2014北京高考数学真题理科及答案

2014北京高考数学真题理科及答案

‎2014北京高考数学真题（理科）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ 1. 已知集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 2. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 3. 曲线 ， 的对称中心（ ）‎ A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．在直线上 4. 当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A．7 B．42 C．210 D．840 ‎ 5. 设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（ ）‎ A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6. 若满足且的最小值为，则的值为（ ）‎ A．2 B． ‎ C． D． ‎ 1. 在空间直角坐标系中，已知，，，，若分别表示三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）‎ A． B．且 ‎ C．且 D．且 ‎ 2. 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A同学每科成绩不低于B同学，且至少有一科成绩比B高，则称“A同学比B同学成绩好.”现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．5‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ 3. 复数 ．‎ 4. 已知向量、满足，，且,则 ．‎ 5. 设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为 ；渐近线方程为 ．‎ 6. 若等差数列满足，，则当 时，的前项和最大．‎ 7. 把件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法 有 种．‎ 8. 设函数（是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 ．‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ 1. ‎（本小题共13分）‎ 如图，在中，，，点在上，且，‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求的长．‎ ‎16（本小题共13分）‎ 李明在10场篮球比赛中的投篮情况（假设各场比赛相互独立）：‎ （1） 从上述比赛随机选择一场，求李明在该场比赛中的投篮命中率超过的概率；‎ （2） 从上述比赛中随机选择一个主场和客场，求李明的投篮命中率一场超过，一场不超过的概率；‎ （3） 记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这场比赛中命中次数，比较与的大小（只需要写出结论）‎ 2. ‎17.（本小题共14分）‎ 如图，正方形的边长为2，分别为、的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于点、‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.‎ ‎18.（本小题共13分）‎ 已知函数 ‎（I）求证：；‎ ‎（II）若在上恒成立，求与的最大值与的最小值.‎ ‎19.（本小题共14分）‎ 已知椭圆 ‎（I）求椭圆的离心率；‎ ‎（II）设为坐标原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.‎ ‎20（本小题共13分）‎ 对于数对序列，，，，记，，‎ 其中表示和两个数中最大的数，‎ ‎（1）对于数对序列，，求，的值．‎ ‎（2）记为四个数中最小值，对于由两个数对，组成的数对序列 和，试分别对和时两种情况比较和的大小．‎ ‎（3）在由个数对，，，，组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值．（只需写出结论）‎ 参考答案 一、 选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．D 7．D 8．B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9． 10． 11．； 12． 13． 14． ‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎15．（共13分）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）‎ ‎（2）在中，‎ ‎，即：‎ 解得： ‎ 在中，‎ ‎16．（共13分）‎ 解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率为事件，‎ 由题可知，李明在该场比赛中命中率超过的场次有：‎ 主场2、主场3、主场5、客场2、客场4，共计5场 所以李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率．‎ ‎（2）设李明一场投篮命中率超过，一场命中率不超过的概率为事件，‎ 同理可知，李明主场命中率超过的概率，客场命中率超过的概率 ‎ 故．‎ ‎（3）．‎ ‎17．（共14分）‎ ‎【解析】‎ （1） 证明：‎ （2） 如图建立空间坐标系，各点坐标如下：‎ 设的法向量为，,‎ ‎，即，令得：‎ 又，‎ 直线与平面所成角为 设,由则 又 ‎,，，‎ ‎18．（共13分）‎ 解：（1）证明：‎ ‎∵，‎ ‎∴，即在上单调递增，‎ ‎∴在上的最大值为，‎ 所以．‎ ‎（2）一方面令，，‎ 则，由（1）可知，，‎ 故在上单调递减，从而，‎ 故，所以．‎ 令，，则，‎ 当时，，故在上单调递减，从而，‎ 所以恒成立．‎ 当时，在有唯一解，且，，‎ 故在上单调递增，从而，‎ 即与恒成立矛盾，‎ 综上，，故．‎ ‎19．（共14分）‎ ‎ （1）椭圆的标准方程为：，故，则，故离心率；‎ ‎ （2）由题可得，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，,‎ 当时，，已知，此时直线方程为或，‎ 原点到直线的距离均为，故满足直线与圆相切；‎ 当时，直线方程为，‎ 联立得，，故或，‎ 联立得，，‎ 由的对称性，那么不妨去点进行计算，于是直线方程为，‎ 原点到直线的距离，此时与圆相切；‎ 综上所述，直线与圆相切．‎ ‎20．（共13分）‎ 解：（1），；‎ ‎ （2）当时，‎ ‎，；‎ ‎ ，；‎ ‎ 因为是中最小的数，所以，从而；‎ 当时，‎ ‎，；‎ ‎；‎ 因为是中最小的数，所以，从而；‎ 综上，这两种情况下都有．‎ ‎（3）52．分布为：(4,6)(16,11)(11,11)(11,8)(5,2)。‎