九年级数学上册第二十二章二次函数22-2用函数的观点看一元二次方程1教学课件新版 人教版

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第 22 章：二次函数 22.2 二次函数与一元一次方程 学习目标： 1.了解二次函数与一元二次方程之间的关系。 2.理解一元二次方程根的几何意义，会灵活运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图象与x轴的交点问题。 问题 1 ：如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30 0 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行 h （单位： m ）与飞行时间 t （单位： s ）之间具有关系： h=20t-5t 2 ，考虑以下问题： （ 1 ）球的飞行高度能否达到 15m ？如果能，需要多少飞行时间？ （ 1 ）球的飞行高度能否达到 15m ？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出 为什么在两个时间 球的高度为 15m ？ O h t 15 1 3 解 ：（ 1 ）解方程 15=20t-5t 2 T 2 -4t+3=0 t 1 =1,t 2 =3 （ 2 ）球的飞行高度能否达到 20m ？ 如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出 为什么只在一个时间 球的高度为 20m ？ （ 2 ） 球的飞行高度能否达到 20m ？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出 为什么只在一个时间球的高度为 20m ？ O h t 20 4 ? （ 3 ）球的飞行高度能否达到 20.5m ？ 如果能，需要多少飞行时间？ O h t 你能结合图形指出 为什么球不能达到 20.5m 的高度 ? 20.5 解 ：（ 2 ）解方程 20=20t-5t 2 T 2 -4t+4=0 t 1 =t 2 =2 当球飞行 2 秒时，它的高度为 20 米。 解 ：（ 3 ）解方程 20.5=20t+5t 2 T 2 -4t+4.1=0 因为（ -4 ） 2 -4×4.1 ＜ 0 ，所以方程无解。 球的飞行高度达不到 20.5 米 （ 4 ）球从飞出到落地要用多少时间？ O h t 你能结合图形指出为什么在两个时间球的高度为 0m 吗 ? 解 ：（ 4 ）解方程 0=20t-5t 2 T 2 -4t=0 t 1 =0 ， t 2 =4 当球飞行 0 秒和 4 秒时，它的高度为 0 米。 即 0 秒时球从地面飞出， 4 秒时球落回地面。 例如 , 已知二次函数 y=-X 2 +4x 的值为 3, 求自变量 x 的值 . 就是求方程 3=-X 2 +4x 的解 , 例如 , 解方程 X 2 -4x+3=0 就是已知二次函数 y=X 2 -4x+3 的值为 0, 求自变量 x 的值 . 从以上可以看出，已知二次函数 y 的值为 m ，求相应自变量 x 的值，就是求相应一元二次方程的解。 观察 : 下列二次函数的图 象与 x 轴有公共点吗 ? 如 果有 , 公共点横坐标是多 少 ? 当 x 取公共点的横坐 标时 , 函数的值是多少 ? 由此 , 你得出相应的一 元二次方程的解吗 ? (1)y=x 2 +x-2 (2)y=x 2 -6x+9 (3)y=x 2 -x+1 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象和 x 轴交点的 横坐标 与一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的 根 有什么关系 ? 解：（ 1 ）设 y=0 得 x 2 +2-2=0 (x-1)(x+2)=0 X 1 =1,x 2 =-2 所以抛物线 y=x 2 +x-2 与 X 轴有两个公共点， 公共点的横坐标分别是 1 和 -2 ， 当 x 取公共点的横坐标时，函数的值为 0 解：（ 2 ）设 y=0 得 x 2 -6x+9=0 (x-3) 2 =0 X 1 =x 2 =3 所以抛物线 y=x 2 -6x+9 与 X 轴有两个公共点， 公共点的横坐标是 3 ， 当 x 取公共点的横坐标时，函数的值为 0 解：（ 2 ）设 y=0 得 x 2 -x+1=0 因为 b 2 -4ac=(-1) 2 -4×1×1=-3 ＜ 0 方程 x2-x+1=0 没有实数根 所以抛物线 y=x 2 -6x+9 与 x 轴没有公共点。 判别式： b 2 -4ac 二次函数 y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ） 图象 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 （ a≠0 ）的根 x y O 与 x 轴有两个不 同的交点 （ x 1 ， 0 ） （ x 2 ， 0 ） 有两个不同的解 x=x 1 ， x=x 2 b 2 -4ac ＞ 0 x y O 与 x 轴有唯一个 交点 有两个相等的解 x 1 =x 2 = b 2 -4ac=0 x y O 与 x 轴没有 交点 没有实数根 b 2 -4ac ＜ 0 方法 : (1) 先作出图象 ; (2) 写出交点的坐标 ; (3) 得出方程的解 . 利用二次函数的图象求方程 x 2 -x-3=0 的实数根（精确到 0.1 ） . -1 3 y x 2 O Y=x 2 -x-3 C A （ 1 ）抛物线 y=x 2 +2x-3 与 x 轴的交点个数有（） A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 （ 2 ）抛物线 y=mx 2 -3x+3m+m 2 经过原点， 则其顶点坐标为 ________________. (3) 关于 x 的一元二次方程 x 2 -x-n=0 没有实数根，则抛物线 y=x 2 -x-n 的顶点在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解：（ 1 ） b 2 -4ac=2 2 -4×1× （ -3 ） =16 ＞ 0 有两个交点 （ 2 ）抛物线经过原点 0=3m+m 2 m(m+3)=0 m=-3 m=0( 舍去 ) 但 m=-3 时抛物线的解析式为 y=-3x 2 -3x=-3 （ x 2 +x+ ） + =-3 （ x+ ） 2 + 顶点为（ - ） 1 4 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 解：（ 3 ） b 2 -4ac ＜ 0 （ -1 ） 2 -4×1× （ -n ） ＜ 0 1+4n ＜ 0 n ＜ - 1 4 b 2a - =- = ＞ 0 -1 2×1 1 2 4ac-b 2 2a = 4×1× （ -n ） -(-1) 2 4×1 = -4n-1 4 n ＜ - 1 4 -4n ＞ 1 -4n-1 ＞ 0 -4n-1 4 ＞ 0 顶点在第一象限 （ 4 ）一元二次方程 3 x 2 +x-10=0 的两个根是 x 1 = -2 ,x 2 =5/3, 那么二次函数 y= 3 x 2 +x-10 与 x 轴的交点坐标是＿＿＿＿ . 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的两个根为 x 1 ,x 2 , 则抛物线 y=ax 2 +bx+c 与 x 轴的交点坐标是 (x 1 ,0),(x 2 ,0) （ 5 ）根据下列表格的对应值 : 判断方程 ax 2 +bx+c=0 (a≠0,a,b,c 为常数 ) 一个解 x 的范围是 ( ) A 3< X < 3.23 B 3.23 < X < 3.24 C 3.24 0 b 2 – 4ac= 0 b 2 – 4ac< 0 若抛物线 y=ax 2 +bx+c 与 x 轴有交点 , 则 b 2 – 4ac ≥ 0 △＞ 0 △ =0 △＜ 0 O X Y 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点 已知二次函数 y=-x 2 +2x+k+2 与 x 轴的公共点有两个， （ 1 ）求 k 的取值范围； （ 2 ）当 k=1 时，求抛物线与 x 轴的公共点 A 和 B 的坐标及顶点 C 的坐标； （ 3 ）观察图象，当 x 取何值时， y=0,y>0,y<0? （ 4 ）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P ，使 S ⊿ABP 是 S ⊿ABC 的一半，若存在，求出 P 点的坐标，若不存在，请说明理由 .