准方程为x2+(y-2)2=4,则圆心(0,2)到直线的距离d==1.由垂径定理知,所求弦长为2=2.故选D.
3.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取到最大值时,直线l的倾斜角为( )
A.150° B.135° C.120° D.不存在
答案 A
解析 由y=,得x2+y2=2(y≥0),它表示以原点O为圆心,以为半径的圆的一部分,其图象如图所示.
显然直线l的斜率存在,
设过点P(2,0)的直线l为y=k(x-2),
则圆心到此直线的距离d=,
弦长|AB|=2=2 ,
所以S△AOB=××2
≤=1,
当且仅当(2k)2=2-2k2,即k2=时等号成立,
由图可得k=-,
故直线l的倾斜角为150°.故选A.
4.已知直线l过定点(0,1),则“直线l与圆(x-2)2+y2=4相切”是“直线l的斜率为”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
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D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当直线l的斜率不存在时,其方程为x=0,此时与圆(x-2)2+y2=4相切;当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+1,因为与圆相切,所以有=2,解得k=,所以“直线l的斜率为”能推出“直线l与圆(x-2)2+y2=4相切”满足必要性,而“直线l与圆相切”推不出“l的斜率为”,所以不满足充分性.故选B.
5.(2019·潍坊模拟)直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8,则“m=-1或m=-7”是“l1∥l2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由题意,当直线l1∥l2时,满足=≠,解得m=-7,所以“m=-1或m=-7”是“l1∥l2”的必要不充分条件.故选B.
6.(2019·贵州黔东南州联考)在△ABC中,若asinA+bsinB-csinC=0,则圆C:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
答案 A
解析 因为asinA+bsinB-csinC=0,
所以由正弦定理得a2+b2-c2=0.
故圆心C(0,0)到直线l:ax+by+c=0的距离d==1=r,故圆C:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0相切.故选A.
7.(2019·长春二模)圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是( )
A.(x-)2+(y-1)2=4
B.(x-)2+(y-)2=4
C.x2+(y-2)2=4
D.(x-1)2+(y-)2=4
答案 D
解析 (x-2)2+y2=4的圆心为(2,0),设其关于直线y=x对称的点为(m,n),则解得m=1,n=,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=4.故选D.
8.(2019·兰州一模)已知圆C:(x-)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0)(t
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>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则当t取得最大值时,点P的坐标是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意知,若使圆C上存在点P(x,y),使得∠APB=90°,则圆C与以原点为圆心,AB为直径的圆有交点,即t-1≤|OC|≤t+1即1≤t≤3,当t=3时,两圆内切且t>1,所以O,C,P三点共线,即kOC=kOP=,则OP所在直线的倾斜角为30°.所以x=3cos30°=,y=3sin30°=,则P.故选D.
9.(2019·河南洛阳二模)在直角坐标平面内,过定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2的值为( )
A. B. C.5 D.10
答案 D
解析 由题意知P(0,1),Q(-3,0),因为过定点P的直线与过定点Q的直线垂直,所以M位于以PQ为直径的圆上.因为|PQ|==,所以|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=10.故选D.
10.(2019·哈尔滨第三中学三模)一条光线从点(1,-1)射出,经y轴反射后与圆(x-2)2+y2=1相交,则入射光线所在直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意知,反射光线必经过(-1,-1)点,设反射光线的斜率为k,则反射光线为kx-y+k-1=0,由题意知<1,所以00,所以≥1解得a≥6.故选D.
二、填空题
13.过点M的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为________.
答案 2x-4y+3=0
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解析 易知当CM⊥AB时,∠ACB最小.因为点C的坐标为(1,0),直线CM的斜率为kCM==-2,从而直线l的斜率为k=-=,所以其方程为y-1=,即2x-4y+3=0.
14.已知直线ax-2by=2(a>0,b>0)过圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心,则+的最小值为________.
答案 4
解析 圆心为(2,-1),代入直线方程有2a+2b=2即a+b=1,则有+=+=2++≥2+2=4,故答案为4.
15.若⊙O:x2+y2=5与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长是________.
答案 4
解析 ∵⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直,如图,可知两切线分别过另一圆的圆心,∴O1A⊥OA.
又∵|OA|=,|O1A|=2,∴|OO1|=5.
又A,B关于OO1所在直线对称,
∴AB长为Rt△OAO1斜边上的高的2倍,
∴|AB|=2×=4.
16.已知圆O:x2+y2=9,点P为直线x+2y-9=0上一动点,过点P向圆O引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB过定点________.
答案 (1,2)
解析 因为P是直线x+2y-9=0上的任一点,所以设P(9-2m,m),因为PA,PB为圆x2+y2=9的两条切线,切点分别为A,B,所以OA⊥PA,OB⊥PB,则点A,B在以OP为直径的圆(记为圆C)上,即AB是圆O和圆C的公共弦,易知圆C的方程是2+2=,①
又x2+y2=9,②
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②-①得,(2m-9)x-my+9=0,即公共弦AB所在直线的方程是(2m-9)x-my+9=0,即m(2x-y)+(-9x+9)=0,由得x=1,y=2.
所以直线AB恒过定点(1,2).
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