【数学】2019届一轮复习北师大版概率统计解答题（理）学案

【数学】2019届一轮复习北师大版概率统计解答题（理）学案

专题二 概率统计解答题（理）‎ 以随机事件概率为背景离散型随机变量的分布列、均值 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，各事件概率之和为1．‎ ‎2．求随机事件概率为背景的离散型随机变量的均值与方差公式 ‎3．注意事件中所包含关键词，如至少，至多，恰好，都是，不都是，都不是等的含义．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ 1. 必备技能 分类讨论要保证不重不漏，且相互互斥．灵活运用排列组合相应方法进行计数．等可能性是正确解题的关键，在计数及求概率过程中严格保证事件的等可能性．‎ 2. 典型例题 学= ‎ 例1．【2018广东六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）高三下学期第三次联考】某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理．‎ ‎ （I）若小店一天购进16份，求当天的利润（单位 元）关于当天需求量（单位 份，）的函数解析式；‎ ‎（II）小店记录了100天这种食品的日需求量（单位 份），整理得下表 ‎ 日需求量 ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．‎ ‎(i)小店一天购进16份这种食品，表示当天的利润（单位 元），求的分布列及数学期望；‎ ‎(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？‎ ‎【 】【全国校级联考】数学（理）试题 试题解析 ‎ ‎（Ⅰ）当日需求量时，利润，‎ 当日需求量时，利润， ‎ 所以关于的函数解析式为．‎ ‎（Ⅱ）（i）由题意知的所有可能的取值为62，71，80，‎ 并且，，．‎ ‎∴的分布列为 ‎ X ‎62‎ ‎71‎ ‎80‎ P ‎0．1‎ ‎0．2‎ ‎0．7‎ ‎∴元．‎ ‎（ii）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位 元)，那么的分布列为 Y ‎58‎ ‎67‎ ‎76‎ ‎85‎ P ‎0．1‎ ‎0．2‎ ‎0．16‎ ‎0．54‎ ‎∴的数学期望为元．‎ 由以上的计算结果可以看出，‎ 即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．∴所以小店应选择一天购进17份．‎ 例2．【2018东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三一模】某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间，需求量为100台；最低气温位于区间，需求量为200台；最低气温位于区间，需求量为300台．公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表 ‎ 最低气温(℃)‎ 天数 ‎11‎ ‎25‎ ‎36‎ ‎16‎ ‎2‎ 以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．‎ 求11月份这种电暖气每日需求量(单位 台)的分布列；‎ 若公司销售部以每日销售利润(单位 元)的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？‎ ‎【答案】（I）X的分布列为 X ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ P ‎0．2‎ ‎0．4‎ ‎0．4‎ ‎（II）11月每日应订购250台．‎ ‎【解析】试题分析 （I）由题意，易知离散型随机变量X的可能取值为100，200，300，根据“频率代替概率”分别求出各值对应的概率，从而可列出X的分布列；（II）根据题意，由随机变量的期望值公式，分别算出订购200台，250台的数学期望进行比较，从而可确定订购250台时所得期望值最大．‎ 试题解析 （I）由已知X的可能取值为100，200，300‎ ‎ 的分布列为 X ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ P ‎0．2‎ ‎0．4‎ ‎0．4‎ ‎（II） 由已知 ‎①当订购200台时，E((元)‎ ‎② 当订购250台时，‎ E(‎ ‎（元）‎ 综上所求，当订购台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台．‎ ‎【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望（均值）的一般步骤为 ‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是 “探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018山东济宁市高三一模】某快餐代卖店代售多种类型的快餐，深受广大消费者喜爱．其中，种类型的快餐每份进价为元，并以每份元的价格销售．如果当天20 00之前卖不完，剩余的该种快餐每份以元的价格作特价处理，且全部售完．‎ ‎（I）若该代卖店每天定制份种类型快餐，求种类型快餐当天的利润（单位 元）关于当天需求量（单位 份，）的函数解析式；‎ ‎（II）该代卖店记录了一个月天的种类型快餐日需求量（每天20 00之前销售数量）‎ 日需求量 天数 ‎（i）假设代卖店在这一个月内每天定制份种类型快餐，求这一个月 种类型快餐的日利润（单位 元）的平均数（精确到）；‎ ‎（ii）若代卖店每天定制份种类型快餐，以天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，求种类型快餐当天的利润不少于元的概率．‎ ‎【答案】（I） ；（II）(i)53．5；(ii)0．7．‎ ‎【解析】试题分析 （I）当日需求量时，利润，当日需求量时，利润 ，即可得关于的函数解析式；‎ ‎（II）（i）这天中有天的日利润为元，天的日利润为元，天的日利润为元，天的日利润为元，利用平均数的计算公式，即可得到利润的平均数；‎ ‎（ii）利润不低于元即为日需求量不少于份的概率，利用古典概型的概率公式，即可求解概率．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）当日需求量时，利润．‎ 当日需求量时，利润 ．‎ 所以关于的函数解析式为 ．‎ ‎（II）（i）这天中有天的日利润为元，天的日利润为元，天的日利润为元，天的日利润为元，所以这天的日利润的平均数为 ．‎ ‎（ii）利润不低于元当且仅当日需求量不少于份的概率为．‎ ‎2．【2018贵州黔东南州高三一模】为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有 自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名．从这8名导游中随机选择4人 参加比赛．‎ ‎（Ⅰ）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游 自同一个旅游协会”，求事件发生的概率．‎ ‎（Ⅱ）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（I）；（II）见解析．‎ 试题解析 （I）由已知条件知，当两名高级导游 自甲旅游协会时，有种不同选法；‎ 当两名高级导游 自乙旅游协会时，有种不同选法，则 ‎，所以事件发生的概率为 ．‎ ‎（II）随机变量的所有可能取值为1，2，3，4．‎ ‎，，，．‎ 所以，随机变量的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 则随机变量的数学期望（人）．‎ 以二项分布为背景离散型随机变量的分布列、均值 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．若随机变量服从二项分布，则对应的事件是两两独立重复的，概率为事件成功的概率．‎ ‎2．求二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差公式 若，则 ‎3．区别超几何分布．若，则 ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 利用离散型随机变量的均值与方差的定义，也可求出二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差，但计算较繁．因此判断随机变量是否服从二项分布是解决问题的关键．判断方法有两个，一是从字面上理解是否符合独立重复条件，二是通过计算，归纳其概率规律是否满足二项分布．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018安徽芜湖高三一模】某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布，数学成绩的频数分布直方图如下 ‎ ‎（I）计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪 的平均分较高（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）；‎ ‎（II）如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？‎ ‎（III）如果语文和数学两 都优秀的共有4人，从（II）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两 都优秀的有人，求的分布列和数学期望．‎ ‎（附参考公式）若，则，‎ ‎【答案】（I）语文平均分高些；（II）语文成绩优秀人数为人，数学成绩优秀人数为人；（III）答案见解析．‎ ‎（II）语文成绩优秀的概率为，‎ 数学成绩优秀的概率为，学 ‎ 语文成绩优秀人数为人，数学成绩优秀人数为人 ‎（III）语文数学两 都优秀的4人，单 优秀的有6人，所有可能的取值为0，1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的分布列为 数学期望．‎ 例2．【2018安徽蚌埠高三一模】为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位 ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布．‎ ‎（I）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；‎ ‎（II）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示 ‎ ‎①计算这一天平均值与标准差；‎ ‎②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位 ） 85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？‎ 参考数据 ，，‎ ‎，，，‎ ‎，，．‎ ‎【答案】（I） （II）① ②生产线异常，需要进一步调试 ‎【解析】【试题分析】（I）依题意可知满足二项分布，根据二项分布的公式计算出，然后用减去这个值记得到的值．利用二项分布的期望公式，直接计算出的值．（II）分别计算出均值和标准差，计算的范围，发现不在这个范围内，根据原理可知需要进一步调试．‎ ‎【试题解析】‎ ‎（I）由题意知 ‎ 或，‎ ‎，‎ ‎∵，∴；‎ ‎（II）①，‎ ‎，所以．‎ ‎②结论 需要进一步调试．‎ 理由如下 如果生产线正常工作，则服从正态分布，‎ ‎，零件内径在之外的概率只有0．0026，而根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018湖北武汉高中毕业生2月调研】从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位 ）落在各个小组的频数分布如下表 ‎ 数据分组 频数 ‎3‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎（I）根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；‎ ‎（II）求这50件产品尺寸的样本平均数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（III）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得．利用该正态分布，求．‎ 附 （I）若随机变量服从正态分布，则 ‎，；‎ ‎（II）．‎ ‎【答案】（I）0．16；（II）22．7；（III）0．1587．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（I）由题意可得产品尺寸落在内的概率．‎ ‎（II）由平均数公式可得样本平均数为．‎ ‎（III）由题意可得，．则 ‎，．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）根据频数分布表可知，产品尺寸落在内的概率．‎ ‎（II）样本平均数 ‎（III）依题意．‎ 而，，则．‎ ‎．‎ ‎2．【2018衡水金卷（二）】某校高三年级有1000人，某次考试不同成绩段的人数，且所有得分都是整数．‎ ‎（I）求全班平均成绩；‎ ‎（II）计算得分超过141的人数；（精确到整数）‎ ‎（III）甲同学每次考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次考试，表示进入前100名的次数，写出的分布列，并求期望与方差．‎ 参考数据 ．‎ ‎【答案】（I） ；（II）23人；（III）见解析．‎ ‎【解析】试题分析 （I）由易知全班平均成绩；（II）由正太分布曲线的对称性易得，从而计算出得分超过141的人数；（III） 的取值为0，1，2，3，4，计算出相应的概率值，利用公式即可算得期望与方差．‎ 试题解析 （I）由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩．‎ ‎（II） ，‎ 故141分以上的人数为人．‎ ‎（III） 的取值为0，1，2，3，4，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 期望，方差．‎ 以茎叶图为背景分布列、均值 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组数据，两组以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两组数据时那么直观，清晰．根据茎叶图会估计两组数据均值及方差的大小．‎ ‎2．茎叶图不能直观反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步地估计总体．‎ ‎3．茎叶图主要考查识图能力及处理数据能力．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 根据茎叶图数据的分布情况，估计两组数据均值及方差的大小关系．从数据分布上下，可比较两组数据均值大小．从数据分布的密疏，可估计两组数据的方差大小．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018吉林长春十一中、东北师大附中、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联合模拟】‎ 为了调查观众对电视剧《风筝》的喜爱程度，某电视台举办了一次现场调查活动．在参加此活动的甲、乙两地观众中，各随机抽取了8名观众对该电视剧评分做调查（满分100分），被抽取的观众的评分结果如图所示．‎ ‎（Ⅰ）计算 ①甲地被抽取的观众评分的中位数；②乙地被抽取的观众评分的极差；‎ ‎（Ⅱ）用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行评分调查，记抽取的4人评分不低于90分的人数为，求的分布列与期望；‎ ‎（Ⅲ）从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，求乙地被抽取的观众评分低于90分的概率．学 ‎ ‎【答案】（I）中位数是83，极差是；（II）答案见解析；(Ⅲ) ．‎ ‎【解析】试题分析 （Ⅰ）直接利用茎叶图求解甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众评分的极差；； 试题解析 ‎ ‎（Ⅰ）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众评分的中位数是83，乙地被抽取的观众评分的极差是 ‎（Ⅱ）记“从乙地抽取1人进行评分调查，其评分不低于90分”为事件，则 随机变量的所有可能取值为，，且 所以，‎ 所以的分布列为 ‎∴‎ ‎（Ⅲ）由茎叶图可得，甲地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于90分，乙地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于90分，设事件为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，两人中至少一人评分不低于90分”，事件为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，乙地观众评分低于90分”，所以，，根据条件概率公式，得．‎ 所以在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，乙地被抽取的观众评分低于90分的概率为．‎ 例2．【2018百校联盟TOP20一月联考】质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量(单位 克）分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．‎ ‎（I）从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；‎ ‎（II）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3 件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；‎ ‎（III）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用表示乙车间的零件个数，求的分布列与数学期望．‎ ‎【答案】（I）（II）（III）分布列见解析 ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（I）本题求独立事件同时发生的概率，解题时运用对立事件的概率求解比较简单．（II）运用条件概率求解，解题时要分清谁是条件．（III）由题意可得到的所有可能取值，然后分别求出概率，列成表格的形式可得分布列，根据定义求得期望值．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）由题意得甲车间的合格零件数为4，乙车间的合格的零件数为2，‎ 故所求概率为．‎ 即甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率为．‎ ‎（II）设事件表示“2件合格，2件不合格”；事件表示“3件合格，1件不合格”；事件表示“4件全合格”；事件表示“检测通过”；事件表示“检测良好”．‎ 则，‎ ‎∴．‎ 故甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率为．‎ ‎（III）由题意可得的所有可能取值为0，1，2．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎∴ 随机变量的分布列为 ‎∴．‎ ‎【名师点睛】‎ ‎（I）在求某事件的概率时，若事件较为复杂时，可通过求它的对立事件的概率 求解．对于含有“至多”、“至少”等词语的概率问题，一般用对立事件的概率 解较为简单．‎ ‎（II）求概率时，当题目中含有“在……发生的条件下，求……发生的概率”的字样时，一般用条件概率求解，解题时要分清楚谁是条件，然后再利用公式求解．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018河南郑州高三一模】为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下 ‎ ‎（I）若甲单位数据的平均数是122，求；‎ ‎（II）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为，，令，求的分布列和期望．‎ ‎【答案】（I）8；（II）答案见解析．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（I）根据茎叶图列出的数据并结合所给的平均数可求得．（II）根据题意得到的所有可能的取值，并分别求出概率，列出表格可得分布列，然后求出期望．‎ 试题解析 （I）由题意，解得．‎ ‎（II）由题意知，随机变量的所有可能取值有0，1，2，3，4．‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为 ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴．‎ ‎2．【2018山东肥城高三上学期升级统测】为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况，对他们的次数学测试成绩（满分分）进行统计，作出如下的茎叶图，其中处的数字模糊不清，已知甲同学成绩的中位数是，乙同学成绩的平均分是分．‎ ‎（I）求和的值；‎ ‎（II）现从成绩在之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同学试卷的概率．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（I）（II）‎ 以频率分布直方图为背景的分布列、均值 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距．横轴表示样本数据．‎ ‎2．频率分布直方图中各小长方形的面积表示相应组的频率，各小长方形的面积总和为1．‎ ‎3．频率分布直方图中主要考查结构特点及处理数据能力．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 频率分布直方图主要提取的信息为频率，计算对应小长方形的面积是解题的关键，也是考查的主要知识点．利用各小长方形的面积总和为1，可对频率分布直方图进行补形或填空．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018辽宁凌 市高三毕业班一模抽考】某调查机构随机调查了岁到岁之间的位 上购物者的年龄分布情况，并将所得数据按照，，，，分成组，绘制成频率分布直方图（如图）．‎ ‎（I）求频率分布直方图中实数的值及这位 上购物者中年龄在内的人数；‎ ‎（II）现采用分层抽样的方法从参与调查的位 上购物者中随机抽取人，再从这人中任选人，设这人中年龄在内的人数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（I）192；（II）‎ ‎【解析】试题分析 （I）根据所有小长方形面积和为1，解得，再根据频数等于频率与总数的乘积得年龄在内的人数；（II）先根据分层抽样确定各区间抽取人数，再确定随机变量确定，利用组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望．‎ 试题解析 （I）由频率分布直方图，可得，得．‎ 则这位 上购物者中年龄在内的频率为，‎ 故这位 上购物者中年龄在内的人数为．‎ ‎（II）由频率分布直方图可知，年龄在内的人数与其他年龄段的总人数比为，‎ 由分层抽样的知识知，抽出的人中年龄在内的人数为，其他年龄段的总人数为 ‎．‎ 所以的可能取值为，，．‎ ‎，，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 故的数学期望．‎ 例2．【2018广东省深中、华附、省实、广雅四校联考】依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．‎ 试估计该河流在8月份水位的中位数；‎ ‎（I）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；‎ ‎（II）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．‎ 现此企业有如下三种应对方案 ‎ 方案 防控等级 费用（单位 万元）‎ 方案一 无措施 ‎0‎ 方案二 防控1级灾害 ‎40‎ 方案三 防控2级灾害 ‎100‎ 试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．‎ ‎【答案】（I）（II）应选方案二．‎ ‎【解析】【试题分析】中位数是左右两边小长方形面积为的地方．（I）由于乙图中频率分成个部分，故将水位频率和对应级灾害的频率对应起 ，利用相互独立事件概率计算公式，将发生级灾害的概率计算出 ．（II）分别计算方案、方案和方案对应的利润分布列及数学期望，由此判断出方案较合理．‎ ‎【试题解析】‎ ‎（I）依据甲图，记该河流8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，它们发生的概率分别为 ‎ ‎，‎ ‎．‎ 记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，‎ 所以．‎ 记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件．则 ‎．‎ 估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为．‎ ‎（II）以企业利润为随机变量，‎ 选择方案一，则利润（万元）的取值为 ，由（I）知 ‎．‎ 的分布列为 X1‎ ‎500‎ ‎－100‎ ‎－1000‎ P ‎0．81‎ ‎0．155‎ ‎0．035‎ 则该企业在8月份的利润期望 ‎（万元）．‎ 选择方案二，则（万元）的取值为 ，由（I）知，‎ ‎，‎ 的分布列为 ‎ X2‎ ‎460‎ ‎－1040‎ P ‎0．965‎ ‎0．035‎ 则该企业在8月份的平均利润期望（万元）‎ 选择方案三，则该企业在8月份的利润为 （万元）由于，因此企业应选方案二．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查直方图的实际应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．求解离散型随机变量的分布列与数学期望的问题，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关 （I）阅读理解关；（II）概率计算关；（III）公式应用关．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018江西上饶市高三上学期一模】2013年秋天中国国家主席习近平提出“一带一路”战略构想的重大倡议，时隔四年，2017年秋天中国共产党第十九次全国代表大会通过了《中国共产党章程(修正案)》的决议，将推进“一带一路”建设写入党章，这充分体现了在中国共产党领导下，中国高度重视“一带一路”建设、坚定推进“一带一路”国际合作的决心和信心．某市为了了解人们对这一复兴中国梦的伟大战略举措的认识程度，对不同年龄的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分，现将所有参赛者按分数分成5组(第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 )，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（I）求实数的值，并求所有参赛者分数的中位数；‎ ‎（II）若从分数在，的参赛者中按分层抽样选取6人．‎ ‎①求选取的6人中，分数分别在，上的人数；‎ ‎②再从选取的6人中随机挑选2人到省里培训，记选中的2人中得分在的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（I），中位数为86；（II）见解析．‎ ‎（II）根据频率分布直方图和统计表可知道按分层抽样选取人 的人数为4人， 的人数为2人，‎ 的所有可能取值为0、1、2‎ ‎ ‎ 的分布列为．‎ ‎2．【2018山西晋中市高三1月高考适应性调研】某省高中男生身高统计调查数据显示 全省名男生的身高服从正态分布 ‎，现从该生某校高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成组 第一组，第二组，…，第六组，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．‎ ‎（I）求该学校高三年级男生的平均身高；‎ ‎（II）求这名男生中身高在以上（含）的人数；‎ ‎（III）从这名男生中身高在以上（含）的人中任意抽取人，该中身高排名（从高到低）在全省前名的人数记为，求的数学期望．‎ ‎（附 参考数据 若服从正态分布，则，，．）‎ ‎【答案】（I）171．5cm（II）10人（III）‎ ‎【解析】试题分析 （I）计算平均身高用组中值×频率，即可得到结论；‎ ‎（II）先理解频率分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即每组中包含个体的个数；根据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出这50名男生身高在177．5cm以上（含177．5cm）的人数；‎ ‎（III）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在182．5cm以上的50人中的人数，确定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．‎ 试题解析 （I）由直方图可知该校高三年级男生平均身高为 ‎（II）由频率分布直方图知，后两组频率为，人数为，即这名男生身高在以上（含）的人数为人．‎ ‎（III）∵‎ ‎∴，而，‎ 所以全省前名的身高在以上（含），这人中以上（含）的有人．‎ 随机变量可取，，，于是 ‎，，‎ ‎∴．‎ 与变量间的相关关系与独立性检验为背景离散型随机变量的分布列、均值 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．线性回归方程恒过定点 ‎2．函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种非确定关系．回归分析是对具有线性相关关系的两个变量进行统计分析的常用方法．‎ ‎3．独立性检验是利用随机变量 确定在多大程度上可以认为“两个变量有关”的一种方法．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 线性回归方程恒过定点线性相关系数绝对值越大，相关性越强．相关指数越大，拟合效果越好．小概率事件发生的原因可认为某些因素产生了影响．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018江西重点中学盟校高三第一次联考】某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表 ‎ 爱好 不爱好 合计 男 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 女 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 合计 ‎30‎ ‎50‎ ‎80‎ ‎（I）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生．设这3人中爱好羽毛球运动的人数为，求的分布列和期望值；‎ ‎（II）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？若有，有多大把握？‎ 附 ‎ ‎【答案】（I） （II） 没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联．‎ ‎【解析】试题分析 （I）的所有可能取值为，随机变量服从二项分布，运用独立重复试验公式求出概率后列出分布列，运用二项分布公式求的期望；（II）根据列联表，利用公式计算临界值，同临界值表进行比较，即可得到结论．‎ 试题解析 （I）任一学生爱好羽毛球的概率为，故～ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2‎ ‎3‎ 的分布列为 ‎ ‎ ‎（II），故没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查二项分布的应用以及独立性检验解决实际问题，属于难题．独立性检验的一般步骤 （I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III） 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意 在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）‎ 例2．【2018辽宁沈阳高三教学质量监测（三）】“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式．某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图 ‎ ‎（Ⅰ）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算出具体值，给出结论即可）；‎ ‎（Ⅱ）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此2×2列联表，并据此样本分析是否有95 的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；‎ ‎（Ⅲ）若从此样本中的A城市和B城市各抽取1人，则在此2人中恰有一人认可的条件下，此人 自B城市的概率是多少？‎ 附 参考数据 ‎ ‎（参考公式 ）‎ ‎【答案】（I）城市评分的平均值小于城市评分的平均值；城市评分的方差大于城市评分的方差；（II）没有95 的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；（III）‎ ‎【解析】试题分析 （Ⅰ）观察茎叶图，根据数据的分布即可比较两城市满意度评分的平均值和方差；‎ ‎（Ⅱ）利用求出Χ2，与临界值比较，即可得出结论；‎ ‎（Ⅲ）利用条件概率公式求解即可．‎ 试题解析 ‎ ‎（Ⅰ）城市评分的平均值小于城市评分的平均值；‎ 城市评分的方差大于城市评分的方差；‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以没有95 的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；‎ ‎【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及独立性检验，属于中档题．独立性检验的一般步骤 （I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式 计算的值；（III） 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意 在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018江西南昌高三一模】某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生 情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革．经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年 的数学成绩取平均数再取整，绘制成如下茎叶图，规定不低于85分(百分制)为优秀，甲班同学成绩的中位数为74．‎ ‎ ‎ ‎（I）求的值和乙班同学成绩的众数；‎ ‎（II）完成表格，若有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”的话，那么学校将扩大教学改革面，请问学校是否要扩大改革面？说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．‎ ‎【解析】【试题分析】（I）利用中位数为可求得．有茎叶图可知乙班的众数为．（II）填写好表格后计算得，故有以上的把握认为有关．‎ ‎【试题解析】‎ ‎（Ⅰ）由甲班同学成绩的中位数为，‎ 所以，得 ‎ 由茎叶图知，乙班同学成绩的众数为 ‎（Ⅱ）‎ 依题意知（表格2分，计算4分） ‎ 有90 以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”，学校可以扩大教学改革面．‎ ‎2．【2018四川南充高三第二次（3月）高考适应性考试】在某校矩形的航天知识竞赛中，参与竞赛的文 生与理 生人数之比为1 3，且成绩分布在范围内，规定分数在80以上（含80）的同学获奖，按文理 用分层抽样的放发抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图．‎ ‎（I）填写下面的列联表，能否有超过95 的把握认为“获奖与学生的文理 有关”；‎ ‎（II）将上述调查所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为，求的分布列及数学期望．‎ 附表及公式 ，其中 ‎【答案】（I） 有超过 95 的把握认为“获奖与学生的文理 有关”（II）见解析 ‎【解析】试题分析 （I）列出表格根据公式计算出 2‎ ‎，参考表格即可得出结论．（II）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．即可得出．‎ 解析 （I）联表如下 ‎ 由表中数据可得 ，所以有超过 95 的把握认为“获奖与学生的文理 有关”．‎ 解答题（共10题）‎ ‎1．【2018江西重点中学盟校高三第一次联考】最近，“百万英雄”，“冲顶大会”等一些闯关答题类游戏风靡全国，既能答题，又能学知识，还能挣奖金．若某闯关答题一轮共有4类题型，选手从前往后逐类回答，若中途回答错误，立马淘汰只能观战；若能坚持到4类题型全部回答正确，就能分得现金并获得一枚复活币．每一轮闯关答题顺序为 ‎ ‎1．文史常识类；2．数理常识类；3．生活常识类；4．影视艺术常识类，现从全省高中生中调查了100位同学的答题情况统计如下表 ‎ ‎（Ⅰ）现用样本的数据特征估算整体的数据特征，从全省高中生挑选4位同学，记为4位同学获得奖金的总人数，求的分布列和期望．‎ ‎（Ⅱ）若王同学某轮闯关获得的复活币，系统会在下一轮游戏中自动使用，即下一轮重新进行闯关答题时，若王同学在某一类题型中回答错误，自动复活一次，视为答对该类题型．请问 仍用样本的数据特征估算王同学的数据特征，那么王同学在获得复活币的下一轮答题游戏中能够最终获得奖金的概率是多少？‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】【试题分析】(I)由表格可知，人有人通过，故概率为，相当于次独立重复试验，成功概率为，根据二项分布的知识写出分布列并求出数学期望．(II)分类有 第一次答错，后面全对；第二次答错，后面全对；第三次答错，后面全对；第四次答错．将四种情况的概率相加，即可求得能够获得奖金的概率．‎ ‎【试题解析】‎ ‎（Ⅰ）‎ 分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎（Ⅱ）．‎ ‎2．【2018山西太原高三3月模拟】某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下 ‎ 售出水量（单位 箱）‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ 收入（单位 元）‎ ‎165‎ ‎142‎ ‎148‎ ‎125‎ ‎150‎ 学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定 特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21-50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．‎ ‎（I）若与成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？‎ ‎（II）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和的分布列及数学期望；‎ 附 回归方程，其中．‎ ‎【答案】（I）206；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）先求出君子，代入公式求，再求线性回归方程自变量为9的函数值，（II）先确定随机变量取法，在利用概率乘法求对应概率，列表可得分布列，根据数学期望公式求期望．‎ 试题解析 ‎ ‎（I），经计算，所以线性回归方程为，‎ 当时，的估计值为206元；‎ ‎（II）的可能取值为0，300，500，600，800，1000；‎ ‎；；；‎ ‎；；；‎ ‎0‎ ‎300‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎800‎ ‎1000‎ 所以的数学期望．‎ ‎3．【2018湖南省（长郡中学、株洲市第二中学）、江西省（九江一中）等十四校高三第一次联考】某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越 越多，该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下 ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎14‎ ‎15 ‎ ‎17‎ ‎（Ⅰ）经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）该商店规定 若抽中“一等奖”，可领取元购物券；抽中“二等奖”可领取元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望．‎ 参考公式 ，，．‎ ‎【答案】（I）；（II）答案见解析．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（I）由题意可得，，则，，关于的线性回归方程为．‎ ‎（II）由题意可知二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元，它们所对应的概率分别为 ，，，．据此可得分布列，计算相应的数学期望为元．‎ ‎（II）二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元，它们所对应的概率分别为 ‎ ‎，，，‎ ‎，．‎ 所以，总金额的分布列如下表 ‎ ‎0‎ ‎300‎ ‎600‎ ‎900‎ ‎1200‎ 总金额的数学期望为元．‎ ‎4．【2018甘肃高三第一次诊断性考试】2017年12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能 的攻坚战．某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图．‎ ‎（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需示量 (单位 千万立方米)与年份 (单位 年)之间的关系．并且已知关于的线性回归方程是，试确定的值，并预测2018年该地区的天然气需求量；‎ ‎（Ⅱ）政府部门为节约能 出台了《购置新能 汽车补贴方案》，该方案对新能 汽车的续航里程做出了严格规定，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类，A类 每车补贴1万元，B类 每车补贴2．5万元，C类 每车补贴3．4万元．某出租车公司对该公司60辆新能 汽车的补贴情况进行了统计，结果如下表 ‎ 类型 类 类 类 车辆数目 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能 汽车的补贴情况，在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查．若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“”，求的分布列及期望．学= ‎ ‎【答案】（I）；（II）详见解析．‎ ‎【解析】试题分析 （Ⅰ）由图表数据计算代入回归方程求解，将代入方程可得解；‎ ‎（Ⅱ）根据分层抽样可知类，类，类抽取人数分别为1辆，2辆，3辆，当类抽1辆，类抽1辆时，，当类抽1辆，类抽1辆时，，当类抽1辆，类抽1辆时，，当类抽2辆时，，当类抽2辆时，，依次计算概率求解分布列，进而可得期望．‎ 试题解析 ‎ ‎（Ⅰ）如折线图数据可知 ‎．‎ ‎．‎ 代入线性回归方程可得．‎ 将代入方程可得千万立方米．‎ ‎（Ⅱ）根据分层抽样可知类，类，类抽取人数分别为1辆，2辆，3辆 则当类抽1辆，类抽1辆时，，此时；‎ 当类抽1辆，类抽1辆时，，此时；‎ 当类抽1辆，类抽1辆时，，此时；‎ 当类抽2辆时，，此时；‎ 当类抽2辆时，，此时．‎ 所以的分布列为 ‎ ‎3．5‎ ‎4．4‎ ‎5．9‎ ‎5‎ ‎6．8‎ ‎∴（万元）．‎ ‎5．【2018海南高三阶段性测试（二模）】某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如下表 ‎ 乘坐站数 票价（元）‎ 现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站．甲、乙乘坐不超过站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过站的概率分别为，．‎ ‎（I）求甲、乙两人付费相同的概率；‎ ‎（II）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（I） （II） ‎ ‎【解析】试题分析 （I） 由题意知甲乘坐超过站且不超过站的概率为，乙乘坐超过站且不超过站的概率为 ‎，利用乘法概率公式及互斥原理得到甲、乙两人付费相同的概率；‎ ‎（II） 由题意可知的所有可能取值为 ，，，，．求得相应的概率值，即可得到的分布列和数学期望．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）由题意知甲乘坐超过站且不超过站的概率为，乙乘坐超过站且不超过站的概率为，设“甲、乙两人付费相同”为事件，则 ，‎ 所以甲、乙两人付费相同的概率是．‎ ‎（II）由题意可知的所有可能取值为 ，，，，．‎ ‎， ， ，‎ ‎ ，．因此的分布列如下 ‎ 所以的数学期望 ．‎ ‎6．【2018吉林长春高三质量监测（二）】某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位 克）中，经统计得频率分布直方图如图所示．‎ ‎（I）现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取个，再从这个中随机抽取个，记随机变量表示质量在内的芒果个数，求 的分布列及数学期望．‎ ‎（II）以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商 收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有个，经销商提出如下两种收购方案 ‎ A 所以芒果以元/千克收购；‎ B 对质量低于克的芒果以元/个收购，高于或等于克的以元/个收购．‎ 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）见解析．‎ ‎【解析】试题分析 （I）个芒果中，质量在和内的分别有个和个．‎ 则的可能取值为，分别求出各随机变量对应的概率，从而可得的分布列，利用期望公式可求得的数学期望；（II）分别求出两种方案获利的数学期望（即平均值），比较两个平均值的大小，平均值较大的方案获利更大．‎ 所以的分布列为 的数学期望．‎ ‎（II）方案A ‎ 方案B ‎ 低于250克 元 高于或等于250克元 总计元 由，故B方案获利更多，应选B方案．‎ ‎7．【2018福建福州市高三3月质量检测】从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为)，由测量结果得到如下频率分布直方图 ‎ 公司规定 当时，产品为正品；当时，产品为次品，公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元，记的分布列和数学期望；‎ 由频率分布直方图可以认为，服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)‎ ‎①利用该正态分布，求；‎ ‎②某客户从该公司购买了500件这种产品，记表示这500件产品中该项质量指标值位于区间的产品件数，利用①的结果，求．‎ 附 ，‎ 若，则，‎ ‎．‎ ‎【答案】（I）‎ 的分布列为 ‎ ‎90‎ ‎．‎ ‎（II）①．②．‎ ‎【解析】试题分析 （I）由频率分布直方图估计概率得到的分布列和数学期望；（II）（i）由，从而求出而，即可得出结论；‎ ‎（ii）由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间的概率为．‎ 依题意知，即可求出．‎ ‎（II）由频率分布直方图，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 ‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎①因为，从而．‎ ‎②由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间的概率为．‎ 依题意知，所以．‎ ‎8．【2018江苏南京师大附中、天一、海门、淮阴四校高三联考数学调研】如图，一只蚂蚁从单位正方体的顶点出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过步回到点的概率．‎ ‎（I）分别写出的值；‎ ‎（II）设顶点出发经过步到达点的概率为，求的值；‎ ‎（III）求．‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（I）由题意得经过1步不可能从点A回到点A，故；经过2步从点A回到点A的方法有3种，即A-B-A；A-D-A；，且选择每一种走法的概率都是，由此可得所求概率．（II）分为奇数和偶数两种情况讨论可得结论．（III）结合（II）中的结论，分四种情况可得，又，故可得，于是得到 ‎，从而可得结论．‎ 试题解析 ”‎ ‎（I）．‎ ‎（II）由于顶点出发经过步到达点的概率为，‎ 则由出发经过步到达点 的概率也是，并且由出发经过步不可能到这四个点，‎ 所以当为奇数时，所以；当为偶数时，．‎ ‎（III）同理，由分别经步到点的概率都是，由出发经过再回到 的路径分为以下四类 ‎ ‎①由经历步到，再经步回到，概率为；‎ ‎②由经历步到，再经步回到，概率为；‎ ‎③由经历步到，再经步回到，概率为；‎ ‎④由经历步到，再经步回到，概率为；‎ 所以，又，所以，‎ 即，所以，故．‎ 综上所述，．‎ ‎9．【2018江西重点中学协作体高三下学期第一次联考】交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表 ‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10 ‎ 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20 ‎ 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30 ‎ 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 ‎0 ‎ 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10 ‎ 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30 ‎ 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格 ‎ 类型 数量 ‎20‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ 以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题 ‎ ‎（I）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，．某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）学 ‎ ‎（II）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元 ‎ ‎①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；‎ ‎②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）见解析．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（I）根据题意得到X的所有取值，然后利用统计数据求得每个X值的概率，从而可得分布列和期望．（II）①由题意得到任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，然后根据独立重复事件的概率可得所求；②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，根据题意求得的可能取值和对应的概率后，可得分分布列和期望，最后可得购进100辆车获得利润的期望值．‎ 试题解析 （I）由题意可知的可能取值为．‎ 由统计数据可知 ，‎ ‎．‎ 所以的分布列为 ‎ X ‎0．9a ‎0．8a ‎0．7a a ‎1．1a ‎1．3a P ‎∴．‎ 所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元．‎ ‎10．【2018河北衡水金卷高三高考模拟一】“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2018年春节前夕， 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．‎ ‎（I）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（II）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；‎ ‎②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．‎ 附 ①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；‎ ‎②若，则，．‎ ‎【答案】（I）26．5；（II）落在内的概率是，分布列见解析．‎ ‎【解析】试题分析 （I）直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（II）①∵服从正态分布，且，，由可得落在内的概率是，②的可能取值为，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望．‎ 试题解析 （I）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为 ‎．‎ ‎（II）①∵服从正态分布，且，，‎ ‎∴，‎ ‎∴落在内的概率是．‎ ‎②根据题意得，；；；；．‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴．‎