高中数学人教a版选修2-3第三章统计案例3-1学业分层测评word版含答案

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高中数学人教a版选修2-3第三章统计案例3-1学业分层测评word版含答案

学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.为了研究变量 x 和 y 的线性相关性,甲、乙两人分别利用线性回归方法得 到回归直线 l1 和 l2,已知两人计算过程中 x-, y-分别相同,则下列说法正确的是 ( ) A.l1 与 l2 一定平行 B.l1 与 l2 重合 C.l1 与 l2 相交于点( x-, y-) D.无法判断 l1 和 l2 是否相交 【解析】 回归直线一定过样本点的中心( x-, y-),故 C 正确. 【答案】 C 2.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量 x,y 的回归模型时,分别选择了 4 种不同模型,计算可得它们的相关指数 R2 分别如下表: 甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 哪位同学建立的回归模型拟合效果最好?( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【解析】 相关指数 R2 越大,表示回归模型的拟合效果越好. 【答案】 A 3.对变量 x,y 进行回归分析时,依据得到的 4 个不同的回归模型画出残差图, 则下列模型拟合精度最高的是( ) 【解析】 用残差图判断模型的拟合效果,残差点比较均匀地落在水平的带 状区域中,说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精 度越高. 【答案】 A 4.对于指数曲线 y=aebx,令 U=ln y,c=ln a,经过非线性化回归分析后, 可转化的形式为( ) A.U=c+bx B.U=b+cx C.y=c+bx D.y=b+cx 【解析】 由 y=aebx 得 ln y=ln(aebx),∴ln y=ln a+ ln ebx, ∴ln y=ln a+bx,∴U=c+bx.故选 A. 【答案】 A 5.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子的身高数据如表 所示: 父亲身高 x(cm) 174 176 176 176 178 儿子身高 y(cm) 175 175 176 177 177 则 y 对 x 的线性回归方程为( ) A.y^=x-1 B.y^=x+1 C.y^=88+1 2x D.y^=176 【解析】 设 y 对 x 的线性回归方程为y^=b^x+a^, 因为b^=-2×-1+0×-1+0×0+0×1+2×1 -22+22 =1 2 ,a^=176-1 2 ×176=88, 所以 y 对 x 的线性回归方程为y^=1 2x+88. 【答案】 C 二、填空题 6.甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A,B 两变量的线性相关性进行分析,并 用回归分析的方法分别求得相关指数 R2 与残差平方和 Q(a^,b^)如下表: 甲 乙 丙 丁 R2 0.67 0.61 0.48 0.72 Q(a^,b^) 106 115 124 103 则能体现 A,B 两个变量有更强的线性相关性的为________. 【解析】 丁同学所求得的相关指数 R2 最大,残差平方和 Q(a^,b^)最小.此 时 A,B 两变量线性相关性更强. 【答案】 丁 7.在对两个变量进行回归分析时,甲、乙分别给出两个不同的回归方程,并 对回归方程进行检验.对这两个回归方程进行检验时,与实际数据(个数)对比结果 如下: 与实际相符数据个数 与实际不符合数据个数 总计 甲回归方程 32 8 40 乙回归方程 40 20 60 总计 72 28 100 则从表中数据分析,________回归方程更好(即与实际数据更贴近). 【解析】 可以根据表中数据分析,两个回归方程对数据预测的正确率进行 判断,甲回归方程的数据准确率为32 40 =4 5 ,而乙回归方程的数据准确率为40 60 =2 3.显 然甲的准确率高些,因此甲回归方程好些. 【答案】 甲 8.如果某地的财政收入 x 与支出 y 满足线性回归方程 y=bx+a+e(单位:亿 元),其中 b=0.8,a=2,|e|≤0.5,如果今年该地区财政收入为 10 亿元,则年支出 预计不会超过________亿元. 【导学号:97270060】 【解析】 ∵x=10 时,y=0.8×10+2+e=10+e, ∵|e|≤0.5,∴y≤10.5. 【答案】 10.5 三、解答题 9.某服装店经营某种服装,在某周内纯获利 y(元)与该周每天销售这种服装件 数 x 之间的一组数据如下表: x 3 4 5 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91 (1)求样本点的中心; (2)画出散点图; (3)求纯获利 y 与每天销售件数 x 之间的回归方程. 【解】 (1) x-=6, y-≈79.86,样本点的中心为(6,79.86). (2)散点图如下: (3)因为b^=错误!≈4.75,a^= y--b^ x-≈51.36, 所以y^=4.75x+51.36. 10.为了研究某种细菌随时间 x 变化繁殖个数 y 的变化,收集数据如下: 时间 x/天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数 y 6 12 25 49 95 190 (1)用时间作解释变量,繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图; (2)求 y 与 x 之间的回归方程. 【解】 (1)散点图如图所示: (2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数 y=c1ec2x 的周围,于是令 z=ln y, 则 x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 由计算器算得,z^=0.69x+1.112,则有y^=e0.69x+1.112. [能力提升] 1.(2016·青岛一中调研)某学生四次模拟考试中,其英语作文的减分情况如表: 考试次数 x 1 2 3 4 所减分数 y 4.5 4 3 2.5 显然所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间有较好的线性相关关系,则其线性回归 方程为( ) A.y=0.7x+5.25 B.y=-0.6x+5.25 C.y=-0.7x+6.25 D.y=-0.7x+5.25 【解析】 由题意可知,所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间为负相关,所以排 除 A. 考试次数的平均数为 x =1 4(1+2+3+4)=2.5, 所减分数的平均数为 y =1 4(4.5+4+3+2.5)=3.5, 即直线应该过点(2.5,3.5),代入验证可知直线 y=-0.7x+5.25 成立,故选 D. 【答案】 D 2.某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据: x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 若 x 与 y 具有线性相关关系,则线性回归方程为________. 【解析】 错误!iyi=6×2+8×3+10×5+12×6=158,x-=6+8+10+12 4 =9, y-=2+3+5+6 4 =4, 错误!2i =62+82+102+122=344, b^=158-4×9×4 344-4×92 =14 20 =0.7, a^= y--b^ x-=4-0.7×9=-2.3, 故线性回归方程为y^=0.7x-2.3. 【答案】 y^=0.7x-2.3 3.某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量 y(件)与平均气温 x(℃)之间的 关系,随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温,其数据如表: 时间 二月上旬 二月中旬 二月下旬 三月上旬 旬平均气温 x(℃) 3 8 12 17 旬销售量 y(件) 55 m 33 24 由表中数据算出线性回归方程y^=b^x+a^中的b^=-2,样本中心点为(10,38). (1)表中数据 m=__________. (2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为 22 ℃,据此估计,该品牌的保暖衬 衣在三月中旬的销售量约为__________件. 【解析】 (1)由 y =38,得 m=40. (2)由a^= y -b^ x ,得a^=58, 故y^=-2x+58, 当 x=22 时,y^=14, 故三月中旬的销售量约为 14 件. 【答案】 (1)40 (2)14 4.(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年 宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响.对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散 点图及一些统计量的值. 图 312 x y w 错误! (xi- x )2 错误! (wi- w )2 错误! (xi- x )(yi- y ) 错误! (wi- w )(yi- y ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中 wi= xi,w]=1 8 错误!wi. (1)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于 年宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下 列问题: ①年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线 v=α+βu 的 斜率和截距的最小二乘估计分别为β^= 错误! ui- u vi- v  错误! ui- u 2 ,α^= v -β^ u . 【解】 (1)由散点图可以判断,y=c+d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型. (2)令 w= x,先建立 y 关于 w 的线性回归方程. 由于d^=错误!=108.8 1.6 =68, c^= y -d^ w =563-68×6.8=100.6, 所以 y 关于 w 的线性回归方程为y^=100.6+68w, 因此 y 关于 x 的回归方程为y^=100.6+68 x. (3)①由(2)知,当 x=49 时, 年销售量 y 的预报值y^=100.6+68 49=576.6, 年利润 z 的预报值z^=576.6×0.2-49=66.32. ②根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值 z^=0.2(100.6+68 x)-x=-x+13.6 x+20.12. 所以当 x=13.6 2 =6.8,即 x=46.24 时,z^取得最大值.故年宣传费为 46.24 千 元时,年利润的预报值最大.
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