衢州中考数学试题与答案

衢州中考数学试题与答案

浙江省2011年初中毕业生学业考试(衢州卷)‎ 数学 参考公式：二次函数图象的顶点坐标是.‎ 一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请选出一个符合题意的正确的选项填涂在答题纸上，不选、多选、错选均不给分)‎ ‎1、数的相反数为( )‎ A、2 B、 C、 D、‎ ‎2、衢州市“十二五”规划纲要指出，力争到2015年，全市农民人均年纯收入超13000元，数13000用科学记数法可以表示为( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3、在九年级体育中考中，某校某班参加仰卧起坐测试的一组女生(每组8人)测试成绩如下(单位：次/分)：44，45，42，48，46，43，47，45.则这组数据的极差为( )‎ A、2 B、4 C、6 D、8‎ ‎4、如下图，下列几何体的俯视图是右面所示图形的是( )‎ ‎(第4题)‎ A B C D E F G ‎5、衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，‎ 如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF、AG分别架 在墙体的点B、点C处，且AB=AC，侧面四边形 BDEC为矩形，则∠FBD=( )‎ ‎(第5题)‎ A、35° B、40° ‎ C、55° D、70°‎ O A PO Q M N ‎6、如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的 一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为( )‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎7、5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里 路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备 ‎(第6题)‎ 在优惠日当天上午从孔氏南宗家庙、烂柯山、龙游石窟中随 机选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中 A B C D O 随机选择一个地点游玩，则王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙，‎ 下午选中江郎山这两个地的概率是( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎(第8题)‎ ‎8、一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为( )‎ A、 B、 C、 D、‎ 小亮家 学校 ‎9、小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路(如图)，若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为，，，<<，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s与所用时间t的函数关系图象可能是( )‎ ‎(第9题)‎ s s s s D、‎ O t C、‎ O t B、‎ O t O t A、‎ ‎10、如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a()的正方形内 任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的 面积是( )‎ ‎(第10题)‎ A、 B、‎ C、 D、‎ 二、填空题(本大题共有6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在答题纸上)‎ ‎11、方程的解为___________________；‎ ‎12、如图，直尺一边AB与量角器的零刻度线CD平行，若量角 器的一条刻度线OF的读数为70°，OF与AB交于点E，‎ ‎(第12题)‎ 那么∠AEF=___________‎ 北 A B C ‎60°‎ ‎30°‎ ‎13、在一资助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地 的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，‎ 再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，那么，由此 ‎(第13题)‎ 可知，B、C两地相距___________m。‎ ‎14、下列材料来自2006年5月衢州有关媒体的真实报道：有关部 门进行民众安全感满意度调查，方法是：在全市内采用等距抽样，抽取32个小区，共960户，每户抽一名年满16周岁并能清楚表达意见的人，同时，对比前一年的调查结果，得到统计图如下：‎ A B O C D x y 写出2005年民众安全感满意度的众数选项是_______________；该统计表存在一个明显的错误是________________________；‎ ‎15、在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于 ‎(第15题)‎ 点B，斜边AO＝10，sin∠AOB=，反比例函数 A C B O 的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则点D的坐标 为_________________；‎ ‎16、木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r，用角尺 的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相勤勤恳恳于点C，假 设角尺的较长边足够多，角尺的顶点为B，较短边AB=8cm，‎ ‎(第16题)‎ 若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r 为_________________________‎ 三、解答题(本大题共有8小题，共66分，请将答案写在答题纸上，务必写出解答过程)‎ ‎17、(本题8分)‎ ‎(1)计算：‎ ‎(2)化简：‎ ‎18、(本题6分)‎ 解不等式，并把解在数轴上表示出来。‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎19、(本题6分)‎ 有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：‎ a a b b b a ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义。‎ 这个长方形的代数意义是______________________________________________________‎ ‎(2)小明想用类似方法解释多项式乘法，那么需用2号卡片___________张，3号卡片_______________张；‎ ‎20、(本题6分)‎ 研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？‎ 操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验，摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续。‎ 活动结果：摸球实验活动一共做了50次，统计结果如下表：‎ 球的颜色 无记号 有记号 红色 黄色 红色 黄色 摸到的次数 ‎18‎ ‎28‎ ‎2‎ ‎2‎ 推测计算：由上述的摸球实验可推算：‎ ‎(1)盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？‎ ‎(2)盒中有红球多少个？‎ ‎21、(本题8分)‎ 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元，以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？‎ 小明的解法如下：‎ 解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，平均单株盈利为元，由题意 得 化简，整理得：‎ 解这个方程，得：，，‎ 答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株.‎ ‎(1)本题涉及的主要数量有每盆花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利等，请写出两个不同的等量关系：‎ ‎__________________________________________________________________‎ A B C D E O ‎(2)请用一种与小明不相同的方法求解上述问题。‎ ‎22、(本题10分)‎ 如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，‎ 过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC。‎ A B C D E F A B C M N P Q ‎(1)求证：AD=EC；‎ ‎(第22题)‎ ‎(2)当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形；‎ ‎23、(本题10分)‎ ‎△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，‎ ‎(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种 甲 剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形 ‎(第23题)图1‎ 面积大？请说明理由。‎ ‎(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为；‎ 按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方 形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正 乙 方形面积和为(如图2)，则；再在余下的四个 三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为，继续操作下去……，则第10次剪取时，；‎ ‎(3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和。‎ A B C D E F A B C D E 图3‎ 图2‎ A B C D K E F O y x ‎24、(本题12分)‎ 已知两直线，分别经过点A(1，0)，点B，‎ 并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有 ‎，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线 交于点K，如图所示。‎ ‎(1)求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；‎ ‎(第24题)‎ ‎(2)抛物线的对称轴被直线，抛物线，直线和x轴 依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。‎ ‎(3)当直线绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标。‎ 浙江省2011年初中毕业生学业考试(衢州卷)‎ 数学参考答案 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 A B C A C B A B C D 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)‎ ‎11、 12、70 13、200 ‎ ‎14、安全；2004年满意度统计选项总和不到100%‎ ‎15、(，)‎ ‎16、当，；，；‎ 或，；，；‎ 三、(本大题共8小题，第17小题8分，第18、19、20小题各6分，第21题8分，第22、23小题各10分，第24小题12分，共66分)‎ ‎17、解：(1)原式=‎ ‎ ‎ ‎ (2)原式=‎ ‎ =‎ ‎ =2‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎18、解：去分母，得 ‎ 整理，得 ‎ ‎ ‎19、解：(1)‎ 或 ‎(2)需用2号卡片 3 张，3号卡片 7 张。‎ ‎20、解：(1)由题意可知，50次摸球实验活动中，出现红球20次，黄球30次，‎ ‎∴红球所占百分比为2050=40%；‎ 黄球所占百分比为3050=60%；‎ 答：红球占40%，黄球占60%。‎ ‎(2)由题意可知，50次摸球实验活动中，出现有记号的球4次，‎ ‎∴总球数为 ‎∴红球数为 答：盒中红球有40个 ‎21、解：(1)平均单株盈利株数=每盆盈利 ‎ 平均单株盈利=每盆增加的株数 ‎ 每盆的株数=3+每盆增加的株数 ‎ (2)解法1(列表法)‎ 每盆植入株数 平均单株盈利(元)‎ 每盆盈利(元)‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎2.5‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎1.5‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎ 答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株；‎ ‎ 解法2(图象法)‎ 单株盈利(元)‎ ‎3‎ ‎2.5‎ ‎2‎ ‎1.5‎ ‎1‎ ‎0.5‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎(3，3)‎ ‎(4，2.5)‎ ‎(5，2)‎ ‎(6，1.5)‎ ‎(7，1)‎ 株数 ‎ 如图，纵轴表示平均单株盈利，横轴表示株数，则相应长方形面积表示每盆盈利。‎ ‎ 从图象可知，每盆植入4株或5株时，相应长方形面积都是10‎ ‎ 答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株。‎ ‎ 解法3(函数法)‎ ‎ 解：设每盆花苗增加x，每盆的盈利为y元，根据题意得可得：‎ ‎ ‎ ‎ 当y=10时，‎ ‎ 解这个方程得：，‎ ‎ 答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4或5株；‎ ‎ 解法4(列分式方程)‎ ‎ 解：设每盆花苗增加x株时，每盆盈利10元，根据题意，得：‎ ‎ ‎ 解这个方程得：，‎ 经检验，，都是所列方程的解 ‎ 答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4或5株；‎ ‎22、(1)解法1‎ ‎ 证明：∵DE∥AB，AE∥BC，‎ ‎ ∴四边形ABDE是平行四边形，‎ ‎ ∴AE∥BD，且AE=BD ‎ 又∵AD是BC边上的中线，‎ ‎ ∴BD=CD ‎ ∴AE∥CD，且AE=CD ‎ ∴四边形ADCE是平行四边形 ‎ ∴AD=CE ‎ 解法2‎ ‎ 证明：∵DE∥AB，AE∥BC ‎ ∴四边形ABDE是平行四边形，∠B=∠EDC ‎ ∴AB=DE ‎ 又∵AD是BC边上的中线 ‎ ∴BD=CD ‎ ∴△ABD≌△EDC(SAS)‎ ‎ ∴AD=EC ‎ (2)解法1‎ ‎ 证明：∵∠BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线，‎ ‎ ∴AD=BD=CD ‎ 又∵四边形ADCE是平行四边形 ‎ ∴四边形ADCE是菱形 ‎ 解法2‎ ‎ 证明：∵DE∥AB，∠BAC=Rt∠，‎ ‎ ∴DE⊥AC ‎ 又∵四边形ADCE是平行四边形 ‎ ∴四边形ADCE是菱形 ‎ 解法3‎ ‎ 证明：∵∠BAC=Rt∠，AD是斜边BC上的中线，‎ ‎ ∴AD=BD=CD ‎ 又∵AD=EC ‎ ∴AD=CD=CE=AE ‎ ∴四边形ADCE是菱形 ‎ (3)解法1‎ ‎ 解：∵四边形ADCE是菱形 ‎ ∴AO=CO，∠ADO=90°,‎ ‎  又∵BD=CD ‎ ∴OD是△ABC的中位线，则 ‎ ∵AB=AO ‎ ∴‎ ‎ ∴在Rt△AOD中，‎ ‎ 解法2‎ ‎ 解：∵四边形ADCE是菱形 ‎ ∴AO=CO=，AD=CD，∠AOD=90°，‎ ‎ ∵AB=AO ‎ ∴AB=‎ ‎ ∴在Rt△ABC中，‎ ‎ ∵AD=CD，‎ ‎ ∴∠DAC=∠DCA ‎ ∴‎ ‎23、(1)解法1：如图甲，由题意，得AE=DE=EC，即EC=1，‎ ‎ 如图乙，设MN=x，则由题意，得AM=MQ=PN=NB=MN=x，‎ ‎ ∴，解得 ‎ ∴‎ ‎ 又∵‎ ‎ ∴甲种剪法所得的正方形面积更大。‎ ‎ 说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，‎ ‎ 解法2：如图甲，由题意得AE=DE=EC，即EC=1‎ ‎ 如图乙，设MN=x，则由题意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x，‎ ‎ ∴，解得 ‎ 又∵，即 ‎ ∴甲种剪法所得的正方形面积更大。‎ ‎(2) ‎ ‎(3)解法1：探索规律可知：‎ ‎ 剩余三角形面积和为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解法2：由题意可知，‎ ‎ 第一次剪取后剩余三角形面积和为 ‎ 第二次剪取后剩余三角形面积和为 ‎ 第三次剪取后剩余三角形面积和为 ‎ ……‎ ‎ 第十次剪取后剩余三角形面积和为 ‎24、(1)解法1：由题意易知：△BOC∽△COA ‎ ∴，即 ‎ ∴‎ ‎ ∴点C的坐标是(0，)‎ ‎ 由题意，可设抛物线的函数解析式为 ‎ 把A(1，0)，B(，0)的坐标分别代入，得 ‎ ‎ ‎ 解这个方程组，得 ‎ ∴抛物线的函数解析式为 ‎ 解法2：由勾股定理，得 ‎ 又∵OB=3，OA=1，AB=4‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴点C的坐标是(0，)‎ ‎ 由题意可设抛物线的函数解析式为，把C(0，)代入 ‎ 函数解析式得 ‎ 所以，抛物线的函数解析式为 ‎(2)解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF ‎ 理由如下：‎ ‎ 可求得直线的解析式为，直线的解析式为 ‎ 抛物线的对称轴为直线 ‎ 由此可求得点K的坐标为(，)，点D的坐标为(，)，点E的坐标为(，)，点F的坐标为(，0)‎ ‎ ∴KD=，DE=，EF=‎ ‎ ∴KD=DE=EF 解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF ‎ 理由如下：‎ ‎ 由题意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，则可得 ‎ ，，‎ ‎ 由顶点D坐标(，)得 ‎ ∴KD=DE=EF=‎ ‎(3)解法1：(i)以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点，由抛物线对称性可知点为点C关于直线的对称点 ‎ ∴点的坐标为(，)，此时△为等腰三角形 ‎ (ii)当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点和点A，而三点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形 ‎ (iii)作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且，可知l经过点D，‎ ‎ ∴KD=DC ‎ 此时，有点即点D坐标为(，)，使△为等腰三角形；‎ ‎ 综上所述，当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三角形。‎ 解法2：当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三角形。‎ ‎ 理由如下：‎ ‎ (i)连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为(，)‎ ‎ 又∵点C的坐标为(0，)，则GC∥AB ‎ ∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形 ‎ ∴△CGK为正三角形 ‎ ∴当与抛物线交于点G，即∥AB时，符合题意，此时点的坐标为(，)‎ ‎ (ii)连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形 ‎ ∴当过抛物线顶点D时，符合题意，此时点坐标为(，)‎ ‎ (iii)当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，但点 A、C、K在同一直线上，不能构成三角形 ‎ 综上所述，当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三 角形。‎