高考数学一轮复习讲义—38导数、定积分
第38讲 导数、定积分
一．【课标要求】
1．导数及其应用
（1）导数概念及其几何意义
① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
②通过函数图像直观地理解导数的几何意义
（2）导数的运算
① 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数；
② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数；
③ 会使用导数公式表
（3）导数在研究函数中的应用
① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；
② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（4）生活中的优化问题举例
例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用
（5）定积分与微积分基本定理
① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；
② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义
（6）数学文化
收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。
二．【命题走向】
导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2010年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：
（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；
（2）2010年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。
定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，因而07年的高考预测会在这方面考察，预测2010年高考呈现以下几个特点：
（1）新课标第1年考察，难度不会很大，注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题；
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（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型
三．【要点精讲】
1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。
如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。
即f（x）==。
说明：
（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数
（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：
（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；
（2）求平均变化率=；
（3）取极限，得导数f’(x)=。
2．导数的几何意义
函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）） 处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。
3．常见函数的导出公式．
（１）（C为常数） （２）
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（３） （４）
4．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）。
形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|= y＇| ·u＇|
5．导数的应用
（1）一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；
（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
（3）一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ在(a，b)内的极值； ②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)； ③将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值
6．定积分
（1）概念
设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0
2f（1）
（2）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
（3）2009山东卷文)（本小题满分12分）
已知函数,其中
（1）当满足什么条件时,取得极值?
（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.
解: (1)由已知得,令,得,
要取得极值,方程必须有解,
所以△,即, 此时方程的根为
,,
所以
当时,
x
(-∞,x1)
x 1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f’(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
当时,
x
(-∞,x2)
x 2
(x2,x1)
x1
(x1,+∞)
f’(x)
－
0
＋
0
－
f (x)
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
综上,当满足时, 取得极值.
(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.
即恒成立, 所以
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设,,
令得或(舍去),
当时,,当时,单调增函数;
当时,单调减函数,
所以当时,取得最大,最大值为.
所以
当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以
综上,当时, ; 当时,
【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.
例8．（1）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .
解析 解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点
解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填
或是。
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解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得
（2）函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为
A. B. 1 C. 2 D.
根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积：
，故选A.
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力
题型5：导数综合题
例9．1、已知二次函数，若不等式的解集为C.
（1）求集合C；
（2）若方程在C上有解，求实数的取值范围；
（3）记在C上的值域为A，若的值域为B，且，求实数的取值范围．
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[解]（1） ----------------------------------------------------------1分
当时， ------------------------------------------------2分
当时， -------------------------------3分
所以集合 --------------------------------------------------------4分
（2） ，令
则方程为 ----------------------------------5分
当时，， 在上有解，
则 ---------------------------------------7分
当时，， 在上有解，
则 ---------------------------------------------9分
所以，当或时，方程在C上有解，且有唯一解。----------------10分
（3） -------------------------------------------------11分
①当时，函数在单调递增，所以函数的值域
， ∵ ， ∴，解得，即 ------13分
②当时，任取，
10 若，∵，，，∴
∴，函数在区间单调递减，
∴：又，所以。-------------------------------------15分
20 若，
若则须，∵，∴，.
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于是当时，,；---------------16分
当时，,
因此函数在单调递增；在单调递减. 在达到最小值
要使，则，
因为，所以使得的无解。--------------------------------------18分
综上所述：的取值范围是：
点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。
例10．3、已知函数上为增函数.
（1）求k的取值范围；
（2）若函数的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.
解：（1）由题意……………………1分
因为上为增函数
所以上恒成立，………………3分
即
所以……………………5分
当k=1时，恒大于0，
故上单增，符合题意.
所以k的取值范围为k≤1.……………………6分
（2）设
令………………8分
由（1）知k≤1，
①当k=1时，在R上递增，显然不合题意………9分
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②当k<1时，的变化情况如下表：
x
k
(k,1)
1
(1,+)
+
0
－
0
+
↗
极大
↘
极小
↗
……………………11分
由于图象有三个不同的交点，
即方程
也即有三个不同的实根
故需即
所以解得
综上，所求k的范围为.……………………14分
点评：该题是数列知识和导数结合到一块。
题型6：导数实际应用题
例11．（江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
解析：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）。
于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：
。
帐篷的体积为（单位：m3）：
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求导数，得；
令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。
当10。
当x=0时，t=0；当x=a时，，
又ds=vdt，故阻力所作的功为：
（2）依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以(1)
又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组
得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)2＋16a=0．
于是代入（1）式得：
，；
令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且。
点评：应用好定积分处理平面区域内的面积
五．【思维总结】
1．本讲内容在高考中以填空题和解答题为主
主要考查：
（1）函数的极限；
（2）导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用；
（3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积。
2．考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标。
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