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文档介绍
【数学】2019届高考一轮复习北师大版理3-3导数与函数的极值、最值学案
第3讲 导数与函数的极值、最值 1.函数的极值 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值. [提醒] (1)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点; (2)在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值; (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 2.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 3.极值与最值的区别与联系 (1)区别 函数的极值 函数的最值 函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 使函数取得最大值,最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点 函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得出的 函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得出的 函数的极值可能不止一个,也可能一个没有 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个 函数的极大值不一定大于函数的极小值 函数的最大值一定大于函数的最小值 (2)联系 ①当连续函数在开区间内的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点; ②极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是极值. 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.( ) (2)导数为零的点不一定是极值点.( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大.( ) (4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (教材习题改编)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:选A.导函数f′(x)的图象与x轴的交点中,左侧图象在x轴下方,右侧图象在x轴上方的只有一个. 所以f(x)在区间(a,b)内有一个极小值点. 函数y=ln x-x在x∈(0,e]上的最大值为( ) A.e B.1 C.-1 D.-e 解析:选C.函数y=ln x-x的定义域为(0,+∞), 又y′=-1=, 令y′=0得x=1, 当x∈(0,1)时,y′>0,函数单调递增; 当x∈(1,e)时,y′<0,函数单调递减. 当x=1时,函数取得最大值-1. 已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=________. 解析:由题意得f′(x)=3x2-12,由f′(x)=0得x=±2,当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,所以a=2. 答案:2 (教材习题改编)函数y=x+2cos x在区间上的最大值是________. 解析:y′=1-2sin x,令y′=0, 又因为x∈,解得x=, 则当x∈时,y′>0;当x∈时,y′<0,故函数y=x+2cos x在x=时取得最大值+. 答案:+ 函数的极值问题(高频考点) 函数的极值是每年高考的热点,一般为中高档题,三种题型都有.高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度: (1)由图判断函数极值的情况; (2)已知函数解析式求极值; (3)已知函数极值求参数值或范围. [典例引领] 角度一 由图判断函数极值的情况 (2017·高考浙江卷)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( ) 【解析】 原函数先减再增,再减再增,且x=0位于增区间内,故选D. 【答案】 D 角度二 已知函数解析式求极值 (2018·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)=ln x-ax2+x,a∈R. (1)当a=0时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (2)令g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的极值. 【解】 (1)当a=0时,f(x)=ln x+x,则f(1)=1,所以切点为(1,1),又f′(x)=+1,所以切线斜率k=f′(1)=2,故切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. (2)g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-ax2+(1-a)x+1, 则g′(x)=-ax+(1-a)=, 当a≤0时,因为x>0,所以g′(x)>0. 所以g(x)在(0,+∞)上是增函数,函数g(x)无极值点. 当a>0时,g′(x)= =-, 令g′(x)=0得x=. 所以当x∈(0,)时,g′(x)>0;当x∈(,+∞)时,g′(x)<0. 因为g(x)在(0,)上是增函数,在(,+∞)上是减函数. 所以x=时,g(x)有极大值g()=ln-×+(1-a)·+1=-ln a. 综上,当a≤0时,函数g(x)无极值; 当a>0时,函数g(x)有极大值-ln a,无极小值. 角度三 已知函数极值求参数值或范围 (2016·高考山东卷)设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a∈R. (1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间; (2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围. 【解】 (1)由f′(x)=ln x-2ax+2a, 可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞). 则g′(x)=-2a=. 当a≤0时, x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增; 当a>0时, x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增, x∈时,函数g(x)单调递减. 所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞); 当a>0时,g(x)的单调增区间为,单调减区间为. (2)由(1)知,f′(1)=0. ①当a≤0时,f′(x)单调递增, 所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意. ②当01,由(1)知f′(x)在内单调递增, 可得当x∈(0,1)时,f′(x)<0,x∈时,f′(x)>0. 所以f(x)在(0,1)内单调递减,在内单调递增, 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意. ③当a=时,=1,f′(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减, 所以当x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意. ④当a>时,0<<1,当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意. 综上可知,实数a的取值范围为a>. (1)利用导数研究函数极值问题的一般流程 (2)已知函数极值点或极值求参数的两个要领 ①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. ②验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. [提醒] 若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值. [通关练习] 1.(2017·高考全国卷Ⅱ)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1 解析:选A.因为f(x)=(x2+ax-1)ex-1,所以f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.因为x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,所以-2是x2+(a+2)x+a-1=0的根,所以a=-1,f′(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1.令f′(x)>0,解得x<-2或x>1,令f′(x)<0,解得-2查看更多
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