安徽省六安市舒城中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题 含答案

安徽省六安市舒城中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题 含答案

舒城中学2019-2020学年度第一学期期末考试 高二文数 ‎（总分：150分 时间：120分钟）‎ 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)‎ ‎1．命题“，” 的否定是 （　　）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎2．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 （　　）‎ A．1 B．‎2 ‎ C．4 D．8‎ ‎3．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，给出下列结论，其中正确的个数是（　　）‎ ‎①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ‎ ‎②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ‎ ‎③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个 A．0 B．1 ‎ C．2 D．3‎ ‎4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （　　）‎ A． ‎ B． ‎ B． C． D．‎ ‎5.已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．直线被圆所截得的弦长为，则直线舒中高二期末文数 第2页 (共4页)‎ 的斜率为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 （ ）‎ A．2 B．‎3 ‎C．10 D．15‎ ‎8．若满足约束条件则的取值范围是 （　　）‎ A．[0,6] B．[0, 4] C．[6, D．[4, ‎ ‎9．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入时，输出的 （ ）‎ A．54 B．‎9 ‎C．12 D．18‎ ‎10．已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知，分别是椭圆（）的左顶点和上顶点，线段的垂直平分线过右顶点.若椭圆的焦距为2，则椭圆的长轴长为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二．填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13．某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为__________．‎ ‎14．总体由编号为01，02，03，...,49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为__________．‎ ‎78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74‎ ‎32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01‎ ‎15．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线:为，则的最小值为__________．‎ ‎16．已知函数，若,且 ，则的取值范围为__________．‎ 三．解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17．（本题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若函数在定义域上为增函数，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎18．（本题满分12分）‎2019年8月8日是我国第十一个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来。某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图。‎ ‎（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；‎ ‎（2）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人 中至少有1人年龄不低于60岁的概率；‎ ‎19．（本题满分12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若点在棱上，且，求 点到平面的距离．‎ ‎20．（本题满分12分）已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，且经过点.‎ ‎（1）求的标准方程；‎ ‎（2）的右顶点为，过右焦点的直线与交于不同的两点，，求面积的最大值.‎ ‎21．（本题满分12分）已知函数，．‎ ‎（1）求函数图像在处的切线方程；‎ ‎（2）若不等式对于任意的均成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．（本题满分10分）[选修4−4：坐标系与参数方程] ‎ 在平面直角坐标系中，已知直线为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.‎ ‎23．（本题满分10分）[选修4−5：不等式选讲] ‎ 已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设函数的最小值为，若，均为正数，且，求的最小值．‎ 舒城中学2019-2020学年度第一学期高二期末 数学（文）参考答案 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B C D B B D C D D C D A 二、 填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．‎ ‎13.47； 14. 43 ； 15. 3 ； 16. ‎ 三．解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17. 答案：（1），（2）‎ ‎18. 【答案】(1) 平均数37，中位数为35;(2) ;‎ ‎【解析】（1）平均数．‎ 前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x，‎ 则（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35．‎ ‎（2）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．‎ 则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．‎ 至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：‎ ‎（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．‎ 记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，‎ 故所求概率．‎ ‎19. 【答案】（1）详见解析（2）．‎ ‎【解析】（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．‎ 连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=‎ ‎=2．‎ 由知，OP⊥OB．‎ 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．‎ ‎（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥‎ CH，所以CH⊥平面POM．‎ 故CH的长为点C到平面POM的距离．‎ 由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．‎ 所以OM=，CH==．‎ 所以点C到平面POM的距离为．‎ ‎20. 【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）解：由题意解得，，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）点，右焦点，由题意知直线的斜率不为0，‎ 故设的方程为，，，‎ 联立方程得消去，整理得，‎ ‎∴，，，‎ ‎ ，‎ 当且仅当时等号成立，此时：，‎ 所以面积的最大值为．‎ ‎21. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．‎ ‎【解析】 (1)∵，∴.‎ 又由，得所求切线：，‎ 即所求切线为.‎ ‎（2），，‎ ‎（i）当时，；‎ ‎（ii）当时，，；‎ ‎（iii）当时，设，，‎ 令，得下表：‎ 单调递增 极大值 单调递减 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎∴，即不满足等式.‎ 综上，.‎ ‎22. 【答案】(1) (2)3‎ ‎【解析】（1）把，展开得，‎ 两边同乘得①．‎ 将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入①，‎ 即得曲线的直角坐标方程为②．‎ ‎（2）将代入②式，得，‎ 点M的直角坐标为（0，3）．‎ 设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则t1+t2=-3. t1.t2=3‎ ‎∴ t1＜0， t2＜0‎ 则由参数t的几何意义即得.‎ ‎23. 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ） ‎ ‎ 或 或 ‎ ‎ ,不等式解集为.‎ ‎（Ⅱ） , ,又,,‎ ‎ , ,‎ 当且仅当 即时取等号,所以.‎