安徽省安庆市第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷

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安徽省安庆市第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷

安庆二中 2020 - 2021 学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 (满分:150 分 时间:120 分钟) 一、单项选择题(共 12 小题,满分 60 分,每小题 5 分) 1. 在空间直角坐标系中,点 P(1,2,3) 关于平面 xOz 对称的点的坐标是( ) A. (1, - 2,3) B. ( -1,2, - 3) C. ( -1, - 2,3) D. (1, - 2, - 3) 2. 已知直线 l1:ax + (a + 2)y + 1 = 0,l2:x + ay + 2 = 0,若 l1 ⏊ l2,则实数 a 的值是( ) A. 0 B. 2 或 -1 C. 0 或 -3 D. -3 3. 以下茎叶图记录了甲、乙两组五名同学在一次英语听力测试中 的成绩(单位:分). 已知甲组数据的中位数为 15,乙组的平均数 为 16.8,则 x,y 分别为( ) A. 2,5 B. 5,5 C. 5,8 D. 8,8 4. 高一某班有学生 56 人,现将所有同学随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本, 已知 6 号、34 号、48 号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号为( ) A. 18 B. 20 C. 21 D. 23 5. 已知某种商品的广告费支出 x(单位:万元)与销售额 y(单位:万元)之间有如下对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 m 60 根据表中的全部数据,用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 y = 6.5x + 17.5,则表中 m 的值为( ) A. 45 B. 50 C. 56.5 D. 70 6. 某学校计划从 3 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加抗疫英雄事迹演讲比赛,记事件 M 为 “ 恰 有 1 名男生参加演讲 ”,则下列事件中与事件 M 对立的是( ) A. 恰有 2 名男生参加演讲 B. 恰有 2 名女生参加演讲 C. 至少有 2 名男生参加演讲 D. 至多有 2 名男生参加演讲 7. 袋子里有大小、形状相同的红球 m 个,黑球 n 个(m > n > 2),从中任取 1 个球是红球的概率记 为 p1;若将红球、黑球个数各增加 1 个,此时从中任取 1 个球是红球的概率记为 p2;若将红球、黑 球个数各减少 1 个,此时从中任取 1 个球是红球的概率记为 p3. 则( ) A. p1 > p2 > p3 B. p1 > p3 > p2 C. p3 > p2 > p1 D. p3 > p1 > p2 8. 某程序框图如图所示,若输出的 S = 26,则判断框内应填( ) A. k > 3? B. .k > 4? C. .k > 5? D. .k > 5? 甲组 乙组 9 0 1 2 9 5 4 82 47 x y 开始 结束 S=1,k=1 k=k+1 S=2S+k 输出S 是 否 第 1 页 (共 4 页) 9. 已知实数 x,y 满足约束条件      2x - y + 1 ≥ 0 x + 2y ≤ 2 x + y ≥ 0 ,则 z = x + 3y 的最大值为( ) A. 4 B. 3 C. 2 3 D. 0 10. 圆 C :x2 + y2 = 2,点 P 为直线 x 3 + y 6 = 1 上的一个动点,过点 P 向圆 C 作切线,切点分别为 A、B,则直线 AB 过定点( ) A.  1 2 ,1 3 B.  2 3 ,1 3 C.  1 3 ,1 3 D.  1 3 ,2 3 11. 数学家欧拉于 1765 年在他的著作 《三角形的几何学》 中首次提出定理:三角形的外心、重心、 垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人 称之为三角形的欧拉线 . 在平面直角坐标系中作 △ABC,在 △ABC 中,AB = AC = 4,点 B( - 1,3),点 C(4, - 2),且其 “ 欧拉线 ” 与圆 (x - 3)2 + y2 = r2 相切,则该圆的半径为( ) A. 1 B.   2 C. 2 D. 2  2 12. 已知圆 x2 + y2 + x - 6y + 3 = 0 上的两点 P,Q 关于直线 kx - y + 4 = 0 对称,且 OP ⏊ OQ(O 为坐标原点),则直线 PQ 的方程为( ) A. y =-1 2 x + 3 2 B. y =-1 2 x + 1 2 或 y =-1 2 x + 5 4 C. y =-1 2 x + 1 4 D. y =-1 2 x + 3 2 或 y =-1 2 x + 5 4 二、填空题(共 4 小题 . 满分 20 分,每小题 5 分) 13. 在区间  0,1 上随机选取选取两个数 x 和 y,则满足 2x - y < 0 的概率为 _______. 14. 如图是某学校抽取的学生体重的概率分布直方图,已知图中从左到右的前 3 个小组的频率依次成 等差数列,第 2 小组的频数为 15,则抽取的学生人数为 _______. 15. 在平面直角坐标系中,已知点 A(2,0),B(4,0). 若直线 l:x - y + m = 0 上存在点 P 使得 PB =   2PA,则实数 m 的取值范围是 _______. 16. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A( -1,0),B(1,0) 均在圆 C:(x - 3)2 + (y - 4)2 = r2 外,且圆 C 上存在唯一一点 P 满足 AP ⏊ BP,则半径 r 的值为 _______. 体重(kg) 频率 组距 0.0375 0.0125 50 55 60 65 70 75 第 2 页 (共 4 页) 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A( -3,2),B(4,3),C( - 1, - 2). (1)在 △ABC 中,求 BC 边上的高线所在的直线方程; (2)求 △ABC 的面积 . 18.(12 分)某城市 100 户居民平均用电量(单位:度)以  160,180 、 180,200 、 200,220 、 220,240 、  240,260 、 260,280 、 280,300 分组的频率分布直方图如图所示: (1)求直方图中 x 的值; (2)用分层抽样的方法从  260,280 和  280,300 这两组用户中确定 6 人做随访,再从这 6 人中随 机抽取 2 人做问卷调查,则这 2 人来自不同组的概率是多少? (3)求月平均用电量的众数和中位数 . 19.(12 分)已知直线 l 经过点 P( -1,2). (1)若直线 l 在两坐标轴上截距和为零,求 l 方程; (2)设直线 l 的斜率 k > 0,直线 l 与两坐标轴交点分别为 A、B,求 △AOB 面积最小值 . 160180200 220240260280 300 月平均用电量/度 频率 组距 O 0.002 0.0025 0.005 x 0.0095 0.011 0.0125 第 3 页 (共 4 页) 20.(12 分)柴静《穹顶之下》的播出,让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识,对于雾霾天气的 研究也渐渐活跃起来,某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数 x 与雾霾天气数 y 进行统计 分析,得出下表数据: x 4 5 7 8 y 2 3 5 6 (1)请画出上表数据的散点图(画在答题卡所给的坐标系内); (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的 线性回归方程 y =  bx + a; (3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测燃放烟花爆竹的 天数为 9 的雾霾天数 . 参考公式: b =  ∑ n i=1 xiyi - n xy ∑ n i=1 x2 i - n x2 ,a = y -  b x,其中 x,y 为数 据 x,y 的平均数 . 21.(12 分)已知圆 C 的圆心 C 在 x 轴上,且圆 C 与直线 x +   3y + n = 0 相切于点 (3 2 ,  3 2 ). (1)求 n 的值及圆 C 的方程; (2)若圆 M :x2 + (y -   15)2 = r2(r > 0) 与圆 C 相切,求直线   3x -   2y = 0 截圆 M 弦长 . 22.(12 分)已知圆 M :(x + 2)2 + (y + 2)2 = r2(r > 0) 过点 T( -3, - 3),圆 M 关于直线 x + y + 2 = 0 对 称的圆为圆 C,设 P 点为 T 点关于 x + y + 2 = 0 的对称点 . (1)求圆 C 的方程; (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求  PQ ⋅  MQ 的最小值; (3)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A,B,且直线 PA 和直线 PB 分别与 x 轴的交点分 别为 E,F,若 △PEF 是以 P 为顶点的等腰三角形,O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否 平行,并说明理由 . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y 第 4 页 (共 4 页)
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