【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第九章第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案

【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第九章第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案

知识点 考纲下载 直线的方程 ‎ 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．‎ ‎ 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．‎ ‎ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.‎ 两直线的位置关系 ‎ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．‎ ‎ 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．‎ ‎ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.‎ 圆的方程 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.‎ 直线、圆的位置关系 ‎ 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．‎ ‎ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．‎ ‎ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.‎ 椭　圆 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.‎ 双曲线 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.‎ 抛物线 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.‎ 圆锥曲线的 简单应用 ‎ 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．‎ ‎ 理解数形结合的思想，了解圆锥曲线的简单应用.‎ 第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ‎1．直线的倾斜角 ‎(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．‎ ‎(2)倾斜角的范围为[0，π)．‎ ‎2．直线的斜率 ‎(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率．‎ ‎(2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.‎ ‎3．直线方程 名 称 几何条件 方 程 局限性 点 斜 式 过点(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0)‎ 不含垂直于x轴的直线 斜 截 式 斜率为k，纵截距为b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两 点 式 过两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)‎ ＝ 不包括垂直于坐标轴的直线 续　表 名 称 几何条件 方 程 局限性 截 距 式 在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)‎ ＋＝1‎ 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 一 般 式 Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　)‎ ‎(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)‎ ‎(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)‎ ‎(4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)‎ ‎(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　)‎ ‎(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√‎ ‎ (教材习题改编)经过两点A(m，3)，B(1，2m)的直线的倾斜角为135°，则m的值为(　　)‎ A．－2　　　 　　　　　 B.2‎ C．4 D．－4‎ 解析：选B.由题意得＝tan 135°＝－1，‎ 即2m－3＝m－1，所以m＝2，故选B.‎ ‎ (教材习题改编)经过点P0(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为(　　)‎ A．x＋y＋1＝0 B.x＋y－1＝0‎ C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0‎ 解析：选D.由点斜式得直线方程为y－(－3)＝tan 45°·(x－2)＝x－2，即x－y－5＝0，故选D.‎ ‎ (教材习题改编)倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)‎ A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0‎ C.x＋y－＝0 D．x＋y＋＝0‎ 解析：选D.因为倾斜角为120°，所以斜率k＝－.‎ 又因为直线过点(－1，0)，‎ 所以直线方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.‎ ‎ 如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)‎ A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C.由题意知直线的斜率k＝－＜0，直线在y轴上的截距b＝－＞0，故选C.‎ ‎ (教材习题改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________．‎ 解析：当纵、横截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0.‎ 答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0‎ ‎　　　　　　直线的倾斜角与斜率[学生用书P144]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A.　　　　　　　 B.∪ C. D．∪ ‎(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．‎ ‎【解析】　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B.‎ ‎(2)如图，因为kAP＝＝1，‎ kBP＝＝－，所以直线l的斜率k∈∪.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)∪ ‎ 1.若将本例(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．‎ 解：因为P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，所以kAP＝＝，kBP＝＝.‎ 如图可知，直线l斜率的取值范围为.‎ ‎ 2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．‎ 解：如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．‎ ‎(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤 ‎①求出斜率k＝tan α的取值范围．‎ ‎②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．‎ ‎(2)斜率的求法 ‎①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．‎ ‎②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．‎ ‎[注意]　直线倾斜角的范围是，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分，与三种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当倾斜角α∈时，斜率k∈；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈.‎ ‎　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围是(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C. D． 解析：选B.直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.由于α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.‎ ‎2．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．‎ 解析：因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.‎ 由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.‎ 答案：4‎ ‎　　　　　　求直线的方程[学生用书P145]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 根据所给条件求直线的方程：‎ ‎(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；‎ ‎(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；‎ ‎(3)直线过点(5，10)，且与原点的距离为5.‎ ‎【解】　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．‎ 设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α＜π)，‎ 从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.‎ 故所求直线方程为y＝±(x＋4)，‎ 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.‎ ‎(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋＝1，‎ 又直线过点(－3，4)，‎ 从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.‎ 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.‎ ‎(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；‎ 当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.‎ 由点线距离公式，得＝5，解得k＝.‎ 故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.‎ 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.‎ 求直线方程的2个注意点 ‎(1)在求直线方程时，应先选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．‎ ‎(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎　求适合下列条件的直线方程：‎ ‎(1)经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；‎ ‎(2)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．‎ 解：(1)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－，‎ 所以直线方程为x＋2y＋1＝0；‎ 当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，‎ 则－5k＝2，解得k＝－，‎ 所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.‎ 故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.‎ ‎(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.‎ 又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．‎ 所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.‎ ‎　　　　　　直线方程的综合应用[学生用书P145]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 过点P(4，1)作直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点．‎ ‎(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；‎ ‎(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．‎ ‎【解】　设直线l：＋＝1(a>0，b>0)，‎ 因为直线l经过点P(4，1)，‎ 所以＋＝1.‎ ‎(1)＋＝1≥2＝，‎ 所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，‎ 所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.‎ ‎(2)因为＋＝1，a>0，b>0，‎ 所以|OA|＋|OB|＝a＋b ‎＝(a＋b)· ‎＝5＋＋≥9，‎ 当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0.‎ 直线方程的应用问题常见的类型及解法 ‎(1)与函数相结合命题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x、y的关系，将问题转化成关于x的某函数，借助函数性质来解决．‎ ‎(2)与方程、不等式相结合命题：一般是利用方程、不等式等知识来解决．　 ‎ ‎[通关练习]‎ 已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．‎ 解：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，当a＝时，面积最小．‎ ‎ 直线的倾斜角和斜率的关系 ‎(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．‎ ‎(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：‎ α ‎0°‎ ‎0°＜α＜90°‎ ‎90°‎ ‎90°＜α＜180°‎ k ‎0‎ k＞0‎ 不存在 k＜0‎ ‎ 直线方程形式的选择 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直 的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．‎ ‎ 解决直线方程应关注三点 ‎(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．‎ ‎(2)根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．‎ ‎(3)截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点．‎ ‎[学生用书P309(单独成册)]‎ ‎1．已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为(　　)‎ A．4x－3y－3＝0　　　　　 B.3x－4y－3＝0‎ C．3x－4y－4＝0 D．4x－3y－4＝0‎ 解析：选D.由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝.‎ 所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.‎ ‎2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　)‎ A．ab>0，bc<0 B.ab>0，bc>0‎ C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0‎ 解析：选A.由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.‎ ‎3．两直线－＝a与－＝a(其中a为不为零的常数)的图象可能是(　　)‎ 解析：选B.直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．‎ ‎4．已知直线x＋a2y－a＝0(a>0，a是常数)，当此直线在x，y轴上的截距之和最小时，a的值是(　　)‎ A．1 B.2‎ C. D．0‎ 解析：选A.直线方程可化为＋＝1，因为a>0，‎ 所以截距之和t＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1时取等号．‎ ‎5．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)‎ A．[－2，2] ‎ B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)‎ C．[－2，0)∪(0，2] ‎ D．(－∞，＋∞)‎ 解析：选C.令x＝0，得y＝，‎ 令y＝0，得x＝－b，‎ 所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．‎ ‎6．直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为________．‎ 解析：直线l平分平行四边形ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3，2)，则直线l：y＝x.‎ 答案：y＝x ‎7．过点M(－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．‎ 解析：(1)当直线过原点时，直线方程为y＝－x；‎ ‎(2)当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，‎ 即x－y＝a.代入点(－3，5)，得a＝－8.‎ 即直线方程为x－y＋8＝0.‎ 答案：y＝－x或x－y＋8＝0‎ ‎8．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．‎ 解析：直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，‎ 由 解得x＝2，y＝－2，‎ 所以直线l恒过定点(2，－2)．‎ 答案：(2，－2)‎ ‎9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：‎ ‎(1)过定点A(－3，4)；‎ ‎(2)斜率为.‎ 解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)×＝±6，解得k1＝－或k2＝－.‎ 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.‎ ‎(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，‎ 由已知，得|－6b·b|＝6，所以b＝±1.‎ 所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.‎ ‎10.‎ 如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．‎ 解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，‎ kOB＝tan(180°－30°)＝－，‎ 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.‎ 设A(m，m)，B(－n，n)，‎ 所以AB的中点C，‎ 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得 解得m＝，所以A(，)．‎ 又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，‎ 所以lAB：y＝(x－1)，‎ 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.‎ ‎1．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于(　　)‎ A．2 B.3‎ C．4 D．5‎ 解析：选C.将(1，1)代入直线＋＝1，得＋＝1，a＞0，b＞0，故a＋b＝(a＋b)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b时取到，故选C.‎ ‎2．已知点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(　　)‎ A．8 B.2 C. D．16‎ 解析：选A.因为点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，所以y＝4－x，所以x2＋y2＝x2＋(4－x)2＝2(x－2)2＋8，当x＝2时，x2＋y2取得最小值8.‎ ‎3．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)‎ A. B.－ C．－ D． 解析：选B.依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.‎ ‎4．已知直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是____________．‎ 解析：设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3.‎ 联立得x2＋x＋6＝0.‎ 要使直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则Δ＝－24≥0，即m2≥.所以实数m的取值范围是∪.‎ 答案：∪ ‎5．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．‎ 解：由l的方程，得A，B(0，1＋2k)．‎ 依题意得 解得k＞0.‎ 因为S＝·|OA|·|OB|‎ ‎＝··|1＋2k|‎ ‎＝·＝ ‎≥×(2×2＋4)＝4，‎ ‎“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，‎ 即k＝，‎ 所以Smin＝4，‎ 此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎ ‎6．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．‎ ‎(1)证明：直线l过定点：‎ ‎(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；‎ 解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)．‎ ‎(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是.‎