衢州中考数学试题与答案

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衢州中考数学试题与答案

浙江省2011年初中毕业生学业考试(衢州卷)‎ 数学 参考公式:二次函数图象的顶点坐标是.‎ 一、选择题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分,请选出一个符合题意的正确的选项填涂在答题纸上,不选、多选、错选均不给分)‎ ‎1、数的相反数为( )‎ A、2 B、 C、 D、‎ ‎2、衢州市“十二五”规划纲要指出,力争到2015年,全市农民人均年纯收入超13000元,数13000用科学记数法可以表示为( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3、在九年级体育中考中,某校某班参加仰卧起坐测试的一组女生(每组8人)测试成绩如下(单位:次/分):44,45,42,48,46,43,47,45.则这组数据的极差为( )‎ A、2 B、4 C、6 D、8‎ ‎4、如下图,下列几何体的俯视图是右面所示图形的是( )‎ ‎(第4题)‎ A B C D E F G ‎5、衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜,‎ 如图为一农村民居侧面截图,屋坡AF、AG分别架 在墙体的点B、点C处,且AB=AC,侧面四边形 BDEC为矩形,则∠FBD=( )‎ ‎(第5题)‎ A、35° B、40° ‎ C、55° D、70°‎ O A PO Q M N ‎6、如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的 一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为( )‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎7、5月19日为中国旅游日,衢州推出“读万卷书,行万里 路,游衢州景”的主题系列旅游惠民活动,市民王先生准备 ‎(第6题)‎ 在优惠日当天上午从孔氏南宗家庙、烂柯山、龙游石窟中随 机选择一个地点;下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中 A B C D O 随机选择一个地点游玩,则王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙,‎ 下午选中江郎山这两个地的概率是( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎(第8题)‎ ‎8、一个圆形人工湖如图所示,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB 长100m,测得圆周角∠ACB=45°,则这个人工湖的直径AD为( )‎ A、 B、 C、 D、‎ 小亮家 学校 ‎9、小亮同学骑车上学,路上要经过平路、下坡、上坡和平路(如图),若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为,,,<<,则小亮同学骑车上学时,离家的路程s与所用时间t的函数关系图象可能是( )‎ ‎(第9题)‎ s s s s D、‎ O t C、‎ O t B、‎ O t O t A、‎ ‎10、如图,一张半径为1的圆形纸片在边长为a()的正方形内 任意移动,则该正方形内,这张圆形纸片“不能接触到的部分”的 面积是( )‎ ‎(第10题)‎ A、 B、‎ C、 D、‎ 二、填空题(本大题共有6小题,每小题4分,共24分,请将答案填在答题纸上)‎ ‎11、方程的解为___________________;‎ ‎12、如图,直尺一边AB与量角器的零刻度线CD平行,若量角 器的一条刻度线OF的读数为70°,OF与AB交于点E,‎ ‎(第12题)‎ 那么∠AEF=___________‎ 北 A B C ‎60°‎ ‎30°‎ ‎13、在一资助夏令营活动中,小明同学从营地A出发,要到A地 的北偏东60°方向的C处,他先沿正东方向走了200m到达B地,‎ 再沿北偏东30°方向走,恰能到达目的地C(如图),那么,由此 ‎(第13题)‎ 可知,B、C两地相距___________m。‎ ‎14、下列材料来自2006年5月衢州有关媒体的真实报道:有关部 门进行民众安全感满意度调查,方法是:在全市内采用等距抽样,抽取32个小区,共960户,每户抽一名年满16周岁并能清楚表达意见的人,同时,对比前一年的调查结果,得到统计图如下:‎ A B O C D x y 写出2005年民众安全感满意度的众数选项是_______________;该统计表存在一个明显的错误是________________________;‎ ‎15、在直角坐标系中,有如图所示的Rt△ABO,AB⊥x轴于 ‎(第15题)‎ 点B,斜边AO=10,sin∠AOB=,反比例函数 A C B O 的图象经过AO的中点C,且与AB交于点D,则点D的坐标 为_________________;‎ ‎16、木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r,用角尺 的较短边紧靠⊙O,并使较长边与⊙O相勤勤恳恳于点C,假 设角尺的较长边足够多,角尺的顶点为B,较短边AB=8cm,‎ ‎(第16题)‎ 若读得BC长为acm,则用含a的代数式表示r 为_________________________‎ 三、解答题(本大题共有8小题,共66分,请将答案写在答题纸上,务必写出解答过程)‎ ‎17、(本题8分)‎ ‎(1)计算:‎ ‎(2)化简:‎ ‎18、(本题6分)‎ 解不等式,并把解在数轴上表示出来。‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎19、(本题6分)‎ 有足够多的长方形和正方形卡片,如下图:‎ a a b b b a ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张,可拼成一个长方形(不重叠无缝隙),请画出这个长方形的草图,并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义。‎ 这个长方形的代数意义是______________________________________________________‎ ‎(2)小明想用类似方法解释多项式乘法,那么需用2号卡片___________张,3号卡片_______________张;‎ ‎20、(本题6分)‎ 研究问题:一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球,怎样估算不同颜色球的数量?‎ 操作方法:先从盒中摸出8个球,画上记号放回盒中,再进行摸球实验,摸球实验的要求:先搅拌均匀,每次摸出一个球,放回盒中,再继续。‎ 活动结果:摸球实验活动一共做了50次,统计结果如下表:‎ 球的颜色 无记号 有记号 红色 黄色 红色 黄色 摸到的次数 ‎18‎ ‎28‎ ‎2‎ ‎2‎ 推测计算:由上述的摸球实验可推算:‎ ‎(1)盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少?‎ ‎(2)盒中有红球多少个?‎ ‎21、(本题8分)‎ 某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系,每盆植入3株时,平均单株盈利3元,以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元,要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?‎ 小明的解法如下:‎ 解:设每盆花苗增加x株,则每盆花苗有(x+3)株,平均单株盈利为元,由题意 得 化简,整理得:‎ 解这个方程,得:,,‎ 答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植入4株或5株.‎ ‎(1)本题涉及的主要数量有每盆花苗株数,平均单株盈利,每盆花苗的盈利等,请写出两个不同的等量关系:‎ ‎__________________________________________________________________‎ A B C D E O ‎(2)请用一种与小明不相同的方法求解上述问题。‎ ‎22、(本题10分)‎ 如图,△ABC中,AD是边BC上的中线,过点A作AE∥BC,‎ 过点D作DE∥AB,DE与AC、AE分别交于点O、点E,连结EC。‎ A B C D E F A B C M N P Q ‎(1)求证:AD=EC;‎ ‎(第22题)‎ ‎(2)当∠BAC=Rt∠时,求证:四边形ADCE是菱形;‎ ‎23、(本题10分)‎ ‎△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=Rt∠,AC=BC=2,‎ ‎(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种 甲 剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形 ‎(第23题)图1‎ 面积大?请说明理由。‎ ‎(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为;‎ 按照甲种剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分别剪取正方 形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正 乙 方形面积和为(如图2),则;再在余下的四个 三角形中,用同样方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形面积和为,继续操作下去……,则第10次剪取时,;‎ ‎(3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和。‎ A B C D E F A B C D E 图3‎ 图2‎ A B C D K E F O y x ‎24、(本题12分)‎ 已知两直线,分别经过点A(1,0),点B,‎ 并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时,恰好有 ‎,经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线 交于点K,如图所示。‎ ‎(1)求点C的坐标,并求出抛物线的函数解析式;‎ ‎(第24题)‎ ‎(2)抛物线的对称轴被直线,抛物线,直线和x轴 依次截得三条线段,问这三条线段有何数量关系?请说明理由。‎ ‎(3)当直线绕点C旋转时,与抛物线的另一个交点为M,请找出使△MCK为等腰三角形的点M,简述理由,并写出点M的坐标。‎ 浙江省2011年初中毕业生学业考试(衢州卷)‎ 数学参考答案 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 A B C A C B A B C D 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)‎ ‎11、 12、70 13、200 ‎ ‎14、安全;2004年满意度统计选项总和不到100%‎ ‎15、(,)‎ ‎16、当,;,;‎ 或,;,;‎ 三、(本大题共8小题,第17小题8分,第18、19、20小题各6分,第21题8分,第22、23小题各10分,第24小题12分,共66分)‎ ‎17、解:(1)原式=‎ ‎ ‎ ‎ (2)原式=‎ ‎ =‎ ‎ =2‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎18、解:去分母,得 ‎ 整理,得 ‎ ‎ ‎19、解:(1)‎ 或 ‎(2)需用2号卡片 3 张,3号卡片 7 张。‎ ‎20、解:(1)由题意可知,50次摸球实验活动中,出现红球20次,黄球30次,‎ ‎∴红球所占百分比为2050=40%;‎ 黄球所占百分比为3050=60%;‎ 答:红球占40%,黄球占60%。‎ ‎(2)由题意可知,50次摸球实验活动中,出现有记号的球4次,‎ ‎∴总球数为 ‎∴红球数为 答:盒中红球有40个 ‎21、解:(1)平均单株盈利株数=每盆盈利 ‎ 平均单株盈利=每盆增加的株数 ‎ 每盆的株数=3+每盆增加的株数 ‎ (2)解法1(列表法)‎ 每盆植入株数 平均单株盈利(元)‎ 每盆盈利(元)‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎2.5‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎1.5‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎ 答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植入4株或5株;‎ ‎ 解法2(图象法)‎ 单株盈利(元)‎ ‎3‎ ‎2.5‎ ‎2‎ ‎1.5‎ ‎1‎ ‎0.5‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎(3,3)‎ ‎(4,2.5)‎ ‎(5,2)‎ ‎(6,1.5)‎ ‎(7,1)‎ 株数 ‎ 如图,纵轴表示平均单株盈利,横轴表示株数,则相应长方形面积表示每盆盈利。‎ ‎ 从图象可知,每盆植入4株或5株时,相应长方形面积都是10‎ ‎ 答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植入4株或5株。‎ ‎ 解法3(函数法)‎ ‎ 解:设每盆花苗增加x,每盆的盈利为y元,根据题意得可得:‎ ‎ ‎ ‎ 当y=10时,‎ ‎ 解这个方程得:,‎ ‎ 答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植入4或5株;‎ ‎ 解法4(列分式方程)‎ ‎ 解:设每盆花苗增加x株时,每盆盈利10元,根据题意,得:‎ ‎ ‎ 解这个方程得:,‎ 经检验,,都是所列方程的解 ‎ 答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植入4或5株;‎ ‎22、(1)解法1‎ ‎ 证明:∵DE∥AB,AE∥BC,‎ ‎ ∴四边形ABDE是平行四边形,‎ ‎ ∴AE∥BD,且AE=BD ‎ 又∵AD是BC边上的中线,‎ ‎ ∴BD=CD ‎ ∴AE∥CD,且AE=CD ‎ ∴四边形ADCE是平行四边形 ‎ ∴AD=CE ‎ 解法2‎ ‎ 证明:∵DE∥AB,AE∥BC ‎ ∴四边形ABDE是平行四边形,∠B=∠EDC ‎ ∴AB=DE ‎ 又∵AD是BC边上的中线 ‎ ∴BD=CD ‎ ∴△ABD≌△EDC(SAS)‎ ‎ ∴AD=EC ‎ (2)解法1‎ ‎ 证明:∵∠BAC=Rt∠,AD上斜边BC上的中线,‎ ‎ ∴AD=BD=CD ‎ 又∵四边形ADCE是平行四边形 ‎ ∴四边形ADCE是菱形 ‎ 解法2‎ ‎ 证明:∵DE∥AB,∠BAC=Rt∠,‎ ‎ ∴DE⊥AC ‎ 又∵四边形ADCE是平行四边形 ‎ ∴四边形ADCE是菱形 ‎ 解法3‎ ‎ 证明:∵∠BAC=Rt∠,AD是斜边BC上的中线,‎ ‎ ∴AD=BD=CD ‎ 又∵AD=EC ‎ ∴AD=CD=CE=AE ‎ ∴四边形ADCE是菱形 ‎ (3)解法1‎ ‎ 解:∵四边形ADCE是菱形 ‎ ∴AO=CO,∠ADO=90°,‎ ‎  又∵BD=CD ‎ ∴OD是△ABC的中位线,则 ‎ ∵AB=AO ‎ ∴‎ ‎ ∴在Rt△AOD中,‎ ‎ 解法2‎ ‎ 解:∵四边形ADCE是菱形 ‎ ∴AO=CO=,AD=CD,∠AOD=90°,‎ ‎ ∵AB=AO ‎ ∴AB=‎ ‎ ∴在Rt△ABC中,‎ ‎ ∵AD=CD,‎ ‎ ∴∠DAC=∠DCA ‎ ∴‎ ‎23、(1)解法1:如图甲,由题意,得AE=DE=EC,即EC=1,‎ ‎ 如图乙,设MN=x,则由题意,得AM=MQ=PN=NB=MN=x,‎ ‎ ∴,解得 ‎ ∴‎ ‎ 又∵‎ ‎ ∴甲种剪法所得的正方形面积更大。‎ ‎ 说明:图甲可另解为:由题意得点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点,‎ ‎ 解法2:如图甲,由题意得AE=DE=EC,即EC=1‎ ‎ 如图乙,设MN=x,则由题意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x,‎ ‎ ∴,解得 ‎ 又∵,即 ‎ ∴甲种剪法所得的正方形面积更大。‎ ‎(2) ‎ ‎(3)解法1:探索规律可知:‎ ‎ 剩余三角形面积和为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解法2:由题意可知,‎ ‎ 第一次剪取后剩余三角形面积和为 ‎ 第二次剪取后剩余三角形面积和为 ‎ 第三次剪取后剩余三角形面积和为 ‎ ……‎ ‎ 第十次剪取后剩余三角形面积和为 ‎24、(1)解法1:由题意易知:△BOC∽△COA ‎ ∴,即 ‎ ∴‎ ‎ ∴点C的坐标是(0,)‎ ‎ 由题意,可设抛物线的函数解析式为 ‎ 把A(1,0),B(,0)的坐标分别代入,得 ‎ ‎ ‎ 解这个方程组,得 ‎ ∴抛物线的函数解析式为 ‎ 解法2:由勾股定理,得 ‎ 又∵OB=3,OA=1,AB=4‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴点C的坐标是(0,)‎ ‎ 由题意可设抛物线的函数解析式为,把C(0,)代入 ‎ 函数解析式得 ‎ 所以,抛物线的函数解析式为 ‎(2)解法1:截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF ‎ 理由如下:‎ ‎ 可求得直线的解析式为,直线的解析式为 ‎ 抛物线的对称轴为直线 ‎ 由此可求得点K的坐标为(,),点D的坐标为(,),点E的坐标为(,),点F的坐标为(,0)‎ ‎ ∴KD=,DE=,EF=‎ ‎ ∴KD=DE=EF 解法2:截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF ‎ 理由如下:‎ ‎ 由题意可知Rt△ABC中,∠ABC=30°,∠CAB=60°,则可得 ‎ ,,‎ ‎ 由顶点D坐标(,)得 ‎ ∴KD=DE=EF=‎ ‎(3)解法1:(i)以点K为圆心,线段KC长为半径画圆弧,交抛物线于点,由抛物线对称性可知点为点C关于直线的对称点 ‎ ∴点的坐标为(,),此时△为等腰三角形 ‎ (ii)当以点C为圆心,线段CK长为半径画圆弧时,与抛物线交点为点和点A,而三点A、C、K在同一直线上,不能构成三角形 ‎ (iii)作线段KC的中垂线l,由点D是KE的中点,且,可知l经过点D,‎ ‎ ∴KD=DC ‎ 此时,有点即点D坐标为(,),使△为等腰三角形;‎ ‎ 综上所述,当点M的坐标分别为(,),(,)时,△MCK为等腰三角形。‎ 解法2:当点M的坐标分别为(,),(,)时,△MCK为等腰三角形。‎ ‎ 理由如下:‎ ‎ (i)连接BK,交抛物线于点G,易知点G的坐标为(,)‎ ‎ 又∵点C的坐标为(0,),则GC∥AB ‎ ∵可求得AB=BK=4,且∠ABK=60°,即△ABK为正三角形 ‎ ∴△CGK为正三角形 ‎ ∴当与抛物线交于点G,即∥AB时,符合题意,此时点的坐标为(,)‎ ‎ (ii)连接CD,由KD=,CK=CG=2,∠CKD=30°,易知△KDC为等腰三角形 ‎ ∴当过抛物线顶点D时,符合题意,此时点坐标为(,)‎ ‎ (iii)当点M在抛物线对称轴右边时,只有点M与点A重合时,满足CM=CK,但点 A、C、K在同一直线上,不能构成三角形 ‎ 综上所述,当点M的坐标分别为(,),(,)时,△MCK为等腰三 角形。‎
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