高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1.4 生活中的优化问题举例
1.4 生活中的优化问题举例
[学习目标]
1．了解导数在解决实际问题中的作用．
2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
[知识链接]
设两正数之和为常数 c，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等
式a＋b
2
≥ ab(a，b＞0)?
答 设一个正数为 x，则另一个正数为 c－x，两数之积为
f(x)＝x(c－x)＝cx－x2(0＜x＜c)，f′(x)＝c－2x.
令 f′(x)＝0，即 c－2x＝0，得 x＝c
2.
故当 x＝c
2
时，f(x)有最大值 f
c
2 ＝c2
4
，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平
方的1
4.
若设这两个正数分别为 a，b，则有a＋b2
4
≥ab(a＞0，b＞0)，即a＋b
2
≥ ab(a，b
＞0)，当且仅当 a＝b 时等号成立．
[预习导引]
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称
为优化问题．
2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
3．解决优化问题的基本思路是
优化问题 → 用函数表示的数学问题
优化问题的答案 ← 用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．
要点一 用料最省问题
例 1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂与甲厂在河的
同侧，乙厂位于离河岸 40 千米的 B 处，乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 千米，
两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每
千米 3a 元和 5a 元，问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？
解
如图，由题意知，只有点 C 位于线段 AD 上某一适当位置时，才能使总费用最省，
设点 C 距点 D 为 x km，则 BC＝ BD2＋CD2＝ x2＋402，又设总的水管费用为 y
元，依题意有 y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0
20 时，q′>0，
∴当 v＝20 时，q 取得最小值，
即速度为 20 海里/时时，航行 1 海里所需费用总和最小．
要点二 面积、容积的最值问题
例 2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即
图中阴影部分)，这两栏的面积之和为 18 000 cm2，四周空白的宽度为 10 cm，两
栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能
使矩形广告面积最小？
解 设广告的高和宽分别为 x cm，y cm，
则每栏的高和宽分别为 x－20 cm，y－25
2 cm，
其中 x>20，y>25.
两栏面积之和为 2(x－20)·y－25
2
＝18 000，
由此得 y＝18 000
x－20
＋25.
广告的面积 S＝xy＝x
18 000
x－20
＋25 ＝18 000x
x－20
＋25x，
∴S′＝18 000[x－20－x]
x－202
＋25＝－360 000
x－202
＋25.
令 S′>0 得 x>140，令 S′<0 得 200)；固定部分为 a 元．
(1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义
域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为s
v
，全程运输成本为
y＝a·s
v
＋bv2·s
v
＝s
a
v
＋bv ，
∴所求函数及其定义域为 y＝s
a
v
＋bv ，v∈(0，c]
(2)由题意 s、a、b、v 均为正数．
y′＝s b－a
v2 ＝0 得 v＝ a
b.但 v∈(0，c]．
①若 a
b
≤c，则当 v＝ a
b
时，全程运输成本 y 最小；
②若 a
b>c，则 v∈(0，c]，
此时 y′<0，即 y 在(0，c]上为减函数．
所以当 v＝c 时，y 最小．
综上可知，为使全程运输成本 y 最小，
当 a
b
≤c 时，行驶速度 v＝ a
b
；
当 a
b>c 时，行驶速度 v＝c.
规律方法 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另
外需注意：
①合理选择变量，正确给出函数关系式．
②与实际问题相联系．
③必要时注意分类讨论思想的应用．
跟踪演练 3 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C＝100＋4q，价
格 p 与产量 q 的函数关系式为 p＝25－1
8q.求产量 q 为何值时，利润 L 最大？
解 收入 R＝q·p＝q 25－1
8q ＝25q－1
8q2，
利润 L＝R－C＝ 25q－1
8q2
－(100＋4q)
＝－1
8q2＋21q－100(00)．∴S′＝ 3
x2 (x3－4V)．令
S′＝0，得 x＝3 4V.
3．在边长为 60 cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线
折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积
是多少？
解 设箱底边长为 x cm，则箱高 h＝60－x
2 cm，箱子容积 V(x)＝x2h＝60x2－x3
2 (0
＜x＜60)．
V′(x)＝60x－3
2x2 令 V′(x)＝60x－3
2x2＝0，
解得 x＝0(舍去)或 x＝40，并求得 V(40)＝16 000.
由题意知，当 x 过小(接近 0)或过大(接近 60)时，箱子容积很小，因此，16 000
是最大值．
答 当 x＝40 cm 时，箱子容积最大，最大容积是 16 000 cm3.
4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度
x(千米/时)的函数解析式可以表示为 y＝ 1
128 000x3－ 3
80x＋8(00，h(x)是增函数，
所以当 x＝80 时，h(x)取得极小值 h(80)＝11.25(升)．
因为 h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
答 汽车以 80 千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升．
1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关
系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的
结果一定符合问题的实际意义．
2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使
f′(x)＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此
在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．
一、基础达标
1．方底无盖水箱的容积为 256，则最省材料时，它的高为( )
A．4 B．6
C．4.5 D．8
答案 A
解析 设底面边长为 x，高为 h，
则 V(x)＝x2·h＝256，∴h＝256
x2
，
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·256
x2
＝x2＋4×256
x
，
∴S′(x)＝2x－4×256
x2 .
令 S′(x)＝0，解得 x＝8，∴h＝256
82
＝4.
2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正
比，比例系数为 k(k>0)．已知贷款的利率为 0.048 6，且假设银行吸收的存款能
全部放贷出去．设存款利率为 x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则 x
的取值为( )
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
答案 B
解析 依题意，得存款量是 kx2，银行支付的利息是 kx3，获得的贷款利息是 0.048
6kx2，其中 x∈(0,0.048 6)．
所以银行的收益是 y＝0.048 6kx2－kx3(00；
当 0.032 40，
∴r＝l
6
是其唯一的极值点．
∴当 r＝l
6
时，V 取得最大值，最大值为
l
6 3π.
4．用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正
方形，然后把四边翻转 90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( )
A．120 000 cm3 B．128 000 cm3
C．150 000 cm3 D．158 000 cm3
答案 B
解析 设水箱底边长为 x cm，则水箱高 h＝60－x
2(cm)．
水箱容积 V＝V(x)＝x2h＝60x2－x3
2 (00.
求导数，得 S′(x)＝2－512
x2 .
令 S′(x)＝2－512
x2
＝0，解得 x＝16(x＝－16 舍去)．
于是宽为128
x
＝128
16
＝8.当 x∈(0,16)时，S′(x)<0；
当 x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.
因此，x＝16 是函数 S(x)的极小值点，也是最小值点．
所以，当版心高为 16 dm，宽为 8 dm 时，能使四周空白面积最小．
二、能力提升
8．把长为 12 cm 的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三
角形的面积之和的最小值是( )
A.3
2 3 cm2 B．4 cm2
C．3 2 cm2 D．2 3 cm2
答案 D
解析 设一个正三角形的边长为 x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则
这两个正三角形的面积之和为 S＝ 3
4 x2＋ 3
4 (4－x)2＝ 3
2 [(x－2)2＋4]≥2 3(cm2)，
故选 D.
9．某公司生产一种产品， 固定成本为 20 000 元，每生产一单位的产品，成本
增 加 100 元 ， 若 总 收 入 R 与 年 产 量 x 的 关 系 是 R(x) ＝
－ x3
900
＋400x，0≤x≤390， 90 090，x>390， 则当总利润最大时，每年生产
产品的单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
答案 D
解析 由题意得，总利润
P(x)＝ － x3
900
＋300x－20 000，0≤x≤390， 70 090－100x，x>390，
令 P′(x)＝0，得 x＝300，故选 D.
10．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱，污
水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长为 a 米，高为 b 米．已知流
出的水中该杂质的质量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比，现有制箱材料 60 平方米，
问当 a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最
小(A，B 孔的面积忽略不计)．
答案 6 3
解析 设 y 为流出的水中杂质的质量分数，则 y＝ k
ab
，其中 k(k>0)为比例系数．依
题意，即所求的 a，b 值使 y 值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得
b＝30－a
2＋a
.于是 y＝ k
ab
＝ k
30a－a2
2＋a
＝k2＋a
30a－a2.(00，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x＝64 处
取得最小值．
此时 n＝m
x
－1＝640
64
－1＝9.
故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小．
12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为
20 km/h 时，每小时消耗的煤价值 40 元，其他费用每小时需 200 元，火车的最高
速度为 100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
解 设速度为 x km/h，甲、乙两城距离为 a km.
则总费用 f(x)＝(kx3＋200)·a
x
＝a(kx2＋200
x )．
由已知条件，得 40＝k·203，∴k＝ 1
200
，
∴f(x)＝a
1
200x2＋200
x (0＜x＜100)．
令 f′(x)＝ax3－20 000
100x2
＝0，
得 x＝103 20.
当 00.
∴当 x＝10 3 20时，f(x)有最小值，
即速度为 103 20 km/h 时，总费用最少．
三、探究与创新
13．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间
为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π
3
立方米，且 l≥2r.
假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为
3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元．设该容器的建造费用为 y
千元．
(1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的 r.
解 (1)设容器的容积为 V，由题意知 V＝πr2l＋4
3πr3，
又 V＝80π
3
，
故 l＝V－4
3πr3
πr2
＝80
3r2
－4r
3
＝4
3
20
r2
－r .由于 l≥2r，因此 03，所以 c－2>0.
当 r3－ 20
c－2
＝0 时，r＝3 20
c－2.令3 20
c－2
＝m，则 m>0，
所以 y′＝8πc－2
r2 (r－m)(r2＋rm＋m2)．
①当 09
2
时，令 y′＝0，得 r＝m.
当 r∈(0，m)时，y′<0；当 r∈(m,2]时，y′>0，
所以 r＝m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点．
②当 m≥2，即 39
2
时，建造费用最小时 r＝
3 20
c－2.
