2014高考四川（理科数学）试卷

2014高考四川（理科数学）试卷

‎2014·四川卷(理科数学)‎ ‎1．　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎[2014·四川卷] 已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝(　　)‎ A．{－1，0，1，2}B．{－2，－1，0，1}‎ C．{0，1}D．{－1，0}‎ ‎1．A　[解析]由题意可知，集合A＝{x|－1≤x≤2}，其中的整数有－1，0，1，2，故A∩B＝{－1，0，1，2}，故选A.‎ ‎2．[2014·四川卷] 在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)‎ A．30B．20C．15D．10‎ ‎2．C　[解析]x(1＋x)6的展开式中x3项的系数与(1＋x)6的展开式中x2项的系数相同，故其系数为C＝15.‎ ‎3．[2014·四川卷] 为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图像，只需把函数y＝sin2x的图像上所有的点(　　)‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动1个单位长度 D．向右平行移动1个单位长度 ‎3．A　[解析]因为y＝sin(2x＋1)＝sin2，所以为得到函数y＝sin(2x＋1)的图像，只需要将y＝sin2x的图像向左平行移动个单位长度．‎ ‎4．[2014·四川卷] 若a>b>0，cB.< C.>D.< ‎4．D　[解析]因为c＜d＜0，所以<＜0，即－>－＞0，与a＞b＞0对应相乘得，－>－＞0，所以<.故选D.‎ ‎5．，[2014·四川卷] 执行如图11所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为(　　)‎ 图11‎ A．0B．1C．2D．3‎ ‎5．C　[解析]题中程序输出的是在的条件下S＝2x＋y的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x＝1，y＝0时，S＝2x＋y取得最大值2，2>1，故选C.‎ ‎6．[2014·四川卷] 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)‎ A．192种B．216种 C．240种D．288种 ‎6．B　[解析]当甲在最左端时，有A＝120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有AAA＝4×24＝96(种)排法，共计120＋96＝216(种)排法．故选B.‎ ‎7．[2014·四川卷] 平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝(　　)‎ A．－2B．－1‎ C．1D．2‎ ‎7．2　[解析]c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由题意知＝，即＝，即5m＋8＝，解得m＝2.‎ 图12‎ ‎8．[2014·四川卷] 如图12，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是(　　)‎ A.B. C.D. ‎8．B　[解析]连接A1O，OP和PA1，不难知∠POA1就是直线OP与平面A1BD所成的角(或其补角)设正方体棱长为2，则A1O＝.‎ ‎(1)当P点与C点重合时，PO＝，A1P＝2，且cosα＝＝－，此时α＝∠‎ A1OP为钝角，sinα＝＝；‎ ‎(2)当P点与C1点重合时，PO＝A1O＝，A1P＝2，且cosα＝＝，此时α＝∠A1OP为锐角，sinα＝＝；‎ ‎(3)在α从钝角到锐角逐渐变化的过程中，CC1上一定存在一点P，使得α＝∠A1OP＝90°.又因为＜，故sinα的取值范围是，故选B.‎ ‎9．[2014·四川卷] 已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1，1)．现有下列命题：‎ ‎①f(－x)＝－f(x)；②f＝2f(x)；‎ ‎③|f(x)|≥2|x|.‎ 其中的所有正确命题的序号是(　　)‎ A．①②③B．②③C．①③D．①②‎ ‎9．A　[解析]f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)‎ ‎＝ln＝－ln＝－ ‎＝－f(x)，故①正确；当x∈(－1，1)时，∈(－1，1)，且f＝ln－ln＝ln＝ln＝ln＝2ln＝2[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝2f(x)，故②正确；‎ 由①知，f(x)为奇函数，所以|f(x)|为偶函数，则只需判断当x∈[0，1)时，f(x)与2x的大小关系即可．‎ 记g(x)＝f(x)－2x，0≤x＜1，‎ 即g(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x，0≤x<1，‎ g′(x)＝＋－2＝，0≤x＜1.‎ 当0≤x＜1时，g′(x)≥0，‎ 即g(x)在[0，1)上为增函数，且g(0)＝0，所以g(x)≥0，‎ 即f(x)－2x≥0，x∈[0，1)，于是|f(x)|≥2|x|正确．‎ 综上可知，①②③都为真命题，故选A.‎ ‎10．，[2014·四川卷] 已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)‎ A．2B．3C.D. ‎10．B　[解析]由题意可知，F.设A(y，y1)，B(y，y2)，∴·＝y1y2＋yy＝2，‎ 解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A，B两点位于x轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2.‎ 当y≠y时，AB所在直线方程为y－y1＝(x－y)＝(x－y)，‎ 令y＝0，得x＝－y1y2＝2，即直线AB过定点C(2，0)．‎ 于是S△ABO＋S△AFO＝S△ACO＋S△BCO＋S△AFO＝×2|y1|＋×2|y2|＋×|y1|＝(9|y1|＋8|y2|)≥×2＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y＝y时，取y1＝，y2＝－，则AB所在直线的方程为x＝2，此时求得S△ABO＋S△AFO＝2××2×＋××＝，而>3，故选B.‎ ‎11．[2014·四川卷] 复数＝________．‎ ‎11．－2i　[解析]＝＝－2i.‎ ‎12．[2014·四川卷] 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．‎ ‎12．1　[解析]由题意可知，f＝f＝f＝－4＋2＝1.‎ ‎13．，[2014·四川卷] 如图13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)‎ 图13‎ ‎13．60　[解析]过A点向地面作垂线，记垂足为D，则在Rt△ADB中，∠ABD＝67°，AD＝46m，∴AB＝＝＝50(m)，‎ 在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝67°－30°＝37°，AB＝50m，‎ 由正弦定理得，BC＝＝60 (m)，‎ 故河流的宽度BC约为60m.‎ ‎14．，[2014·四川卷] 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．‎ ‎14．5　[解析]由题意可知，定点A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P(x，y)落在以AB为直径的圆周上，‎ 所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.‎ ‎∴|PA||PB|≤＝5，‎ 当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立．‎ ‎15．，[2014·四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sinx时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：‎ ‎①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；‎ ‎②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；‎ ‎③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；‎ ‎④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.‎ 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)‎ ‎15．①③④　[解析]若f(x)∈A，则f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．‎ 取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时f(x)没有最大值和最小值，故②错误．‎ 当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(a0)＝b－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故③正确．‎ 对于f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝(x＞－2)．‎ 易知f(x)∈，所以存在正数M＝，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确．‎ ‎16．[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝sin.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若α是第二象限角，f＝coscos2α，求cosα－sinα的值．‎ ‎16．解：(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为，k∈Z，‎ 由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋≤x≤＋，k∈Z.‎ 所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)，‎ 所以sinαcos＋cosαsin＝(cos2α－sin2α)，‎ 即sinα＋cosα＝(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．‎ 当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，‎ 得α＝＋2kπ，k∈Z，‎ 此时，cosα－sinα＝－.‎ 当sinα＋cosα≠0时，(cosα－sinα)2＝.‎ 由α是第二象限角，得cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－.‎ 综上所述，cosα－sinα＝－或－.‎ ‎17．[2014·四川卷] 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．‎ ‎(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．‎ ‎(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？‎ ‎(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．‎ ‎17．解：(1)X可能的取值为10，20，100，－200.‎ 根据题意，有 P(X＝10)＝C××＝，‎ P(X＝20)＝C××＝，‎ P(X＝100)＝C××＝，‎ P(X＝－200)＝C××＝.‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎10‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎－200‎ P ‎(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，则 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.‎ 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－＝1－＝.‎ 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.‎ ‎(3)由(1)知，X的数学期望为EX＝10×＋20×＋100×－200×＝－.‎ 这表明，获得分数X的均值为负．‎ 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．‎ ‎18．[2014·四川卷] 三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图14所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.‎ ‎(1)证明：P是线段BC的中点；‎ ‎(2)求二面角ANPM的余弦值．‎ ‎　‎ 图14‎ ‎18．解：(1)如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.‎ 由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD为正三角形，‎ 所以AO⊥BD，OC⊥BD.‎ 因为AO，OC⊂平面AOC，且AO∩OC＝O，‎ 所以BD⊥平面AOC.‎ 又因为AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC.‎ 取BO的中点H，连接NH，PH.‎ 又M，N，H分别为线段AD，AB，BO的中点，所以MN∥BD，NH∥AO，‎ 因为AO⊥BD，所以NH⊥BD.‎ 因为MN⊥NP，所以NP⊥BD.‎ 因为NH，NP⊂平面NHP，且NH∩NP＝N，所以BD⊥平面NHP.‎ 又因为HP⊂平面NHP，所以BD⊥HP.‎ 又OC⊥BD，HP⊂平面BCD，OC⊂平面BCD，所以HP∥OC.‎ 因为H为BO的中点，所以P为BC的中点．‎ ‎(2)方法一：如图所示，作NQ⊥AC于Q，连接MQ.‎ 由(1)知，NP∥AC，所以NQ⊥NP.‎ 因为MN⊥NP，所以∠MNQ为二面角ANPM的一个平面角．‎ 由(1)知，△ABD，△BCD为边长为2的正三角形，所以AO＝OC＝.‎ 由俯视图可知，AO⊥平面BCD.‎ 因为OC⊂平面BCD，所以AO⊥OC，因此在等腰直角△AOC中，AC＝.‎ 作BR⊥AC于R 因为在△ABC中，AB＝BC，所以R为AC的中点，‎ 所以BR＝＝.‎ 因为在平面ABC内，NQ⊥AC，BR⊥AC，‎ 所以NQ∥BR.‎ 又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，‎ 所以NQ＝＝.‎ 同理，可得MQ＝.‎ 故△MNQ为等腰三角形，‎ 所以在等腰△MNQ中，‎ cos∠MNQ＝＝＝.‎ 故二面角ANPM的余弦值是.‎ 方法二：由俯视图及(1)可知，AO⊥平面BCD.‎ 因为OC，OB⊂平面BCD，所以AO⊥OC，AO⊥OB.‎ 又OC⊥OB，所以直线OA，OB，OC两两垂直．‎ 如图所示，以O为坐标原点，以OB，OC，OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.‎ 则A(0，0，)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(－1，0，0)．‎ 因为M，N分别为线段AD，AB的中点，‎ 又由(1)知，P为线段BC的中点，‎ 所以M，N，P，于是AB＝(1，0，－)，BC＝(－1，，0)，MN＝(1，0，0)，NP＝.‎ 设平面ABC的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，‎ 由得即 从而 取z1＝1，则x1＝，y1＝1，所以n1＝(，1，1)．‎ 设平面MNP的一个法向量n2＝(x2，y2，z2)，由，‎ 得 即 从而 取z2＝1，则y2＝1，x2＝0，所以n2＝(0，1，1)．‎ 设二面角ANPM的大小为θ，则cosθ＝＝＝.‎ 故二面角ANPM的余弦值是.‎ ‎19．，[2014·四川卷] 设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．‎ ‎(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.‎ ‎19．解：(1)由已知得，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，所以 ‎2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2，‎ 所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.‎ ‎(2)函数f(x)＝2x在点(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，‎ 其在x轴上的截距为a2－.‎ 由题意有a2－＝2－，解得a2＝2.‎ 所以d＝a2－a1＝1.‎ 从而an＝n，bn＝2n，‎ 所以数列{}的通项公式为＝，‎ 所以Tn＝＋＋＋…＋＋，‎ ‎2Tn＝＋＋＋…＋，‎ 因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.‎ 所以，Tn＝.‎ ‎20．，，[2014·四川卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程．‎ ‎(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.‎ ‎①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；‎ ‎②当最小时，求点T的坐标．‎ ‎20．解：(1)由已知可得 解得a2＝6，b2＝2，‎ 所以椭圆C的标准方程是＋＝1.‎ ‎(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，‎ 则直线TF的斜率kTF＝＝－m.‎ 当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.‎ 当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得 消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，‎ 其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.‎ 所以y1＋y2＝，y1y2＝，‎ x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.‎ 设M为PQ的中点，则M点的坐标为.‎ 所以直线OM的斜率kOM＝－，‎ 又直线OT的斜率kOT＝－，‎ 所以点M在直线OT上，‎ 因此OT平分线段PQ.‎ ‎②由①可得，‎ ‎|TF|＝，‎ ‎|PQ|＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ 所以＝＝‎ ≥＝.‎ 当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．‎ 故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．‎ ‎21．，[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．‎ ‎(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；‎ ‎(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．‎ ‎21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.‎ 所以g′(x)＝ex－2a.‎ 当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．‎ 当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，‎ 因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；‎ 当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，‎ 因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；‎ 当0，g(1)＝e－2a－b>0.‎ 由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，‎ 则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，‎ 解得e－20，g(1)＝1－a>0.‎ 故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.‎ 由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增．‎ 所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)

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