江苏省高考数学试卷解析

江苏省高考数学试卷解析

‎2012年江苏省高考数学试卷解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【主要错误】{2,4}，{1,6}。‎ ‎2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．‎ ‎【答案】15。‎ ‎【主要错误】24,25,20等。‎ ‎3．设，（i为虚数单位），则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】8。‎ ‎【主要错误】4，2，-4，5+3i，40/3，6，等。‎ ‎【分析】由得 ‎，所以，。‎ ‎4．下图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．‎ ‎【答案】5。‎ ‎【主要错误】4，10，1，3，等。‎ ‎【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：‎ 是否继续循环 k 循环前 ‎0‎ ‎0‎ 第一圈 是 ‎1‎ ‎0‎ 第二圈 是 ‎2‎ ‎－2‎ 第三圈 是 ‎3‎ ‎－2‎ 第四圈 是 ‎4‎ ‎0‎ 第五圈 是 ‎5‎ ‎4‎ 第六圈 否 输出5‎ ‎ ∴最终输出结果k=5。‎ ‎5．函数的定义域为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【主要错误】（0，6），，，等。‎ ‎【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 ‎。‎ ‎6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【主要错误】，，，，。‎ ‎【解析】∵以1为首项，-3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，‎ ‎ ∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。‎ ‎7．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 ▲ cm3．‎ ‎【答案】6。‎ ‎【主要错误】，3，，30。‎ ‎【解析】∵长方体底面是正方形，∴△中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。‎ ‎ ∴四棱锥的体积为。‎ ‎8．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则m的值为 ▲ ． ‎ ‎【答案】2。‎ ‎【主要错误】-2，5，3，1。‎ ‎【解析】由得。‎ ‎ ∴，即，解得。‎ ‎9．如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【主要错误】，，3，-2, ，2，-1，-等20余种。‎ ‎【解析】由，得，由矩形的性质，得。‎ ‎ ∵，∴，∴。∴。‎ ‎ 记之间的夹角为，则。‎ ‎ 又∵点E为BC的中点，∴。 ∴‎ ‎。‎ 本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。‎ ‎10．设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】-10。‎ ‎【主要错误】-2，-3，4，10，5等十余种。‎ ‎【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，‎ 即 ①‎ ‎ 又∵，，‎ ‎ ∴ ②‎ ‎ 联立①②，解得，。∴。‎ ‎11．设为锐角，若，则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】，。‎ ‎【主要错误】，，，，，等30余种。‎ ‎【解析】∵为锐角，即，∴。‎ ‎ ∵，∴。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ ‎12．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则K的最大值是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【主要错误】1，2，，，等。‎ ‎【解析】∵圆C的方程可化为：，∴圆C的圆心为 ‎，半径为1。‎ ‎∵由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点；‎ ‎∴存在，使得成立，即。‎ ‎∵即为点到直线的距离，∴，解得。‎ ‎∴的最大值是。‎ ‎13．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】9。‎ ‎【主要错误】1，2，3，4，7，6，等。‎ ‎【解析】由值域为，当时有，即， ‎ ‎∴。‎ ‎ ∴解得，。‎ ‎∵不等式的解集为，‎ ‎∴，解得。‎ ‎14．已知正数满足：‎ 则的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎【答案】。‎ ‎【主要错误】（0,1），[1,+∞)，(1, 2)， [0,7]，[1/e，e],(1，e) ，1，2。‎ ‎【解析】条件可化为：。‎ ‎ 设，则题目转化为：‎ 已知满足，求的取值范围。‎ ‎ 作出（）所在平面区域（如图）。求出的切线的斜率，设过切点的切线为，则，要使它最小，须。‎ ‎ ∴的最小值在处，为。此时，点在上之间。‎ ‎ 当（）对应点时， ，‎ ‎ ∴的最大值在处，为7。‎ ‎ ∴的取值范围为，即的取值范围是。‎ ‎【注】最小值e的主要求法：‎ ‎ 法一，‎ ‎ 。‎ ‎ 令，，导数法。‎ 法二，，令，则，，‎ ‎ ，令，则，‎ ‎ 驻点x=1，x>1; x<1‎ ‎ 故。‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．在中，已知．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若求A的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴，即。 ……2分 ‎ 由正弦定理，得，∴。……2分 又∵，∴。∴‎ 即。 ……2分 ‎ （2）∵ ，∴。‎ ‎∴。 ……2分 ‎ ∴，即。 ……2分 ‎∴。‎ ‎ 由 （1） ，得，解得。‎ ‎ ∵，∴。∴。 ……4分 ‎【典型错误】（1）①由结论分析，而又不按分析法书写。‎ ‎②∵，∴，即。‎ ‎ ∵AC=sinB，BC=sinA，∴，∴。‎ ‎③误用余弦定理。‎ ‎(2)典型解法近10种，除用正切公式的两种方法外，其余(如,正余弦加法公式、余弦定理等)方法得不偿失。‎ 解法的优化是关键。‎ ‎ ‎ ‎16．如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）直线平面．‎ 证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。‎ ‎ 又∵平面，∴。 ……3分 ‎ 又∵平面，‎ ‎∴平面。 ……3分 ‎ 又∵平面，∴平面平面。 ……2分 ‎ （2）∵，为的中点，∴。 ……2分 ‎ 又∵平面，且平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，，∴平面。‎ ‎ 由（1）知，平面，∴∥。 ……2分 ‎ 又∵平面平面，‎ ‎∴直线平面。 ……2分 ‎【典型错误】A.概念含混不清 由直三棱柱得到是直角三角形。‎ B.思维定势致错 由和直接得出，忽视了该命题在立体几何中并不一定成立。‎ C．想当然使用条件 在第(1)小题证明线面垂直时，不少考生直接根据图形的特点将点当作是的中点，从而得到，再由条件得出平面。（一般仅能得7分）‎ ‎17．如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为‎1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为‎3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．‎ 解：（1）在中，‎ 令，得。 ……2分 ‎ 由实际意义和题设条件知，， ……2分 ‎ ∴，当且仅当时取等号。‎ ‎ ∴炮的最大射程是10千米。 ……2分 ‎（2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使 成立， ……2分 即关于的方程有正根。 ……2分 ‎ 由得。 ……2分 ‎ 此时，（不考虑另一根）。‎ ‎ ∴当不超过‎6千米时，炮弹可以击中目标。 ……2分 ‎【考点】函数、方程和基本不等式的应用。‎ ‎【典型错误】（1）①说对称轴是，得0分。‎ ‎ ②由直接得，扣2分。‎ ‎ （2），，‎ ‎ 所以，… ‎ ‎（耗费大量时间，仅能得2分）‎ ‎18．若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。已知是实数，1和-1是函数的两个极值点．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）设函数的导函数，求的极值点；‎ ‎（3）设，其中，求函数的零点个数．‎ ‎【答案】解：（1）由，得。‎ ‎ ∵1和-1是函数的两个极值点，‎ ‎ ∴ ，，‎ 解得。 ……2分 ‎ （2）∵ 由（1）得， ，‎ ‎ ∴，‎ 解得。 ……2分 ‎ ∵当时，；当时，，‎ ‎ ∴是的极值点。 ……2分 ‎ ∵当或时，，∴ 不是的极值点。‎ ‎ ∴的极值点是－2。 ……2分 ‎（3）令，则。‎ 先讨论关于 的方程 根的情况：‎ 当时，由（ 2 ）可知，的两个不同的根为1 和-2 ，‎ ‎∵是奇函数，∴的两个不同的根为-1和2。……2分 当时，∵， ，‎ ‎∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。‎ 由（1）知。‎ ‎① 当时， ，于是是单调增函数，从而。此时在无实根。‎ ‎② 当时．，于是是单调增函数。‎ 又∵，，的图象不间断，‎ ‎∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。‎ 同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。‎ ‎③ 当时，，于是是单调减两数。‎ 又∵， ，的图象不间断，‎ ‎∴在（一1，1 ）内有唯一实根。‎ 因此，当时，有两个不同的根满足；当 时有三个不同的根，满足。‎ ‎……3分 现考虑函数的零点：‎ ‎( i ）当时，有两个根，满足。‎ 而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 ‎ 个零点。‎ ‎( ⅱ）当时，有三个不同的根，满足。‎ 而有三个不同的根，故有9 个零点。‎ 综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。 ……3分 ‎【典型错误】（2）∵ ，‎ ‎ ∴，解得。‎ ‎ 所以，极值点为1，-2。 （丢分情况严重）‎ ‎19．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．‎ ‎（i）若，求直线的斜率；‎ ‎（ii）求证：是定值．‎ ‎【答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得 ‎，∴。‎ 由点在椭圆上，得 ‎……2分 ‎∴椭圆的方程为。 ……2分 ‎（2）由（1）得，，又∵∥，‎ ‎∴设、的方程分别为，。‎ ‎∴。……2分 ‎∴。①‎ 同理，。②‎ （i） 由①②得，，解 ……2分 得=2。‎ ‎∵，∴，∴直线的斜率为。 ……2分 （i） 证明：∵∥，∴，‎ 即。 ‎ ‎∴。‎ 由点在椭圆上知，，∴。‎ 同理。。‎ ‎∴‎ 由①②得，，， ……4分 ‎∴。 ∴是定值。 ……2分 ‎【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。‎ ‎【典型状况】（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。计算错误严重。‎ ‎ （2）（ⅰ）根据已知条件，用待定系数法求解。‎ ‎ 含参式子的运算能力低。‎ 十几种方法中，利用直线的参数方程、椭圆的极坐标方程相对简单些，但最简单的莫过于向量法：‎ 设，则，由，得 ‎。‎ 又，故，，而，‎ 得，于是，。‎ 所以，。‎ ‎（ⅱ）平几知识欠缺，解答情况很差。‎ ‎20．已知各项均为正数的两个数列和满足：，，‎ ‎（1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎∴ 。‎ ‎∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎（2）∵，∴。‎ ‎∴。（﹡）‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ ∴综上所述，。∴，∴。‎ ‎ 又∵，∴是公比是的等比数列。‎ ‎ 若，则，于是。‎ ‎ 又由即，得。‎ ‎ ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。‎ ‎ ∴。 ∴ 。‎ ‎【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。‎ ‎【典型状况】（1）①写出而不知道给出结论。‎ ‎ ②写出了，不能进行下一步的变换。‎ ‎ ③根据前三项成等差，说明结论，不给分。‎ ‎ ④罗列几个条件下结论，不给分。‎ ‎ （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。凭感觉下结论。‎ 第（1）小题：32%得满分；5.4%得3分；62%得零分.在解决这个问题的过程中，约有40%的学生没有做（时间不够），在做这一问的学生中，主要错误有：①没有明确的证等差数列的方法，只是将两个条件轮流代换；②计算能力差，在代换过程中，出现了错误；③做成了，导致错误.‎ 第（2）小题：没有学生全对，主要得分包括：猜对答案2分；由利用累乘得出，2分；得出的范围，3分.‎ ‎]数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4 - 1：几何证明选讲] 如图，是圆的直径，为圆上位于异侧的两点，连结并延长至点，使，连结．‎ 求证：．‎ 证明：连接。‎ ‎ ∵是圆的直径，∴（直径所对的圆周角是直角）。‎ ‎ ∴（垂直的定义）。‎ ‎ 又∵，∴是线段的中垂线（线段的中垂线定义）。‎ ‎ ∴（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。‎ ‎ ∴（等腰三角形等边对等角的性质）。‎ ‎ 又∵为圆上位于异侧的两点，‎ ‎ ∴（同弧所对圆周角相等）。‎ ‎ ∴（等量代换）。‎ ‎【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。‎ ‎【解析】要证，就得找一个中间量代换，一方面考虑到是同弧所对圆周角，相等；另一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到。从而得证。‎ ‎ 本题还可连接，利用三角形中位线来求证。‎ B．[选修4 - 2：矩阵与变换] 已知矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值． ‎ 解：∵，∴。‎ ‎ ∵，∴。‎ ‎ ∴矩阵的特征多项式为。‎ ‎ 令，解得矩阵的特征值。‎ ‎【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。‎ ‎【解析】由矩阵的逆矩阵，根据定义可求出矩阵，从而求出矩阵的特征值。‎ C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．‎ ‎【答案】解：∵圆圆心为直线与极轴的交点，‎ ‎∴在中令，得。‎ ‎ ∴圆的圆心坐标为（1，0）。‎ ‎ ∵圆经过点，∴圆的半径为。‎ ‎ ∴圆经过极点。∴圆的极坐标方程为。‎ ‎【考点】直线和圆的极坐标方程。‎ ‎【解析】根据圆圆心为直线与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点求出圆的半径。从而得到圆的极坐标方程。‎ D．[选修4 - 5：不等式选讲] 已知实数x，y满足：求证：．‎ ‎【答案】证明：∵，‎ ‎ 由题设∴。∴。 ‎ ‎【考点】绝对值不等式的基本知识。‎ ‎【解析】根据绝对值不等式的性质求证。‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．‎ ‎ （1）求概率；‎ ‎ （2）求的分布列，并求其数学期望．‎ ‎【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，‎ ‎ ∴共有对相交棱。∴ 。‎ ‎ （2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，‎ ‎ ∴ ，。‎ ‎ ∴随机变量的分布列是：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎ ∴其数学期望。 ‎ ‎【考点】概率分布、数学期望等基础知识。‎ ‎【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率。‎ ‎ （2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出，从而求出（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量的分布列，求出其数学期望。‎ ‎23．设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：‎ ‎①；②若，则；③若，则。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的解析式（用表示）．‎ 解：（1）当时，符合条件的集合为：， ∴ =4。 ‎ ‎(2)任取偶数，将除以2 ，若商仍为偶数．再除以 ‎2 ，··· 经过次以后．商必为奇数．此时记商为。于是，其中为奇数。‎ 由条件知．若则为偶数；若，则为奇数。‎ 于是是否属于，由是否属于确定。‎ 设是中所有奇数的集合．因此等于的子集个数。‎ 当为偶数〔 或奇数）时，中奇数的个数是（）。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】集合的概念和运算，计数原理。‎ ‎【解析】（1）找出时，符合条件的集合个数即可。‎ ‎ （2）由题设，根据计数原理进行求解。‎