高考数学复习 17-18版 第9章 第45课 圆的方程

高考数学复习 17-18版 第9章 第45课 圆的方程

第45课 圆的方程 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 圆的标准方程与一般方程 ‎√‎ ‎1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)‎ 标准方程 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)‎ 圆心(a，b)，半径r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ ‎(D2＋E2－‎4F＞0)‎ 圆心，‎ 半径 ‎2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：‎ ‎(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.‎ ‎(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.‎ ‎(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)．‎ ‎(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)‎ ‎(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　)‎ ‎(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)‎ ‎(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)‎ ‎[解析]　由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确．‎ ‎(2)中，当t≠0时，表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆，不正确．‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋‎2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．‎ ‎－2＜a＜　[由题意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，‎ 解得－2＜a＜.]‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅱ改编)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝________.‎ ‎－　[圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－.]‎ ‎4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．‎ x2＋(y－1)2＝1　[根据题意，圆C的圆心为(0,1)，半径为1，则标准方程为x2＋(y－1)2＝1.]‎ ‎5．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则MN＝________.‎ ‎4　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ 则解得 ‎∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.‎ 令x＝0得y＝－2＋2或y＝－2－2.‎ ‎∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)．‎ ‎∴MN＝4.]‎ 求圆的方程 ‎　(1)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．‎ ‎(2)(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．‎ ‎(1)　(2)(x－2)2＋y2＝9　[(1)法一：在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得AB＝AC＝BC＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以AE＝AD＝，从而OE＝＝＝.‎ 法二：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ 则解得 所以△ABC外接圆的圆心为.‎ 因此圆心到原点的距离d＝＝.‎ ‎(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，‎ 所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，‎ 解得a＝2，‎ 所以圆C的半径r＝CM＝＝3，‎ 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.]‎ ‎[规律方法]　1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．‎ ‎2．待定系数法求圆的方程：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．‎ 温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．‎ ‎[变式训练1]　经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．‎ x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)　[法一：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，‎ ‎∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．‎ 易知线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4)．‎ 设所求圆的圆心为C(a，b)，则有 解得a＝2，且b＝1.‎ 因此圆心坐标C(2,1)，半径r＝|AC|＝.‎ 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.‎ 法二：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，‎ 则 解得D＝－4，E＝－2，F＝－5，‎ ‎∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.]‎ 与圆有关的最值问题 ‎　已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．‎ ‎(1)求MQ的最大值和最小值；‎ ‎(2)求的最大值和最小值. 【导学号：62172245】‎ ‎[解]　(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，‎ 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，‎ ‎∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.‎ 又QC＝＝4，‎ ‎∴MQmax＝4＋2＝6，‎ MQmin＝4－2＝2.‎ ‎(2)可知表示直线MQ的斜率k.‎ 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.‎ 由直线MQ与圆C有交点，所以≤2，‎ 可得2－≤k≤2＋，‎ ‎∴的最大值为2＋，最小值为2－.‎ ‎[迁移探究1]　(变化结论)在本例的条件下，求y－x的最大值和最小值．‎ ‎[解]　设y－x＝b，则x－y＋b＝0.‎ 当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，‎ ‎∴＝2，∴b＝9或b＝1.‎ 因此y－x的最大值为9，最小值为1.‎ ‎[迁移探究2]　(变换条件结论)若本例中条件“点Q(－2,3)”改为“点Q是直线3x＋4y＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求MQ的最小值．‎ ‎[解]　∵圆心C(2,7)到直线3x＋4y＋1＝0上动点Q的最小值为点C到直线3x＋4y＋1＝0的距离，‎ ‎∴QCmin＝d＝＝7.‎ 又圆C的半径r＝2，‎ ‎∴MQ的最小值为7－2.‎ ‎[规律方法]　1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解．‎ ‎2．某些与圆相关的最值可利用函数关系求最值．‎ 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、利用基本不等式求最值是比较常用的．‎ ‎[变式训练2]　设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PACB的面积的最小值．‎ ‎[解]　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，‎ 圆心为C(1,1)，半径为r＝1.‎ 根据对称性可知，四边形PACB的面积为 ‎2S△APC＝2×PAr＝PA＝.‎ 要使四边形PACB的面积最小，则只需PC最小，最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离 d＝＝＝2.‎ 所以四边形PACB面积的最小值为 ＝＝.‎ 与圆有关的轨迹问题 ‎　设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹. 【导学号：62172246】‎ ‎[解]　如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，‎ 故＝，＝.‎ 从而 又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，‎ 但应除去两点和(点P在直线OM上的情况)．‎ ‎[规律方法]　求与圆有关的轨迹问题的四种方法 ‎(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．‎ ‎(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．‎ ‎(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．‎ ‎(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．‎ ‎[变式训练3]　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．‎ ‎(1)求线段AP中点的轨迹方程；‎ ‎(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．‎ ‎[解]　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．‎ 因为P点在圆x2＋y2＝4上，‎ 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，‎ 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎(2)设PQ的中点为N(x，y)，连结BN(图略)．‎ 在Rt△PBQ中，PN＝BN.‎ 设O为坐标原点，连结ON，则ON⊥PQ，‎ 所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，‎ 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件，“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法．‎ ‎2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－‎4F＞0这一前提条件．‎ ‎2．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．‎ ‎3．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．‎ 课时分层训练(四十五)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________．‎ ‎(x－1)2＋(y－1)2＝2　[圆的半径r＝＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.]‎ ‎2．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为________. ‎ ‎【导学号：62172247】‎ ‎(x－2)2＋(y－1)2＝1　[(1,2)关于直线y＝x对称的点为(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.]‎ ‎3．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为________．‎ 　[圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝2，则圆心坐标为(1，－2)．‎ 故圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.]‎ ‎4．已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为________．‎ ‎2x＋y－3＝0　[易知圆心坐标为(2，－1)．‎ 由于直线x－2y＋3＝0的斜率为，‎ ‎∴该直径所在直线的斜率k＝－2.‎ 故所求直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.]‎ ‎5．若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是________．‎ ‎(x＋5)2＋y2＝5　[设圆心为(a,0)(a＜0)，‎ 则r＝＝，解得a＝－5，‎ 所以圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.]‎ ‎6．经过原点并且与直线x＋y－2＝0相切于点(2,0)的圆的标准方程是________. 【导学号：62172248】‎ ‎(x－1)2＋(y＋1)2＝2　[设所求圆的圆心为(a，b)．‎ 依题意(a－2)2＋b2＝a2＋b2， ①‎ ＝1， ②‎ 解①②得a＝1，b＝－1，‎ 则半径r＝＝，‎ ‎∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.]‎ ‎7．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则PQ的最小值为________．‎ ‎4　[如图所示，圆心M(3，－1)与直线x＝－3的最短距离为MQ＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]‎ ‎8．(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋‎5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．‎ ‎(－2，－4)　5　[由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋(y＋1)2＝－<0，不表示圆；‎ 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.]‎ ‎9．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．‎ x＋y－1＝0　[圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，‎ 则kCM＝＝1.‎ ‎∵过点M的最短弦与CM垂直，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.]‎ ‎10．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－‎2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．‎ ‎(x－1)2＋y2＝2　[因为直线mx－y－‎2m－1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx－y－‎2m－1＝0的最大距离为d＝＝，所以半径最大时的半径r＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.]‎ 二、解答题 ‎11．已知直线l：y＝x＋m，m∈R，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程. 【导学号：62172249】‎ ‎[解]　法一：依题意，点P的坐标为(0，m)，‎ 因为MP⊥l，所以×1＝－1，‎ 解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)，‎ 圆的半径r＝MP＝＝2，‎ 故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.‎ 法二：设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2，‎ 依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，‎ 则 解得 所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.‎ ‎12．(2015·广东高考改编)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标；‎ ‎(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．‎ ‎[解]　(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，‎ 所以圆C1的圆心坐标为(3,0)．‎ ‎(2)设M(x，y)，依题意·＝0，‎ 所以(x－3，y)·(x，y)＝0，则x2－3x＋y2＝0，‎ 所以2＋y2＝.‎ 又原点O(0,0)在圆C1外，‎ 因此中点M的轨迹是圆C与圆C1相交落在圆C1内的一段圆弧．‎ 由消去y2得x＝，‎ 因此＜x≤3.‎ 所以线段AB的中点M的轨迹方程为2＋y2＝.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2‎ 的最大值为________．‎ ‎36　[(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d＝＝5.‎ 则点P(x，y)到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.]‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．‎ ‎[解]　法一：(代数法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)，设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－‎4F>0)，‎ 则有解得 故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.‎ 法二：(几何法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．‎ 故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为＝3，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.‎ ‎3．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．‎ ‎(1)求M的轨迹方程；‎ ‎(2)当OP＝OM时，求l的方程及△POM的面积．‎ ‎[解]　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.‎ 设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．‎ 由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，‎ 即(x－1)2＋(y－3)2＝2.‎ 由于点P在圆C的内部，‎ 所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.‎ ‎(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．‎ 由于OP＝OM，故O在线段PM的垂直平分线上．‎ 又P在圆N上，从而ON⊥PM.‎ 因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，‎ 故l的方程为y＝－x＋.‎ 又OM＝OP＝2，O到l的距离为，PM＝，所以△POM的面积为.‎ ‎4．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．‎ ‎[解]　(1)设圆心C(a，b)，‎ 由已知得M(－2，－2)，‎ 则解得 则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，‎ 故圆C的方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，‎ ·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)‎ ‎＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.‎ 令x＝cos θ，y＝sin θ，‎ 所以·＝x＋y－2‎ ‎＝(sin θ＋cos θ)－2‎ ‎＝2sin－2，‎ 所以·的最小值为－4.‎