2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第13讲直线与圆练习

2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第13讲直线与圆练习

第13讲　直线与圆 ‎[考情分析]　本讲内容主要以考查求直线和圆的方程，直线与圆和圆与圆的位置关系等问题为主，其中含参数问题为命题的热点，一般以选择、填空的形式出现，难度不大．‎ 热点题型分析 热点1　直线方程 ‎1.直线方程的五种形式 ‎(1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)，其中k为直线斜率，(x0，y0)为直线上一点；‎ ‎(2)斜截式：y＝kx＋b，其中k为直线斜率，b为直线纵截距；‎ ‎(3)两点式：＝；其中(x1，y1)，(x2，y2)为直线上两点；‎ ‎(4)截距式：＋＝1，其中a为直线的横截距，b为直线的纵截距；‎ ‎(5)一般式：Ax＋By＋C＝0，其中A2＋B2≠0.‎ ‎2.直线平行与垂直的判定 若两直线方程为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．‎ ‎3.三种距离公式 ‎(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离：|P1P2|＝；‎ ‎(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为：‎ d＝；‎ ‎(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为：d＝.‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.下列有关直线的四个命题中，真命题为(　　)‎ A.直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α B.经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 C.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示 D.若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交 答案　C 解析　‎ - 19 -‎ 对于A，如tan225°＝1可以看作是一直线斜率，但是225°并不为直线倾斜角；对于B，当直线垂直于x轴时，不能用点斜式写直线方程；对于D，当两直线方程组成的方程组有无穷多个解时，两条直线重合，并不是相交的关系；对于C，当x1≠x2时，其直线斜率为kP1P2＝，则由点斜式可得方程为y－y1＝(x－x1)，即(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，当x1＝x2时，直线方程为x＝x1，也满足(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故C正确.‎ ‎2.已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝(　　)‎ A.－4 B．－2 C．0 D．2‎ 答案　B 解析　由题意知l的斜率为－1，则l1的斜率为1，即kAB＝＝1，所以a＝0；由l1∥l2知－＝1，则b＝－2，所以a＋b＝－2.故选B.‎ ‎1.与直线的斜率和倾斜角有关的问题，往往容易忽略倾斜角的取值范围．如第1题，不关注范围就容易错选A选项．因此解题时要关注斜率和倾角的函数关系(特别是倾角的范围)，即k＝tanα；求范围的问题时，要结合正切函数图象具体问题具体分析.‎ ‎2.在求直线方程时要合理选择方程形式，特别是要考虑当直线斜率不存在时，是否满足条件．如第1题，未考虑此情况，就容易错选B选项．因此要注意几种直线方程形式的局限性，即点斜式、两点式、斜截式要求直 线不能与x轴垂直；截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．‎ ‎3.在研究两直线位置关系问题中不要忽视斜率不存在的情况．如第2题，先求出a＝0即l1的斜率存在，否则需要考虑b＝0的情况；其中解两条直线平行的问题时，求出相应参数值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况；利用平行线间距离公式计算距离时，要注意两条直线方程中x与y的系数是否一致.‎ 热点2　圆的方程 求圆的方程的两种方法：‎ ‎(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而利用圆的标准方程求出圆的方程；‎ - 19 -‎ ‎(2)待定系数法：先设出圆的方程，再列出满足条件的方程(组)求出各系数，进而求出圆的方程，此种方法多以设圆的一般方程求解．‎ ‎1.已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为__________________．‎ 答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝2‎ 解析　解法一：所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，‎ ‎∴设所求圆的圆心为(a，－a)．‎ 又∵所求圆与直线x－y＝0相切，‎ ‎∴半径r＝＝|a|.‎ 又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，‎ ‎∵圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，‎ ‎∴d2＋2＝r2，即＋＝2a2，‎ 解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ 解法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，‎ 则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝，‎ ‎∴r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①‎ ‎∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2.②‎ 又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0. ③‎ 联立①②③，解得 故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ ‎2.(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．‎ 答案　(－2，－4)　5‎ 解析　因为a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则a2＝a＋2，所以a＝－1或2.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，其中D2＋E2－4F＝1＋4－10＝－5<0，所以该方程不表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心为(－2，－4)，半径为5.‎ - 19 -‎ ‎1.确定圆方程时可以采取两种方法：一是如第1题解法一利用圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径即可；二是解法二利用待定系数法，此法常设圆的一般方程求解．‎ ‎2.分析二元二次方程Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，如果忽略其成立的条件第2题容易得出两个结论．因此解题时可以直接判断D2＋E2－4AF>0是否成立；也可以配方后判断方程的右侧是否大于0.‎ 热点3　直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎1.直线与圆的位置关系 ‎(1)几何法(d－r法)：即圆心到直线的距离d与圆半径r进行比较，dr⇔直线与圆相离；‎ ‎(2)判别式法：设直线l：Ax＋By＋C＝0…①，圆O：(x－a)2＋(y－b)2＝r2…②，由①与②组成方程组M，消去x(或y)后的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆相交；Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ<0⇔直线与圆相离．‎ ‎2.圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别是R，r(R>r)；圆心距为d；两圆方程联立的方程组为M，则两圆的位置关系如下：‎ - 19 -‎ ‎1.(2018·全国卷Ⅱ)过抛物线y2＝4x上的点P作圆C：x2＋y2－6x＋8＝0的切线PA和PB，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为(　　)‎ A. B. C. D．2 答案　C 解析　如图所示，四边形PACB由两个全等的直角三角形PAC和PBC构成，因此当PC长度最小时，四边形PACB面积取得最小值．由于P在抛物线y2＝4x上，设P的坐标为，‎ ‎∵x2＋y2－6x＋8＝0，整理得(x－3)2＋y2＝1，‎ ‎∴C点坐标为(3,0)，‎ - 19 -‎ 所以|PC|＝＝，由于y∈R，所以当y＝±2时，|PC|min＝2.又圆C的半径为1，此时|PA|＝，所以四边形PACB面积的最小值为.故选C.‎ ‎2.(2019·石家庄模拟)设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于(　　)‎ A.4 B．4 C．8 D．8 答案　C 解析　因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，则 ‎|a|＝，‎ 解得a＝5＋2或a＝5－2，‎ 可取C1(5＋2，5＋2)，C2(5－2，5－2)，‎ 故|C1C2|＝ ＝8.故选C.‎ ‎3.(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.‎ 答案　－2　 解析　根据题意画出图形，可知 A(－2，－1)，C(0，m)，B(0,3)，则 ‎|AB|＝＝2，‎ ‎|AC|＝＝，‎ ‎|BC|＝|m－3|.‎ ‎∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，‎ ‎∴∠BAC＝90°，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.‎ 即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，解得m＝－2.‎ 因此r＝|AC|＝＝.‎ - 19 -‎ ‎1.讨论直线与圆、圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．‎ ‎2.圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上的点距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上点与另一圆上点的距离最值问题，可以转化为两圆心之间的距离问题.‎ 热点4　交汇题型 直线与圆的问题，很多时候常常需要借助代数坐标化，将动态问题转变为函数问题，因此圆的相关知识，常与向量、不等式、三角函数、概率等问题交汇考查，凸显坐标法与数形结合三位一体的命题理念，有效地考查解析几何的基本思想．‎ 交汇点一　与向量交汇 ‎　　　　　　‎ 典例1　(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)‎ A.3 B．2 C. D．2‎ 解析　建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．‎ 设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.‎ ‎∵CD＝1，BC＝2，‎ ‎∴BD＝＝，‎ EC＝＝＝，‎ 即圆C的半径为，‎ ‎∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝.‎ 设P(x0，y0)，则(θ为参数)，‎ - 19 -‎ 而＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0)．‎ ‎∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，‎ ‎∴μ＝x0＝1＋cosθ，λ＝y0＝1＋sinθ.‎ 两式相加，得λ＋μ＝1＋sinθ＋1＋cosθ ‎＝2＋sin(θ＋φ)≤3，‎ 当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.故选A.‎ 答案　A 平面向量与圆的交汇是解析几何的一个热点内容，在高考中一直是考查的重点．解题时一方面要能够正确分析向量表达式，将它们转化为图形中的相应位置关系；另一方面还要善于运用向量的运算来解决问题.‎ ‎(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．‎ 答案　[－5，1]‎ 解析　因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，‎ 所以设P点坐标为(x，±)(－5≤x≤5)．‎ 因为A(－12,0)，B(0,6)，‎ 所以＝(－12－x，－)或＝(－12－x，)，＝(－x,6－)或＝(－x,6＋)．‎ 因为·≤20，先取P(x, )进行计算，‎ 所以(－12－x)(－x)＋(－)(6－)≤20，即2x＋5≤ .‎ 当2x＋5≤0，即x≤－时，上式恒成立；‎ 当2x＋5≥0，即x≥－时，(2x＋5)2≤50－x2，‎ 解得－5≤x≤1，即－≤x≤1.故x≤1.‎ - 19 -‎ 同理可得P(x，－)时，x≤－5.‎ 又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1.‎ 故点P的横坐标的取值范围为[－5，1]．‎ 设P(x，y)，则＝(－12－x，－y)，＝(－x，6－y)．‎ ‎∵·≤20，‎ ‎∴(－12－x)(－x)＋(－y)(6－y)≤20，‎ 即2x－y＋5≤0.‎ 如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，‎ ‎∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，‎ ‎∴点P在上．‎ 由得F点的横坐标为1.‎ 又D点的横坐标为－5，‎ ‎∴P点的横坐标的取值范围为[－5，1].‎ 交汇点二　与不等式交汇 ‎　　　　　　‎ 典例2　已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆C上的点到直线l：3x＋4y＋m＝0(m<0)的最短距离为1，若点N(a，b)在直线l上位于第一象限的部分，则＋的最小值为________．‎ 解析　圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心坐标(3,4)，半径为5，因为圆C上的点到直线l：3x＋4y＋m＝0(m<0)的最短距离为1，则直线l与圆C相离，设圆心到直线的距离为d，则d－r＝1，可得＝6，解得m＝－55或m＝5(舍去)．‎ 因为点N(a，b)在直线l上位于第一象限的部分，‎ 所以3a＋4b＝55，a>0，b>0.‎ - 19 -‎ 则＋＝(3a＋4b)＝ ‎≥＝，‎ 当且仅当a＝－55＋，b＝55－时取等号．‎ 答案　 一般来说，处理直线与圆的位置关系，常利用圆心到直线的距离与半径大小的关系构造不等式；或是运用图形(象)明显(或挖掘隐含)的几何性质与特征，转化为与之等价的代数不等式，通过解不等式(组)求出相应的范围与最值问题.‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 若直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则当ab取得最大值时，坐标原点到直线l的距离是(　　)‎ A.4 B．8 C．2 D. 答案　D 解析　由题意知直线ax＋by＋1＝0过圆心(－4，－1)，即4a＋b＝1.由基本不等式可知ab≤·2＝，当且仅当4a＝b＝时等号成立，即直线方程为x＋y＋1＝0，所以原点到直线的距离为d＝＝.故选D.‎ 交汇点三　与概率交汇 ‎　　　　　　‎ 典例3　(2019·太原市一模)已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：y＝k(x＋2)，在[－1,1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　因为当直线l与圆相离时，圆心(0,0)到直线kx－y＋2k＝0的距离大于半径，所以>1，即k>或k<－.所以概率P＝＝.故选C.‎ 答案　C - 19 -‎ 与直线和圆“交汇”的概率问题一般要先画出满足条件的几何图形，一方面根据直线与圆、圆与圆的位置关系构建不等关系，利用几何概型公式进行计算；二是利用条件确定符合条件的参数取值，利用古典概型公式或几何概型公式进行计算.‎ 将一个骰子抛掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为p1，相交的概率为p2，则点P(p1，p2)与直线l2：x＋2y＝2的位置关系是(　　)‎ A.P在直线l2上 B．P在直线l2的下方 C.P在直线l2的上方 D．无法确定 答案　B 解析　易知当且仅当≠时两条直线相交，而＝的情况有三种：a＝1，b＝2(此时两条直线重合)；a＝2，b＝4(此时两直线平行)；a＝3，b＝6(此时两直线平行)．而抛掷两次的所有情况有6×6＝36种，所以两条直线相交的概率p2＝1－＝，两条直线平行的概率p1＝＝，则点P，易判断该点在直线l2：x＋2y＝2的下方．故选B.‎ 真题自检感悟　　　　‎ ‎1.(2019·北京高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．‎ 答案　(x－1)2＋y2＝4‎ 解析　∵抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线x＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．‎ 又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径，‎ ‎∴r＝2.∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.‎ ‎2.(2019·天津高考)设a∈R，直线ax－y＋2＝0和圆(θ为参数)相切，则a的值为________．‎ 答案　 解析　把圆的参数方程化为圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)，半径r＝2.又直线方程为ax－y＋2＝0，且直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝2，所以a＝.‎ ‎3.(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，‎ - 19 -‎ B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________．‎ 答案　3‎ 解析　根据已知作图(如图)，因为AB为圆C的直径，‎ 所以∠ADB＝90°.又因为·＝0，C是AB中点，‎ 所以△ADB是等腰直角三角形．设直线AB的倾斜角为α，‎ 所以α＝∠AOB＋∠OAB，‎ 则tanα＝tan(∠AOB＋∠OAB)‎ ‎＝＝＝－3，‎ 所以直线AB的方程为y＝－3(x－5)．‎ 由解得所以点A的横坐标为3.‎ ‎4.(2017·北京高考)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为________．‎ 答案　6‎ 解析　根据题意作出图形，如图所示，‎ A(－2,0)，P(x，y)．‎ 由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)．‎ - 19 -‎ ·＝||||cosθ，‎ ‎||＝2，||＝，‎ cosθ＝＝，‎ 所以·＝2(x＋2)＝2x＋4.‎ 点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．‎ 所以·的最大值为2＋4＝6.‎ 如解法一图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上，‎ 所以可设P(cosα，sinα)(0≤α＜2π)，‎ 所以＝(2,0)，＝(cosα＋2，sinα)，‎ ·＝2cosα＋4≤2＋4＝6，‎ 当且仅当cosα＝1，即α＝0，P(1,0)时“＝”号成立．‎ 即·的最大值为6.‎ 专题作业 ‎　　　　‎ 一、选择题 ‎1.过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　)‎ A.x＝2 B．y＝1 C．x＝1 D．y＝2‎ 答案　A 解析　∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为，‎ 依题意，所求直线的倾斜角为－＝，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.故选A.‎ ‎2.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为(　　)‎ A. B．2 C. D．2 答案　D - 19 -‎ 解析　直线方程为y＝x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，则圆心(0,2)到直线的距离d＝＝1.由垂径定理知，所求弦长为2＝2.故选D.‎ ‎3.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为(　　)‎ A.150° B．135° C．120° D．不存在 答案　A 解析　由y＝，得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示．‎ 显然直线l的斜率存在，‎ 设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，‎ 则圆心到此直线的距离d＝，‎ 弦长|AB|＝2＝2 ，‎ 所以S△AOB＝××2 ‎≤＝1，‎ 当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝时等号成立，‎ 由图可得k＝－，‎ 故直线l的倾斜角为150°.故选A.‎ ‎4.已知直线l过定点(0,1)，则“直线l与圆(x－2)2＋y2＝4相切”是“直线l的斜率为”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 - 19 -‎ D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，此时与圆(x－2)2＋y2＝4相切；当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋1，因为与圆相切，所以有＝2，解得k＝，所以“直线l的斜率为”能推出“直线l与圆(x－2)2＋y2＝4相切”满足必要性，而“直线l与圆相切”推不出“l的斜率为”，所以不满足充分性．故选B.‎ ‎5.(2019·潍坊模拟)直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由题意，当直线l1∥l2时，满足＝≠，解得m＝－7，所以“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的必要不充分条件．故选B.‎ ‎6.(2019·贵州黔东南州联考)在△ABC中，若asinA＋bsinB－csinC＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是(　　)‎ A.相切 B．相交 C．相离 D．不确定 答案　A 解析　因为asinA＋bsinB－csinC＝0，‎ 所以由正弦定理得a2＋b2－c2＝0.‎ 故圆心C(0,0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝＝1＝r，故圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0相切．故选A.‎ ‎7.(2019·长春二模)圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)‎ A.(x－)2＋(y－1)2＝4‎ B.(x－)2＋(y－)2＝4‎ C.x2＋(y－2)2＝4‎ D.(x－1)2＋(y－)2＝4‎ 答案　D 解析　(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2,0)，设其关于直线y＝x对称的点为(m，n)，则解得m＝1，n＝，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.故选D.‎ ‎8.(2019·兰州一模)已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t - 19 -‎ ‎>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则当t取得最大值时，点P的坐标是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意知，若使圆C上存在点P(x，y)，使得∠APB＝90°，则圆C与以原点为圆心，AB为直径的圆有交点，即t－1≤|OC|≤t＋1即1≤t≤3，当t＝3时，两圆内切且t>1，所以O，C，P三点共线，即kOC＝kOP＝，则OP所在直线的倾斜角为30°.所以x＝3cos30°＝，y＝3sin30°＝，则P.故选D.‎ ‎9.(2019·河南洛阳二模)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为(　　)‎ A. B. C．5 D．10‎ 答案　D 解析　由题意知P(0,1)，Q(－3,0)，因为过定点P的直线与过定点Q的直线垂直，所以M位于以PQ为直径的圆上．因为|PQ|＝＝，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10.故选D.‎ ‎10.(2019·哈尔滨第三中学三模)一条光线从点(1，－1)射出，经y轴反射后与圆(x－2)2＋y2＝1相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知，反射光线必经过(－1，－1)点，设反射光线的斜率为k，则反射光线为kx－y＋k－1＝0，由题意知<1，所以00，所以≥1解得a≥6.故选D.‎ 二、填空题 ‎13.过点M的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为________．‎ 答案　2x－4y＋3＝0‎ - 19 -‎ 解析　易知当CM⊥AB时，∠ACB最小．因为点C的坐标为(1,0)，直线CM的斜率为kCM＝＝－2，从而直线l的斜率为k＝－＝，所以其方程为y－1＝，即2x－4y＋3＝0.‎ ‎14.已知直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为________．‎ 答案　4‎ 解析　圆心为(2，－1)，代入直线方程有2a＋2b＝2即a＋b＝1，则有＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，故答案为4.‎ ‎15.若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________．‎ 答案　4‎ 解析　∵⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O1A⊥OA.‎ 又∵|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5.‎ 又A，B关于OO1所在直线对称，‎ ‎∴AB长为Rt△OAO1斜边上的高的2倍，‎ ‎∴|AB|＝2×＝4.‎ ‎16.已知圆O：x2＋y2＝9，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB过定点________．‎ 答案　(1,2) ‎ 解析　因为P是直线x＋2y－9＝0上的任一点，所以设P(9－2m，m)，因为PA，PB为圆x2＋y2＝9的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，则点A，B在以OP为直径的圆(记为圆C)上，即AB是圆O和圆C的公共弦，易知圆C的方程是2＋2＝，①‎ 又x2＋y2＝9，②‎ - 19 -‎ ‎②－①得，(2m－9)x－my＋9＝0，即公共弦AB所在直线的方程是(2m－9)x－my＋9＝0，即m(2x－y)＋(－9x＋9)＝0，由得x＝1，y＝2.‎ 所以直线AB恒过定点(1,2).‎ - 19 -‎