八年级上册数学人教版第13章 轴对称 测试卷（1）

八年级上册数学人教版第13章 轴对称 测试卷（1）

第 1页（共 33页） 第 13 章 轴对称 测试卷（1） 一、选择题 1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时， 必须保证∠1 的度数为（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 3．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（ ） A．形状没有改变，大小没有改变 B．形状没有改变，大小有改变 C．形状有改变，大小没有改变 D．形状有改变，大小有改变 4．正方形的对称轴的条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．正三角形△ABC 的边长为 3，依次在边 AB、BC、CA 上取点 A1、B1、C1，使 AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1 的面积是（ ） A． B． C． D． 6．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10．若以点 C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D，则 AC=（ ） 第 2页（共 33页） A．5 B． C． D．6 7．观察下列图形，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 8．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ） A． B． C． D． 9．以下图形中对称轴的数量小于 3 的是（ ） A． B． C． D． 10．下列图案中，轴对称图形是（ ） A． B． C． D． 11．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中， 是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 12．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 4 个汉字中，可以看作是轴 对称图形的是（ ） A． B． C． D． 第 3页（共 33页） 13．下列图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 14．如图，直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD，转动这个四 边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图 1，测得 AC=2，当∠B=60°时，如图 2， AC=（ ） A． B．2 C． D．2 16．P 是∠AOB 内一点，分别作点 P 关于直线 OA、OB 的对称点 P1、P2，连接 OP1、 OP2，则下列结论正确的是（ ） A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2 C．OP1⊥OP2 且 OP1=OP2D．OP1≠OP2 17．如图，点 P 是∠AOB 外的一点，点 M，N 分别是∠AOB 两边上的点，点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上，点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的 延长线上．若 PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段 QR 的长为（ ） 第 4页（共 33页） A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm 18．已知 AD∥BC，AB⊥AD，点 E，点 F 分别在射线 AD，射线 BC 上．若点 E 与 点 B 关于 AC 对称，点 E 与点 F 关于 BD 对称，AC 与 BD 相交于点 G，则（ ） A．1+tan∠ADB= B．2BC=5CF C．∠AEB+22°=∠DEF D．4cos∠AGB= 二、填空题 19．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种 衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图 1，衣架杆 OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图 2，则此时 A，B 两点之间的距 离是 cm． 20．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线 l 对称，请在试卷上补全字母， 在答题卡上写出这个单词所指的物品 ． 第 5页（共 33页） 21．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选做的第一题计分． A．一个正五边形的对称轴共有 条． B．用科学计算器计算： +3tan56°≈ （结果精确到 0.01） 22．如图，△ABC 是等边三角形，高 AD、BE 相交于点 H，BC=4 ，在 BE 上截 取 BG=2，以 GE 为边作等边三角形 GEF，则△ABH 与△GEF 重叠（阴影）部分的 面积为 ． 23．如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG=CD， DF=DE，则∠E= 度． 24．如图，直线 a∥b，△ABC 是等边三角形，点 A 在直线 a 上，边 BC 在直线 b 上，把△ABC 沿 BC 方向平移 BC 的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移 得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第 100 个图形中等边三角形 的个数是 ． 25．如图，点 B1 是面积为 1 的等边△OBA 的两条中线的交点，以 OB1 为一边， 构造等边△OB1A1（点 O，B1，A1 按逆时针方向排列），称为第一次构造；点 B2 是△OB1A1 的两条中线的交点，再以 OB2 为一边，构造等边△OB2A2（点 O，B2， A2 按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第 n 次构造出的等边△ 第 6页（共 33页） OBnAn 的边 OAn 与等边△OBA 的边 OB 第一次重合时，构造停止．则构造出的最 后一个三角形的面积是 ． 26．已知等边三角形 ABC 的边长是 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作等边三角形， 得到第一个等边三角形 AB1C1，再以等边三角形 AB1C1 的 B1C1 边上的高 AB2 为边 作等边三角形，得到第二个等边三角形 AB2C2，再以等边三角形 AB2C2 的边 B2C2 边上的高 AB3 为边作等边三角形，得到第三个等边 AB3C3；…，如此下去，这样 得到的第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积为 ． 27．如图，在平面直角坐标系中，点 O 是原点，点 B（0， ），点 A 在第一象 限且 AB⊥BO，点 E 是线段 AO 的中点，点 M 在线段 AB 上．若点 B 和点 E 关于 直线 OM 对称，则点 M 的坐标是（ ， ）． 28．已知等边三角形 ABC 的高为 4，在这个三角形所在的平面内有一点 P，若点 P 到 AB 的距离是 1，点 P 到 AC 的距离是 2，则点 P 到 BC 的最小距离和最大距 离分别是 ． 第 7页（共 33页） 三、解答题 29．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DE∥AB，过 点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F． （1）求∠F 的度数； （2）若 CD=2，求 DF 的长． 30．如图，O 为△ABC 内部一点，OB=3 ，P、R 为 O 分别以直线 AB、直线 BC 为对称轴的对称点． （1）请指出当∠ABC 在什么角度时，会使得 PR 的长度等于 7？并完整说明 PR 的长度为何在此时会等于 7 的理由． （2）承（1）小题，请判断当∠ABC 不是你指出的角度时，PR 的长度是小于 7 还是会大于 7？并完整说明你判断的理由． 第 8页（共 33页） 参考答案与试题解析 一、选择题 1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分 完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：A、是轴对称图形，故 A 符合题意； B、不是轴对称图形，故 B 不符合题意； C、不是轴对称图形，故 C 不符合题意； D、不是轴对称图形，故 D 不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后可重合． 2．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时， 必须保证∠1 的度数为（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【考点】生活中的轴对称现象；平行线的性质． 【专题】压轴题． 【分析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则∠2=60°，根据∠1、∠2 对 称，则能求出∠1 的度数． 【解答】解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中， 第 9页（共 33页） ∠2+∠3=90°， ∵∠3=30°， ∴∠2=60°， ∴∠1=60°． 故选：C． 【点评】本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想． 3．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（ ） A．形状没有改变，大小没有改变 B．形状没有改变，大小有改变 C．形状有改变，大小没有改变 D．形状有改变，大小有改变 【考点】轴对称的性质． 【分析】根据轴对称不改变图形的形状与大小解答． 【解答】解：∵轴对称变换不改变图形的形状与大小， ∴与原图形相比，形状没有改变，大小没有改变． 故选：A． 【点评】本题考虑轴对称的性质，是基础题，熟记轴对称变换不改变图形的形状 与大小是解题的关键． 4．正方形的对称轴的条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】轴对称的性质． 【分析】根据正方形的对称性解答． 【解答】解：正方形有 4 条对称轴． 故选：D． 第 10页（共 33页） 【点评】本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键． 5．正三角形△ABC 的边长为 3，依次在边 AB、BC、CA 上取点 A1、B1、C1，使 AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1 的面积是（ ） A． B． C． D． 【考点】等边三角形的判定与性质． 【专题】压轴题． 【分析】依题意画出图形，过点 A1 作 A1D∥BC，交 AC 于点 D，构造出边长为 1 的小正三角形△AA1D；由 AC1=2，AD=1，得点 D 为 AC1 中点，因此可求出 S△AA1C1=2S △AA1D= ；同理求出 S△CC1B1=S△BB1A1= ；最后由 S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1 ﹣S△BB1A1 求得结果． 【解答】解：依题意画出图形，如下图所示： 过点 A1 作 A1D∥BC，交 AC 于点 D，易知△AA1D 是边长为 1 的等边三角形． 又 AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2，AD=1， ∴点 D 为 AC1 的中点， ∴S△AA1C1=2S△AA1D=2× ×12= ； 同理可求得 S△CC1B1=S△BB1A1= ， ∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1= ×32﹣3× = ． 故选 B． 【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大．本题入口较宽，解题方 法多种多样，同学们可以尝试不同的解题方法． 第 11页（共 33页） 6．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10．若以点 C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D，则 AC=（ ） A．5 B． C． D．6 【考点】等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】连结 CD，直角三角形斜边上的中线性质得到 CD=DA=DB，利用半径相 等得到 CD=CB=DB，可判断△CDB 为等边三角形，则∠B=60°，所以∠A=30°，然 后根据含 30 度的直角三角形三边的关系先计算出 BC，再计算 AC． 【解答】解：连结 CD，如图， ∵∠C=90°，D 为 AB 的中点， ∴CD=DA=DB， 而 CD=CB， ∴CD=CB=DB， ∴△CDB 为等边三角形， ∴∠B=60°， ∴∠A=30°， ∴BC= AB= ×10=5， ∴AC= BC=5 ． 故选 C． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质：三边都相等的三角形为等边三角 形；等边三角形的三个内角都等于 60°．也考查了直角三角形斜边上的中线性质 第 12页（共 33页） 以及含 30 度的直角三角形三边的关系． 7．观察下列图形，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选 A． 【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分沿对称轴折叠后可重合． 8．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形， B、不是轴对称图形， C、不是轴对称图形， D、是轴对称图形， 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直 线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形． 第 13页（共 33页） 9．以下图形中对称轴的数量小于 3 的是（ ） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据对称轴的概念求解． 【解答】解：A、有 4 条对称轴； B、有 6 条对称轴； C、有 4 条对称轴； D、有 2 条对称轴． 故选 D． 【点评】本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握对称轴的概念：如果一 个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图 形，这条直线叫做对称轴． 10．下列图案中，轴对称图形是（ ） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，故此选项正确； 故选；D． 【点评】本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图 形的关键是寻找对称轴． 11．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中， 第 14页（共 33页） 是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选 D． 【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分沿对称轴折叠后可重合． 12．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 4 个汉字中，可以看作是轴 对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选 A． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分沿对称轴折叠后可重合． 13．下列图案是轴对称图形的是（ ） 第 15页（共 33页） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解． 【解答】解：A、是轴对称图形， B、不是轴对称图形， C、不是轴对称图形， D、不是轴对称图形， 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分折叠后可重合． 14．如图，直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】轴对称的性质． 【分析】根据轴对称的性质作出选择． 【解答】解：如图所示，直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在第一象限． 故选：A． 第 16页（共 33页） 【点评】本题考查了轴对称的性质．此题难度不大，采用了“数形结合”的数学思 想． 15．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD，转动这个四 边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图 1，测得 AC=2，当∠B=60°时，如图 2， AC=（ ） A． B．2 C． D．2 【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的性质． 【分析】图 1 中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图 2 根据有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形即可求得． 【解答】解：如图 1， ∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°， ∴四边形 ABCD 是正方形， 连接 AC，则 AB2+BC2=AC2， ∴AB=BC= = = ， 如图 2，∠B=60°，连接 AC， ∴△ABC 为等边三角形， ∴AC=AB=BC= ． 【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利 用勾股定理得出正方形的边长是关键． 第 17页（共 33页） 16． P 是∠AOB 内一点，分别作点 P 关于直线 OA、OB 的对称点 P1、P2，连接 OP1、OP2，则下列结论正确的是（ ） A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2 C．OP1⊥OP2 且 OP1=OP2D．OP1≠OP2 【考点】轴对称的性质． 【专题】压轴题． 【分析】作出图形，根据轴对称的性质求出 OP1、OP2 的数量与夹角即可得解． 【解答】解：如图，∵点 P 关于直线 OA、OB 的对称点 P1、P2， ∴OP1=OP2=OP， ∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2， ∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2， =2（∠AOP+∠BOP）， =2∠AOB， ∵∠AOB 度数任意， ∴OP1⊥OP2 不一定成立． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键，作 出图形更形象直观． 17．如图，点 P 是∠AOB 外的一点，点 M，N 分别是∠AOB 两边上的点，点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上，点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的 延长线上．若 PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段 QR 的长为（ ） 第 18页（共 33页） A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm 【考点】轴对称的性质． 【专题】几何图形问题． 【分析】利用轴对称图形的性质得出 PM=MQ，PN=NR，进而利用 MN=4cm，得 出 NQ 的长，即可得出 QR 的长． 【解答】解：∵点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上，点 P 关于 OB 的 对称点 R 落在 MN 的延长线上， ∴PM=MQ，PN=NR， ∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm， ∴RN=3cm，MQ=2.5cm， 即 NQ=MN﹣MQ=4﹣2.5=1.5（cm）， 则线段 QR 的长为：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）． 故选：A． 【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，得出 PM=MQ，PN=NR 是解题关键． 18．已知 AD∥BC，AB⊥AD，点 E，点 F 分别在射线 AD，射线 BC 上．若点 E 与 点 B 关于 AC 对称，点 E 与点 F 关于 BD 对称，AC 与 BD 相交于点 G，则（ ） A．1+tan∠ADB= B．2BC=5CF 第 19页（共 33页） C．∠AEB+22°=∠DEF D．4cos∠AGB= 【考点】轴对称的性质；解直角三角形． 【专题】几何图形问题；压轴题． 【分析】连接 CE，设 EF 与 BD 相交于点 O，根据轴对称性可得 AB=AE，并设为 1， 利用勾股定理列式求出 BE，再根据翻折的性质可得 DE=BF=BE，再求出 BC=1，然 后对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：如图，连接 CE，设 EF 与 BD 相交于点 O， 由轴对称性得，AB=AE，设为 1， 则 BE= = ， ∵点 E 与点 F 关于 BD 对称， ∴DE=BF=BE= ， ∴AD=1+ ， ∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE， ∴四边形 ABCE 是正方形， ∴BC=AB=1， 1+tan∠ADB=1+ =1+ ﹣1= ，故 A 正确； CF=BF﹣BC= ﹣1， ∴2BC=2×1=2， 5CF=5（ ﹣1）， ∴2BC≠5CF，故 B 错误； ∠AEB+22°=45°+22°=67°， ∵BE=BF，∠EBF=∠AEB=45°， ∴∠BFE= =67.5°， ∴∠DEF=∠BFE=67.5°，故 C 错误； 由勾股定理得，OE2=BE2﹣BO2=（ ）2﹣（ ）2= ， ∴OE= ， ∵∠EBG+∠AGB=90°， ∠EBG+∠BEF=90°， 第 20页（共 33页） ∴∠AGB=∠BEF， 又∵∠BEF=∠DEF ∴cos∠AGB= = = ，4cos∠AGB=2 ，故 D 错误． 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性 质，正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为 1 可使求解过程 更容易理解． 二、填空题 19．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种 衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图 1，衣架杆 OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图 2，则此时 A，B 两点之间的距 离是 18 cm． 【考点】等边三角形的判定与性质． 【专题】应用题． 【分析】根据有一个角是 60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可． 【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴AB=OA=OB=18cm， 第 21页（共 33页） 故答案为：18 【点评】此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是 60°的等腰三角形的 等边三角形进行分析． 20．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线 l 对称，请在试卷上补全字母， 在答题卡上写出这个单词所指的物品 书 ． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的性质，组成图形，即可解答． 【解答】解：如图， 这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 【点评】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称的性质，作出图 形． 21．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选做的第一题计分． A．一个正五边形的对称轴共有 5 条． B．用科学计算器计算： +3tan56°≈ 10.02 （结果精确到 0.01） 【考点】轴对称的性质；计算器—数的开方；计算器—三角函数． 【专题】常规题型；计算题． 【分析】A．过正五边形的五个顶点作对边的垂线，可得对称轴． B．先用计算器求出 、tan56°的值，再计算加减运算． 【解答】解：（A）如图， 正五边形的对称轴共有 5 条． 故答案为：5． （B） ≈5.5678，tan56°≈1.4826， 则 +3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02 故答案是：10.02． 第 22页（共 33页） 【点评】A 题考查了轴对称的性质，熟记正五边形的对称性是解题的关键．B 题 考查了计算器的使用，要注意此题是精确到 0.01． 22．如图，△ABC 是等边三角形，高 AD、BE 相交于点 H，BC=4 ，在 BE 上截 取 BG=2，以 GE 为边作等边三角形 GEF，则△ABH 与△GEF 重叠（阴影）部分的 面积为 ． 【考点】等边三角形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理． 【专题】压轴题． 【分析】根据等边三角形的性质，可得 AD 的长，∠ABG=∠HBD=30°，根据等边 三角形的判定，可得△MEH 的形状，根据直角三角形的判定，可得△FIN 的形状， 根据面积的和差，可得答案． 【解答】解：如图所示： ， 由△ABC 是等边三角形，高 AD、BE 相交于点 H，BC=4 ，得 AD=BE= BC=6，∠ABG=∠HBD=30°． 由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°． 第 23页（共 33页） 由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60° 由 BG=2，得 EG=BE﹣BG=6﹣2=4． 由 GE 为边作等边三角形 GEF，得 FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°， △MHE 是等边三角形； S△ABC= AC•BE= AC×EH×3 EH= BE= ×6=2． 由三角形外角的性质，得∠BIG=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°， 由∠IBG=∠BIG=30°，得 IG=BG=2， 由线段的和差，得 IF=FG﹣IG=4﹣2=2， 由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°， 由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°， 由锐角三角函数，得 FN=1，IN= ． S 五边形 NIGHM=S△EFG﹣S△EMH﹣S△FIN = ×42﹣ ×22﹣ × ×1= ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质， 直角三角形的判定，利用图形的割补法是求面积的关键． 23．如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG=CD， DF=DE，则∠E= 15 度． 【考点】等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质． 【专题】几何图形问题． 【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相 等即可得出∠E 的度数． 第 24页（共 33页） 【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60°，∠ACD=120°， ∵CG=CD， ∴∠CDG=30°，∠FDE=150°， ∵DF=DE， ∴∠E=15°． 故答案为：15． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为 180°以及等腰三角形的性 质，难度适中． 24．如图，直线 a∥b，△ABC 是等边三角形，点 A 在直线 a 上，边 BC 在直线 b 上，把△ABC 沿 BC 方向平移 BC 的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移 得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第 100 个图形中等边三角形 的个数是 400 ． 【考点】等边三角形的判定与性质；平移的性质． 【专题】规律型． 【分析】先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第 n 个图形中大等 边三角形有 2n 个，小等边三角形有 2n 个，据此求出第 100 个图形中等边三角形 的个数． 【解答】解：如图① ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC=AC， ∵A′B′∥AB，BB′=B′C= BC， ∴B′O= AB，CO= AC， ∴△B′OC 是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形． 第 25页（共 33页） 又观察图可得，第 1 个图形中大等边三角形有 2 个，小等边三角形有 2 个， 第 2 个图形中大等边三角形有 4 个，小等边三角形有 4 个， 第 3 个图形中大等边三角形有 6 个，小等边三角形有 6 个，… 依次可得第 n 个图形中大等边三角形有 2n 个，小等边三角形有 2n 个． 故第 100 个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100=400． 故答案为：400． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是 据图找出规律． 25．如图，点 B1 是面积为 1 的等边△OBA 的两条中线的交点，以 OB1 为一边， 构造等边△OB1A1（点 O，B1，A1 按逆时针方向排列），称为第一次构造；点 B2 是△OB1A1 的两条中线的交点，再以 OB2 为一边，构造等边△OB2A2（点 O，B2， A2 按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第 n 次构造出的等边△ OBnAn 的边 OAn 与等边△OBA 的边 OB 第一次重合时，构造停止．则构造出的最 后一个三角形的面积是 ． 【考点】等边三角形的性质． 【专题】压轴题；规律型． 【分析】由于点 B1 是△OBA 两条中线的交点，则点 B1 是△OBA 的重心，而△OBA 第 26页（共 33页） 是等边三角形，所以点 B1 也是△OBA 的内心，∠BOB1=30°，∠A1OB=90°，由于 每构造一次三角形，OBi 边与 OB 边的夹角增加 30°，所以还需要（360﹣90）÷ 30=9，即一共 1+9=10 次构造后等边△OBnAn 的边 OAn 与等边△OBA 的边 OB 第一 次重合；又因为任意两个等边三角形都相似，根据相似三角形的面积比等于相似 比的平方，由△OB1A1 与△OBA 的面积比为 ，求得构造出的最后一个三角形的 面积． 【解答】方法一： 解：∵点 B1 是面积为 1 的等边△OBA 的两条中线的交点， ∴点 B1 是△OBA 的重心，也是内心， ∴∠BOB1=30°， ∵△OB1A1 是等边三角形， ∴∠A1OB=60°+30°=90°， ∵每构造一次三角形，OBi 边与 OB 边的夹角增加 30°， ∴还需要（360﹣90）÷30=9，即一共 1+9=10 次构造后等边△OBnAn 的边 OAn 与 等边△OBA 的边 OB 第一次重合， ∴构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10． 如图，过点 B1 作 B1M⊥OB 于点 M， ∵cos∠B1OM=cos30°= = ， ∴ = = = ，即 = ， ∴ =（ ）2= ，即 S△OB1A1= S△OBA= ， 同理，可得 =（ ）2= ，即 S△OB2A2= S△OB1A1=（ ）2= ， …， ∴S△OB10A10= S△OB9A9=（ ）10= ，即构造出的最后一个三角形的面积是 ． 故答案为 ． 第 27页（共 33页） 方法二： ∵∠AOA1=30°，∠A1OA2=30°，∠AOB=60°， ∴每构造一次增加 30°， ∴n= =10， ∵△OBA∽△OB1A1， ∴ ⇒ ， ∵S△OBA=1， ∴S△OB1A1= ，q= ， ∴S△OB10A10= ． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定与 性质等知识，有一定难度．根据条件判断构造出的最后一个三角形为等边△ OB10A10 及利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出△OB1A1 与△OBA 的 面积比为 ，进而总结出规律是解题的关键． 26．已知等边三角形 ABC 的边长是 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作等边三角形， 得到第一个等边三角形 AB1C1，再以等边三角形 AB1C1 的 B1C1 边上的高 AB2 为边 作等边三角形，得到第二个等边三角形 AB2C2，再以等边三角形 AB2C2 的边 B2C2 边上的高 AB3 为边作等边三角形，得到第三个等边 AB3C3；…，如此下去，这样 得到的第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积为 （ ）n ． 第 28页（共 33页） 【考点】等边三角形的性质． 【专题】压轴题；规律型． 【分析】由 AB1 为边长为 2 的等边三角形 ABC 的高，利用三线合一得到 B1 为 BC 的中点，求出 BB1 的长，利用勾股定理求出 AB1 的长，进而求出第一个等边三角 形 AB1C1 的面积，同理求出第二个等边三角形 AB2C2 的面积，依此类推，得到第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积． 【解答】解：∵等边三角形 ABC 的边长为 2，AB1⊥BC， ∴BB1=1，AB=2， 根据勾股定理得：AB1= ， ∴第一个等边三角形 AB1C1 的面积为 ×（ ）2= （ ）1； ∵等边三角形 AB1C1 的边长为 ，AB2⊥B1C1， ∴B1B2= ，AB1= ， 根据勾股定理得：AB2= ， ∴第二个等边三角形 AB2C2 的面积为 ×（ ）2= （ ）2； 依此类推，第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积为 （ ）n． 故答案为： （ ）n． 【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形 的性质是解本题的关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，点 O 是原点，点 B（0， ），点 A 在第一象 限且 AB⊥BO，点 E 是线段 AO 的中点，点 M 在线段 AB 上．若点 B 和点 E 关于 直线 OM 对称，则点 M 的坐标是（ 1 ， ）． 第 29页（共 33页） 【考点】轴对称的性质；坐标与图形性质；解直角三角形． 【专题】压轴题． 【分析】根据点 B 的坐标求出 OB 的长，再连接 ME，根据轴对称的性质可得 OB=OE，再求出 AO 的长度，然后利用勾股定理列式求出 AB 的长，利用∠A 的余 弦值列式求出 AM 的长度，再求出 BM 的长，然后写出点 M 的坐标即可． 【解答】解：∵点 B（0， ）， ∴OB= ， 连接 ME， ∵点 B 和点 E 关于直线 OM 对称， ∴OB=OE= ， ∵点 E 是线段 AO 的中点， ∴AO=2OE=2 ， 根据勾股定理，AB= = =3， cosA= = ， 即 = ， 解得 AM=2， ∴BM=AB﹣AM=3﹣2=1， ∴点 M 的坐标是（1， ）． 故答案为：（1， ）． 第 30页（共 33页） 【点评】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，熟练掌握 轴对称的性质并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 28．已知等边三角形 ABC 的高为 4，在这个三角形所在的平面内有一点 P，若点 P 到 AB 的距离是 1，点 P 到 AC 的距离是 2，则点 P 到 BC 的最小距离和最大距 离分别是 1，7 ． 【考点】等边三角形的性质；平行线之间的距离． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】根据题意画出相应的图形，直线 DM 与直线 NF 都与 AB 的距离为 1，直 线 NG 与直线 ME 都与 AC 的距离为 2，当 P 与 N 重合时，HN 为 P 到 BC 的最小 距离；当 P 与 M 重合时，MQ 为 P 到 BC 的最大距离，根据题意得到△NFG 与△ MDE 都为等边三角形，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出 DB 与 FB 的长，以及 CG 与 CE 的长，进而由 DB+BC+CE 求出 DE 的长，由 BC﹣BF﹣CG 求出 FG 的长，求出等边三角形 NFG 与等边三角形 MDE 的高，即可确定出点 P 到 BC 的最小距离和最大距离． 【解答】解：根据题意画出相应的图形，直线 DM 与直线 NF 都与 AB 的距离为 1， 直线 NG 与直线 ME 都与 AC 的距离为 2， 当 P 与 N 重合时，HN 为 P 到 BC 的最小距离；当 P 与 M 重合时，MQ 为 P 到 BC 的最大距离， 根据题意得到△NFG 与△MDE 都为等边三角形， ∴DB=FB= = ，CE=CG= = ， ∴DE=DB+BC+CE= + + = ，FG=BC﹣BF﹣CG= ， ∴NH= FG=1，MQ= DE=7， 则点 P 到 BC 的最小距离和最大距离分别是 1，7． 故答案为：1，7． 第 31页（共 33页） 【点评】此题考查了等边三角形的性质，以及平行线间的距离，作出相应的图形 是解本题的关键． 三、解答题 29．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DE∥AB，过 点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F． （1）求∠F 的度数； （2）若 CD=2，求 DF 的长． 【考点】等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形． 【专题】几何图形问题． 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即 可求解； （2）易证△EDC 是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°； （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， 第 32页（共 33页） ∴△EDC 是等边三角形． ∴ED=DC=2， ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30 度 的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 30．如图，O 为△ABC 内部一点，OB=3 ，P、R 为 O 分别以直线 AB、直线 BC 为对称轴的对称点． （1）请指出当∠ABC 在什么角度时，会使得 PR 的长度等于 7？并完整说明 PR 的长度为何在此时会等于 7 的理由． （2）承（1）小题，请判断当∠ABC 不是你指出的角度时，PR 的长度是小于 7 还是会大于 7？并完整说明你判断的理由． 【考点】轴对称的性质；三角形三边关系． 【分析】（1）连接 PB、RB，根据轴对称的性质可得 PB=OB，RB=OB，然后判断 出点 P、B、R 三点共线时 PR=7，再根据平角的定义求解； （2）根据三角形的任意两边之和大于第三边解答． 【解答】解：（1）如图，∠ABC=90°时，PR=7． 证明如下：连接 PB、RB， ∵P、R 为 O 分别以直线 AB、直线 BC 为对称轴的对称点， ∴PB=OB=3 ，RB=OB=3 ， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°， ∴点 P、B、R 三点共线， 第 33页（共 33页） ∴PR=2×3 =7； （2）PR 的长度是小于 7， 理由如下：∠ABC≠90°， 则点 P、B、R 三点不在同一直线上， ∴PB+BR＞PR， ∵PB+BR=2OB=2×3 =7， ∴PR＜7． 【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质， 熟记各性质是解题的关键．