高三数学（文数）总复习练习专题七 三角恒等变换与解三角形

高三数学（文数）总复习练习专题七 三角恒等变换与解三角形

‎1．(2015·重庆，6，易)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　A　tan β＝tan(α＋β－α)‎ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎2．(2015·江苏，8，易)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．‎ ‎【解析】　tan β＝tan ‎＝＝＝3.‎ ‎【答案】　3‎ ‎3．(2015· 广东，16，12分，易)已知tan α＝2.‎ ‎(1)求tan的值；‎ ‎(2)求的值．‎ 解：(1)tan＝＝＝＝－3.‎ ‎(2) ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝1.‎ ‎1．(2013·江西，3，易)若sin ＝，则cos α＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【答案】　C　由余弦的二倍角公式得 cos α＝1－2sin2 ＝1－2×＝.‎ ‎2．(2013·课标Ⅱ，6，易)已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　A　cos2＝＝＝＝.故选A.‎ ‎3．(2012·重庆，5，中)＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【答案】　C　原式＝ ‎＝ ‎＝＝sin30°＝.‎ ‎4．(2014·大纲全国，14，中)函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为__________．‎ ‎【解析】　因为y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x＝－2＋，所以当sin x＝时，函数y＝cos 2x＋2sin x取得最大值，最大值为.‎ ‎【答案】　 ‎5．(2014·江苏，15，14分，中)已知α∈，sin α＝.‎ ‎(1)求sin的值；‎ ‎(2)求cos的值．‎ 解：(1)因为α∈，sin α＝，‎ 所以cos α＝－＝－.‎ 故sin＝sincos α＋cossin α ‎＝×＋×＝－.‎ ‎(2)由(1)知sin 2α＝2sin α cos α ‎＝2××＝－，‎ cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，‎ 所以cos ‎＝coscos 2α＋sinsin 2α ‎＝×＋× ‎＝－.‎ ‎6．(2014·四川，17，12分，中)已知函数f(x)＝sin.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若α是第二象限角，f ＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．‎ 解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，‎ 由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋≤x≤＋，k∈Z.‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由已知，有f ＝sin ‎＝cos·(cos2α－sin2α)，‎ 所以sin αcos＋cos αsin ‎＝(cos2α－sin2α)，‎ 即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．‎ 当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.‎ 此时，cos α－sin α＝－.‎ 当sin α＋cos α≠0时，‎ 有(cos α－sin α)2＝.‎ 由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，‎ 此时cos α－sin α＝－.‎ 综上所述，cos α－sin α＝－或－.‎ ‎7．(2012·广东，16，12分，中)已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f ＝.‎ ‎(1)求A的值；‎ ‎(2)设α，β∈，f ＝－，f ＝，求cos(α＋β)的值．‎ 解：(1)因为f ＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.‎ ‎(2)由f ＝2cos ‎＝2cos＝－2sin α＝－，‎ 得sin α＝，又α∈，‎ 所以cos α＝.‎ 由f ＝2cos ‎＝2cos β＝，‎ 得cos β＝，又β∈，‎ 所以sin β＝，‎ 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.‎ 考向1　三角函数式的化简与证明 ‎1．两角和与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(Sα＋β)‎ sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(Sα－β)‎ cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(Cα＋β)‎ cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(Cα－β)‎ tan(α＋β)＝；(Tα＋β)‎ tan(α－β)＝.(Tα－β)‎ ‎2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α；(S2α)‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(C2α)‎ tan 2α＝.(T2α)‎ ‎3．公式的变形与应用 ‎(1)两角和与差的正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；‎ tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．‎ ‎(2)升幂公式 ‎1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2.‎ ‎(3)降幂公式 sin2α＝；cos2α＝.‎ ‎(4)其他常用变形 sin 2α＝＝；‎ cos 2α＝＝；‎ ‎1±sin α＝；‎ tan＝＝.‎ ‎4．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，‎ 其中cos φ＝，sin φ＝.‎ ‎5．角的拆分与组合 ‎(1)已知角表示未知角 例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，‎ α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，‎ α＝－＝＋.‎ ‎(2)互余与互补关系 例如，＋＝π，‎ ＋＝.‎ ‎(3)非特殊角转化为特殊角 例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.‎ 转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．‎ ‎(1)(2013·重庆，9)4cos 50°－tan 40°＝(　　)‎ A. B. C. D．2－1‎ ‎(2)(2014·山东临沂质检，13)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝________.‎ ‎【解析】　(1)4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝，故选C.‎ ‎(2)方法一(从“角”入手，复角化单角)：‎ 原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)‎ ‎＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)‎ ‎＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－ ‎＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－ ‎＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.‎ 方法二(从“名”入手，异名化同名)：‎ 原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β ‎＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β ‎＝cos2β－cos 2β ‎＝－cos 2β＝.‎ 方法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)：‎ 原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β ‎＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－ cos 2α·cos 2β＝＋＝.‎ 方法四(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)：‎ 原式＝(sin αsin β－cos αcos β)2＋2sin αsin β·cos αcos β－cos 2αcos 2β ‎＝cos2(α＋β)＋sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β ‎＝cos2(α＋β)－cos(2α＋2β)‎ ‎＝cos2(α＋β)－[2cos2(α＋β)－1]＝.‎ ‎【答案】　(1)C　(2) ‎【点拨】　解题(1)的思路是先切化弦，再化异角为同角，约分化简；解题(2)的关键是要抓住所给三角函数式的特点，明确化简思路，应用三角函数公式．‎ ‎ 三角函数式的化简方法及思路 ‎(1)化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的代换等．‎ ‎(2)化简的基本思路 ‎“一角二名三结构”，即：‎ 一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式；‎ 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；‎ 三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式”等．‎ 根式的化简常常需要升幂去根号，在化简过程中注意角的范围，以确定三角函数值的正负．‎ ‎(2015·上海黄浦区模拟，19，12分)已知00.‎ ‎∴f(α)＝sin α＋≥2＝1，‎ 又f(α)＝sin β ≤1，∴f(α)＝1，‎ 此时sin α＝，‎ 即sin α＝，∴α＝或.‎ 又∵0<β<π，0b 解的个数 一解 两解 一解 一解 上表中A为锐角时，a0，∴sin A＝1，即A＝，故选B.‎ ‎(2)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，‎ ‎∴a∶b∶c＝5∶11∶13，‎ 故令a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得 cos C＝＝＝－<0，‎ 又∵C∈(0，π)，∴C∈，‎ ‎∴△ABC为钝角三角形，故选C.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)C ‎【点拨】　解题(1)的关键是利用正弦定理进行边角互化，将已知式子转化为角角关系；解题(2)的关键是利用正弦定理将角角关系转化为边边关系，进而利用余弦定理求出最大边所对角的余弦值．‎ ‎ 利用正、余弦定理判断三角形形状的思路和途径 要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：‎ ‎(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．‎ 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．‎ ‎(2012·上海，16)在△ABC中，若sin2A＋sin2B1，即a2＋b2－c2>0，‎ ‎∴cos C＝>0，‎ ‎∴0

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