2019年江苏省高考数学试卷49650

2019年江苏省高考数学试卷49650

‎2019年江苏省高考数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝　 　．‎ ‎2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是　 　．‎ ‎3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是　 　．‎ ‎4．（5分）函数y＝的定义域是　 　．‎ ‎5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是　 　．‎ ‎6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　 　．‎ ‎7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是　 　．‎ ‎8．（5分）已知数列{an}（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是　 　．‎ ‎9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是　 　．‎ ‎10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是　 　．‎ ‎11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是　 　．‎ ‎12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是　 　．‎ ‎13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是　 　．‎ ‎14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是　 　．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．‎ ‎（1）若a＝3c，b＝，cosB＝，求c的值；‎ ‎（2）若＝，求sin（B+）的值．‎ ‎16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．‎ 求证：（1）A1B1∥平面DEC1；‎ ‎（2）BE⊥C1E．‎ ‎17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）求点E的坐标．‎ ‎18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．‎ ‎（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；‎ ‎（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；‎ ‎（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．‎ ‎19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．‎ ‎（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；‎ ‎（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；‎ ‎（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．‎ ‎20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．‎ ‎（1）已知等比数列{an}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{an}为“M﹣数列”；‎ ‎（2）已知数列{bn}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中Sn为数列{bn}的前n项和．‎ ‎①求数列{bn}的通项公式；‎ ‎②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{cn}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值．‎ ‎【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ ‎21．（10分）已知矩阵A＝．‎ ‎（1）求A2；‎ ‎（2）求矩阵A的特征值．‎ B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ ‎22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin（θ+）＝3．‎ ‎（1）求A，B两点间的距离；‎ ‎（2）求点B到直线l的距离．‎ C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）‎ ‎23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．‎ ‎【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．‎ ‎25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集An＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，Bn＝{（0，1）‎ ‎，（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令Mn＝An∪Bn∪∁n．从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．‎ ‎（1）当n＝1时，求X的概率分布；‎ ‎（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．‎ ‎2019年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝　{1，6}　．‎ ‎【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合．‎ ‎【分析】直接利用交集运算得答案．‎ ‎【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，‎ ‎∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．‎ 故答案为：{1，6}．‎ ‎【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．‎ ‎2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是　2　．‎ ‎【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 ‎【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值．‎ ‎【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，‎ ‎∴a﹣2＝0，即a＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是　5　．‎ ‎【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 x＝1，S＝0‎ S＝0.5‎ 不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5‎ 不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3‎ 不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5‎ 此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎4．（5分）函数y＝的定义域是　[﹣1，7]　．‎ ‎【考点】33：函数的定义域及其求法．菁优网版权所有 ‎【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．‎ ‎【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，‎ 解得：﹣1≤x≤7．‎ ‎∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．‎ 故答案为：[﹣1，7]．‎ ‎【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．‎ ‎5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是　　．‎ ‎【考点】BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计；65：数学运算．‎ ‎【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．‎ ‎【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：‎ ‎＝（6+7+8+8+9+10）＝8，‎ ‎∴该组数据的方差为：‎ S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　　．‎ ‎【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5I：概率与统计；65：数学运算．‎ ‎【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．‎ ‎【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，‎ 基本事件总数n＝＝10，‎ 选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：‎ m＝+＝7，‎ ‎∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．‎ ‎7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是　y＝　．‎ ‎【考点】KB：双曲线的标准方程．菁优网版权所有 ‎【专题】34：方程思想；4A：数学模型法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．‎ ‎【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），‎ ‎∴，解得b2＝2，即b＝．‎ 又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．‎ 故答案为：y＝．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．‎ ‎8．（5分）已知数列{an}（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是　16　．‎ ‎【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有 ‎【专题】33：函数思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 则，解得．‎ ‎∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．‎ 故答案为：16．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．‎ ‎9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是　10　．‎ ‎【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；64：直观想象．‎ ‎【分析】推导出＝AB×BC×DD1＝120，三棱锥E﹣BCD的体积：VE﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，‎ ‎∴＝AB×BC×DD1＝120，‎ ‎∴三棱锥E﹣BCD的体积：‎ VE﹣BCD＝‎ ‎＝‎ ‎＝×AB×BC×DD1‎ ‎＝10．‎ 故答案为：10．‎ ‎【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是　4　．‎ ‎【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 ‎【专题】33：函数思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．‎ ‎【分析】利用导数求平行于x+y＝0的直线与曲线y＝x+（x＞0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y＝0的距离的最小值．‎ ‎【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，‎ 设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），‎ 由，解得（x0＞0）．‎ ‎∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，‎ 最小值为．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．‎ ‎11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是　（e，1）　．‎ ‎【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 ‎【专题】33：函数思想；4A：数学模型法；52：导数的概念及应用．‎ ‎【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0即可．‎ ‎【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，‎ ‎∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，‎ ‎∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，‎ 即，则x0＝e．‎ ‎∴A点坐标为（e，1）．‎ 故答案为：（e，1）．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．‎ ‎12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE 交于点O．若•＝6•，则的值是　　．‎ ‎【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；4R：转化法；5A：平面向量及应用；62：逻辑推理；65：数学运算．‎ ‎【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合•＝6•得＝，进一步可得结果．‎ ‎【解答】解：设＝λ＝（），‎ ‎＝+＝+μ＝+μ（）‎ ‎＝（1﹣μ）+μ＝+μ ‎∴，∴，‎ ‎∴＝＝（），‎ ‎＝＝﹣+，‎ ‎6•＝6×（）×（﹣+）‎ ‎＝（++）‎ ‎＝++，‎ ‎∵•＝++，‎ ‎∴＝，∴＝3，‎ ‎∴＝．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．‎ ‎13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是　　．‎ ‎【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有 ‎【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．‎ ‎【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin（2α+）的值．‎ ‎【解答】解：由＝﹣，得，‎ ‎∴，解得tanα＝2或tan．‎ 当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，‎ ‎∴sin（2α+）＝＝；‎ 当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，‎ ‎∴sin（2α+）＝＝．‎ 综上，sin（2α+）的值是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．‎ ‎14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是　[，）　．‎ ‎【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．‎ ‎【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，‎ 由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；‎ 要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，‎ 则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，‎ 由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），‎ ‎∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，‎ ‎∴≤k＜．‎ 即k的取值范围为[，）．‎ 故答案为：[，）．‎ ‎【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．‎ ‎（1）若a＝3c，b＝，cosB＝，求c的值；‎ ‎（2）若＝，求sin（B+）的值．‎ ‎【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；HR：余弦定理．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；56：三角函数的求值；62：逻辑推理．‎ ‎【分析】（1）由余弦定理得：cosB＝＝＝，由此能求出c的值．‎ ‎（2）由＝，利用正弦定理得2sinB＝cosB，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sinB＝，cosB＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+）的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．‎ a＝3c，b＝，cosB＝，‎ ‎∴由余弦定理得：‎ cosB＝＝＝，‎ 解得c＝．‎ ‎（2）∵＝，‎ ‎∴由正弦定理得：，‎ ‎∴2sinB＝cosB，‎ ‎∵sin2B+cos2B＝1，‎ ‎∴sinB＝，cosB＝，‎ ‎∴sin（B+）＝cosB＝．‎ ‎【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．‎ 求证：（1）A1B1∥平面DEC1；‎ ‎（2）BE⊥C1E．‎ ‎【考点】L2：棱柱的结构特征；LS：直线与平面平行．菁优网版权所有 ‎【专题】14：证明题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；64：直观想象．‎ ‎【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．‎ ‎（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．‎ ‎【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，‎ ‎∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，‎ ‎∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，‎ ‎∴A1B1∥平面DEC1．‎ 解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．‎ ‎∴BE⊥AA1，BE⊥AC，‎ 又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，‎ ‎∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．‎ ‎【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2‎ ‎＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）求点E的坐标．‎ ‎【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】34：方程思想；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）由题意得到F1D∥BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）求出D的坐标，得到＝，写出BF2的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，‎ ‎∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，‎ ‎∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，‎ ‎∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，‎ 取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．‎ 又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．‎ ‎∴椭圆C的标准方程为；‎ ‎（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），‎ ‎∴＝，则BF2：y＝，‎ 联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．‎ 解得x1＝﹣1或（舍）．‎ ‎∴．‎ 即点E的坐标为（﹣1，﹣）．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF1∥BF2是解答该题的关键，是中档题．‎ ‎18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．‎ ‎（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；‎ ‎（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；‎ ‎（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．‎ ‎【考点】JE：直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆．‎ ‎【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）‎ 设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；‎ ‎（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；‎ ‎（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．‎ ‎【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，‎ AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，‎ 即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，‎ 以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）‎ ‎（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，‎ 则kBP•kAB＝﹣1，‎ 即•＝﹣1，‎ 解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；‎ ‎（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），‎ 则kQA•kAB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），‎ 由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，‎ 所以P，Q中不能有点选在D点；‎ ‎（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，‎ QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．‎ ‎【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．‎ ‎（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；‎ ‎（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；‎ ‎（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．‎ ‎【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 ‎【专题】32：分类讨论；34：方程思想；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．‎ ‎（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．‎ ‎（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝‎ ‎∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，通过计算化简即可证明结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，‎ ‎∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，‎ ‎∴4﹣a＝2，解得a＝2．‎ ‎（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．‎ 令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．‎ f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．‎ 令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．‎ ‎∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，‎ 若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．‎ a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．‎ a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．‎ a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．‎ a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．‎ a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．‎ 因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，‎ 可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．‎ f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．‎ 可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．‎ ‎（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，‎ f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．‎ f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．‎ ‎△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．‎ 令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．‎ 解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，‎ x1+x2＝，x1x2＝，‎ 可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，‎ ‎∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，‎ M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）‎ ‎＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2]‎ ‎＝＝，‎ ‎∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，‎ ‎∴M在x1∈（0，]上单调递减，‎ ‎∴M≤＝≤．‎ ‎∴M≤．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．‎ ‎（1）已知等比数列{an}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{an}为“M﹣数列”；‎ ‎（2）已知数列{bn}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中Sn为数列{bn}的前n项和．‎ ‎①求数列{bn}的通项公式；‎ ‎②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{cn}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值．‎ ‎【考点】8K：数列与不等式的综合．菁优网版权所有 ‎【专题】15：综合题；35：转化思想；4F：归纳法；4M：构造法；53：导数的综合应用；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法；5T：不等式．‎ ‎【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，然后根据a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0列方程求解，在根据新定义判断即可；‎ ‎（2）求出b2，b3，b4猜想bn，然后用数学归纳法证明；‎ ‎（3）设{cn}的公比为q，将问题转化为，然后构造函数f（x）＝，g（x）＝，‎ 分别求解其最大值和最小值，最后解不等式，即可．‎ ‎【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则 由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得 ‎∴，‎ ‎∴数列{an}首项为1且公比为正数 即数列{an}为“M﹣数列”；‎ ‎（2）①∵b1＝1，＝﹣，‎ ‎∴当n＝1时，，∴b2＝2，‎ 当n＝2时，，∴b3＝3，‎ 当n＝3时，，∴b4＝4，‎ 猜想bn＝n，下面用数学归纳法证明；‎ ‎（i）当n＝1时，b1＝1，满足bn＝n，‎ ‎（ii）假设n＝k时，结论成立，即bk＝k，则n＝k+1时，‎ 由，得 ‎＝＝k+1，‎ 故n＝k+1时结论成立，‎ 根据（i）（ii）可知，bn＝n对任意的n∈N*都成立．‎ 故数列{bn}的通项公式为bn＝n；‎ ‎②设{cn}的公比为q，‎ 存在“M﹣数列”{cn}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有ck≤bk≤ck+1成立，‎ 即qk﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，‎ 当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，‎ 当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，‎ 即，‎ 令f（x）＝，则，‎ 当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，‎ ‎∴当k≥3时，，‎ 令g（x）＝，则，‎ 令，则，‎ 当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，‎ ‎∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，‎ 即k≥3时，，则 ‎，‎ 下面求解不等式，‎ 化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，‎ 令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，‎ 由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，‎ 又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，‎ ‎∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，‎ ‎∴m的最大值为5，此时q∈，．‎ ‎【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．‎ ‎【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ ‎21．（10分）已知矩阵A＝．‎ ‎（1）求A2；‎ ‎（2）求矩阵A的特征值．‎ ‎【考点】O1：二阶矩阵；OV：特征值与特征向量的计算．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；5R：矩阵和变换．‎ ‎【分析】（1）根据矩阵A直接求解A2即可；‎ ‎（2）矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，解方程f（λ）＝0即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵A＝‎ ‎∴A2＝‎ ‎＝‎ ‎（2）矩阵A的特征多项式为：‎ f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，‎ 令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得 λ＝1或λ＝4，‎ ‎∴矩阵A的特征值为1或4．‎ ‎【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题．‎ B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ ‎22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin（θ+）＝3．‎ ‎（1）求A，B两点间的距离；‎ ‎（2）求点B到直线l的距离．‎ ‎【考点】Q6：极坐标刻画点的位置．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（1）设极点为O，则由余弦定理可得，解出AB；‎ ‎（2）根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离．‎ ‎【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得 AB2＝OA2+OB2﹣2OA，‎ ‎∴AB＝＝；‎ ‎（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知 直线l过（3，），倾斜角为，‎ 又B（，），‎ ‎∴点B到直线l的距离为．‎ ‎【点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题．‎ C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）‎ ‎23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．‎ ‎【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 ‎【专题】59：不等式的解法及应用；5T：不等式．‎ ‎【分析】对|x|+|2x﹣1|去绝对值，然后分别解不等式即可．‎ ‎【解答】解：|x|+|2x﹣1|＝，‎ ‎∵|x|+|2x﹣1|＞2，‎ ‎∴或或，‎ ‎∴x＞1或x∈∅或x＜﹣，‎ ‎∴不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}．‎ ‎【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．‎ ‎【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．‎ ‎【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；48：分析法；5P：二项式定理．‎ ‎【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n的值；‎ ‎（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；‎ 方法二、由于a，b∈N*，求得（1﹣）5＝a﹣b，再由平方差公式，计算可得所求值．‎ ‎【解答】解：（1）由（1+x）n＝C+Cx+Cx2+…+Cxn，n≥4，‎ 可得a2＝C＝，a3＝C＝，a4＝C＝，‎ a32＝2a2a4，可得（）2＝2••，‎ 解得n＝5；‎ ‎（2）方法一、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，‎ 由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，‎ 可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；‎ 方法二、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，‎ ‎（1﹣）5＝C+C（﹣）+C（﹣）2+C（﹣）3+C（﹣）4+C（﹣）5‎ ‎＝C﹣C+C（）2﹣C（）3+C（）4﹣C（）5，‎ 由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，‎ 可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．‎ ‎25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集An＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，Bn＝{（0，1）‎ ‎，（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令Mn＝An∪Bn∪∁n．从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．‎ ‎（1）当n＝1时，求X的概率分布；‎ ‎（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．‎ ‎【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 ‎【专题】38：对应思想；48：分析法；5I：概率与统计；62：逻辑推理．‎ ‎【分析】（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；‎ ‎（2）设A（a，b）和B（c，d）是从Mn中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，‎ X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X＝）＝＝；‎ P（X＝2）＝＝；P（X＝）＝＝；‎ ‎（2）设A（a，b）和B（c，d）是从Mn中取出的两个点，‎ 因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，‎ ‎①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；‎ ‎②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，‎ 此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；‎ ‎③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，‎ 此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；‎ ‎④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，‎ 此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；‎ 综上可得当X＞n，X的所有值是或，‎ 且P（X＝）＝，P（X＝）＝，‎ 可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．‎ ‎【点评】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/6 10:11:47；用户：qgjyuser10203；邮箱：qgjyuser10203.21957750；学号：21985209‎