【数学】2021届一轮复习北师大版(理)第1章第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”学案

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【数学】2021届一轮复习北师大版(理)第1章第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”学案

第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”‎ ‎[最新考纲] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ ‎1.全称量词和存在量词 ‎(1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.‎ ‎(2)常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.‎ ‎2.全称命题与特称命题 ‎(1)含有全称量词的命题叫全称命题.‎ ‎(2)含有存在量词的命题叫特称命题. ‎ ‎3.命题的否定 ‎(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.‎ ‎(2)p或q的否定为:綈p且綈q;p且q的否定为:綈p或綈q.‎ ‎4.逻辑联结词 ‎(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.‎ ‎(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 ‎(1)p或q:p,q中有一个为真,则p或q为真,即有真即真.‎ ‎(2)p且q:p,q中有一个为假,则p且q为假,即有假即假.‎ ‎(3)綈p:与p的真假相反,即一真一假,真假相反.‎ ‎2.含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.‎ ‎3.命题的否定和否命题的区别:命题“若p,则q”的否定是“若p,则綈q”,否命题是“若綈p,则綈q”.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)命题“3≥‎2”‎是真命题.(  )‎ ‎(2)若命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题.(  )‎ ‎(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.(  )‎ ‎(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题.(  )‎ ‎[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√‎ 二、教材改编 ‎1.命题“任意x∈R,x2+x≥‎0”‎的否定是(  )‎ A.存在x0∈R,x+x0≤0‎ B.存在x0∈R,x+x0<0‎ C.任意x∈R,x2+x≤0‎ D.任意x∈R,x2+x<0‎ B [由全称命题的否定是特称命题知选项B正确.故选B.]‎ ‎2.下列命题中的假命题是(  )‎ A.存在x0∈R,lg x0=1‎ B.存在x0∈R,sin x0=0‎ C.任意x∈R,x3>0‎ D.任意x∈R,2x>0‎ C [当x=10时,lg 10=1,则A为真命题;当x=0时,sin 0=0,则B为真命题;当x≤0时,x3≤0,则C为假命题;由指数函数的性质知,任意x∈R,2x>0,则D为真命题.故选C.]‎ ‎3.已知p:2是偶数,q:2是质数,则命题綈p,綈q,p或q,p 且q中真命题的个数为(  )‎ A.1   B.2‎ C.3 D.4‎ B [p和q显然都是真命题,所以綈p,綈q都是假命题,p或q,‎ p且q都是真命题.]‎ ‎4.命题“实数的平方都是正数”的否定是________.‎ 存在一个实数的平方不是正数 [全称命题的否定是特称命题,故应填:存在一个实数的平方不是正数.]‎ 考点1 全称命题、特称命题 ‎ (1)全称命题与特称命题的否定 ‎①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.‎ ‎②否定结论:对原命题的结论进行否定.‎ ‎(2)全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 ‎ 全称命题、特称命题的否定 ‎ (1)(2019·西安模拟)命题“任意x>0,>‎0”‎的否定是(  )‎ A.存在x<0,≤0   B.存在x>0,0≤x≤1‎ C.任意x>0,≤0 D.任意x<0,0≤x≤1‎ ‎(2)已知命题p:存在m∈R,f(x)=2x-mx是增函数,则綈p为 ‎(  )‎ A.存在m∈R,f(x)=2x-mx是减函数 B.任意m∈R,f(x)=2x-mx是减函数 C.存在m∈R,f(x)=2x-mx不是增函数 D.任意m∈R,f(x)=2x-mx不是增函数 ‎(1)B (2)D [(1)因为>0,‎ 所以x<0或x>1,‎ 所以>0的否定是0≤x≤1,‎ 所以命题的否定是存在x>0,0≤x≤1,故选B.‎ ‎(2)由特称命题的否定可得綈p为“任意m∈R,f(x)=2x-mx不 是增函数”.]‎ ‎ 全(特)称命题的否定方法:任意x∈M,p(x)存在x0∈M,綈p(x0),简记:改量词,否结论.‎ ‎ 全称命题、特称命题的真假判断 ‎ (1)下列命题中的假命题是(  )‎ A.任意x∈R,x2≥0‎ B.任意x∈R,2x-1>0‎ C.存在x0∈R,lg x0<1‎ D.存在x0∈R,sin x0+cos x0=2‎ ‎(2)下列四个命题:‎ p1:存在x0∈(0,+∞),x0< x0;‎ p2:存在x0∈(0,1),logx0>logx0;‎ p3:任意x∈(0,+∞),x>logx;‎ p4:任意x∈,x<logx.‎ 其中的真命题是(  )‎ A.p1,p3   B.p1,p4  ‎ C.p2,p3   D.p2,p4‎ ‎(1)D (2)D [(1)A显然正确;由指数函数的性质知2x-1>0恒成立,所以B正确;当0<x<10时,lg x<1,所以C正确;因为sin x+cos x=sin,所以-≤sin x+cos x≤,所以D错误.‎ ‎(2)对于p1,当x0∈(0,+∞)时,总有x0>x0成立,故p1‎ 是假命题;对于p2,当x0=时,有1=log=log>log成立,故p2是真命题;对于p3,结合指数函数y=x与对数函数y=logx在(0,+∞)上的图像,可以判断p3是假命题;对于p4,结合指数函数y=x与对数函数y=logx在上的图像可以判断p4是真命题.]‎ ‎ 因为命题p与綈p的真假性相反,因此不管是全称命 题,还是特称命题,当其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.‎ ‎ 1.命题“任意n∈N+,f(n)∈N+且f(n)≤n”的否定形式是(  )‎ A.任意n∈N+,f(n)∉N+且f(n)>n B.任意n∈N+,f(n)∉N+或f(n)>n C.存在x0∈N+,f(n0)∉N+且f(n0)>n0‎ D.存在n0∈N+,f(n0)∉N+或f(n0)>n0‎ D [“f(n)∈N+且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N+或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,故选D.]‎ ‎2.已知命题p:存在x0∈0,,使得cos x0≤x0,则綈p为________,是________命题(填“真”或“假”).‎ 任意x∈0,,都有cos x>x 假 [綈p:任意x∈0,,都有cos x>x,此命题是假命题.]‎ 考点2 含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎ 判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤 ‎(1)判断复合命题的结构.‎ ‎(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假.‎ ‎(3)依据“‘或’:一真即真;‘且’:一假即假;‘非’:真假相反”作出判断即可.‎ ‎ [一题多解](2019·全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p:存在(x,y)∈D,2x+y≥9;命题q:任意(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题 ‎①p或q ②綈p或q ③p且綈q ④綈p且綈 q 这四个命题中,所有真命题的编号是(  )‎ A.①③ B.①②‎ C.②③ D.③④‎ A [法一:画出可行域如图中阴影部分所示.目标函数z=2x+y是一条平行移动的直线,且z的几何意义是直线z=2x+y的纵截距.显然,直线过点A(2,4)时,zmin=2×2+4=8,即z=2x+y≥8.∴2x+y∈[8,+∞).由此得命题p:存在(x,y)∈D,2x+y≥9正确;‎ 命题q:任意(x,y)∈D,2x+y≤12不正确.∴①③真,②④假.故选A.‎ 法二:取x=4,y=5,满足不等式组且满足2x+y≥9,不满足2x+y≤12,故p真,q假.‎ ‎∴①③真,②④假.故选A.]‎ ‎ 含逻辑联结词命题真假的等价关系 ‎(1)p或q真⇔p,q至少一个真⇔(綈p)且(綈q)假.‎ ‎(2)p或q假⇔p,q均假⇔(綈p)且(綈q)真.‎ ‎(3)p且q真⇔p,q均真⇔(綈p)或(綈q)假.‎ ‎(4)p且q假⇔p,q至少一个假⇔(綈p)或(綈q)真.‎ ‎(5)綈p真⇔p假;綈p假⇔p真.‎ ‎ 1.(2019·石家庄模拟)命题p:若sin x>sin y,则x>y;命题q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是(  )‎ A.p或q B.p且q C.q D.綈p B [取x=,y=,可知命题p不正确;由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q正确,故綈p为真命题,p或q是真命题,p且q是假命题.]‎ ‎2.给定下列命题:‎ p1:函数y=ax+x(a>0,且a≠1)在R上为增函数;‎ p2:存在a,b∈R,a2-ab+b2<0;‎ p3:cos α=cos β成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β(k∈Z).‎ 则下列命题中的真命题为(  )‎ A.p1或p2 B.p2且p3‎ C.p1或(綈p3) D.(綈p2)且p3‎ D [对于p1:令y=f(x),当a=时,f(0)=0+0=1,f(-1)=-1-1=1,所以p1为假命题;对于p2:a2-ab+b2=2+b2≥0,所以p2为假命题;对于p3:由cos α=cos β,可得α=2kπ±β(k∈Z),所以p3是真命题,所以(綈p2)且p3为真命题.]‎ 考点3 由命题的真假确定参数的取值范围 ‎ 根据命题真假求参数的方法步骤 ‎(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况).‎ ‎(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围.‎ ‎(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.‎ ‎ 已知p:存在x0∈R,mx+1≤0,q:任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假命题,求实数m的取值范围.‎ ‎[解] 依题意知p,q均为假命题,当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是真命题时,则有Δ=m2-4<0,-2<m<2.因此由p,q均为假命题得即m≥2.‎ 所以实数m的取值范围为[2,+∞).‎ ‎[母题探究]‎ ‎1.(变问法)在本例条件下,若p且q为真,求实数m的取值范围.‎ ‎[解] 依题意知p,q均为真命题,当p是真命题时,有m<0;‎ 当q是真命题时,有-2<m<2,‎ 由可得-2<m<0.‎ 所以实数m的取值范围为(-2,0).‎ ‎2.(变问法)在本例条件下,若p且q为假,p或q为真,求实数m的取值范围.‎ ‎[解] 若p且q为假,p或q为真,则p,q一真一假.‎ 当p真q假时所以m≤-2;‎ 当p假q真时所以0≤m<2.‎ 所以m的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2).‎ ‎ 根据命题的真假求参数取值范围的策略 ‎(1)全称命题可转化为恒成立问题,特称命题可转化为存在性问题.‎ ‎(2)含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,转化为函数的最值解决.‎ ‎ 1.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=x-m,若对任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. A [当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,‎ 当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)=-m,‎ 由f(x)min≥g(x)min,得0≥-m,‎ 所以m≥,故选A.]‎ ‎2.已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若p或q是真命题,p且q是假命题,则实数a的取值范围是________.‎ ‎(-∞,-12)∪(-4,4) [命题p等价于Δ=a2-16≥0,即a≤-4或a≥4;命题q等价于-≤3,即a≥-12.由p或q是真命题,p且q是假命题知,命题p和q一真一假.若p真q假,则a<-12;若p假q真,‎ 则-4<a<4.故a的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4).]‎
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