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文档介绍
【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第七章不等式7-1两个实数比较大小的方法学案
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法(a，b∈R)；
(2)作商法(a∈R，b>0).
2.不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b
b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒acb＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn
(n∈N，n≥1)
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒>
(n∈N，n≥2)
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒<.
②a<0b>0,0.
④0b>0，m>0，则
①<；>(b－m>0).
②>；<(b－m>0).
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.( × )
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.( × )
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小.( × )
(5)a>b>0，c>d>0⇒>.( √ )
(6)若ab>0，则a>b⇔<.( √ )
1.(教材改编)已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是______________.
答案 a>－b>b>－a
解析 ∵a＋b>0，b<0，∴a>－b>0，－a－b>0>b>－a，即a>－b>b>－a.
2.(教材改编)若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的____________条件.
答案 充分不必要
解析 －>0⇒>
⇒a>b⇒a2>b2，
但由a2－b2>0⇏－>0.
3.(2016·南京模拟)若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是________.
①a－b>0; ②a3＋b3>0；
③a2－b2<0; ④a＋b<0.
答案 ④
解析 由a＋|b|<0知，a<0，且|a|>|b|，
当b≥0时，a＋b<0成立，
当b<0时，a＋b<0成立，∴a＋b<0.
4.如果a∈R，且a2＋a<0，则a，a2，－a，－a2的大小关系是________________.
答案 a<－a2－1，∴a<－a21且2a<1，
∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a
＝－22＋<.
即a<2ab<，
又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－＝，
即a2＋b2>，
a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)，
又2b－1>0，b－1<0，∴a2＋b2－b<0，
∴a2＋b2b；
＝＝log6251 024>1，
所以b>c.即ce时，函数f(x)单调递减.
因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，
即c0，试比较a与的大小.
解 因为a－＝＝，
因为a>0，所以当a>1时，>0，有a>；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当01时，a>；
当a＝1时，a＝；
当00,1618>0，
∴1816<1618，即aac; ②c(b－a)<0；
③cb20.
(2)若<<0，则下列不等式：
①a＋b|b|；③a0.
由b>c得ab>ac一定成立.
(2)因为<<0，所以b0，
所以a＋b0>b>－a，cbc；②＋<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中成立的个数是________.
答案 3
解析 方法一 ∵a>0>b，c0，
∴ad0>b>－a，∴a>－b>0，
∵c－d>0，
∴a(－c)>(－b)(－d)，
∴ac＋bd<0，∴＋＝<0，故②正确.
∵c－d，
∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)，
∴a－c>b－d，故③正确.
∵a>b，d－c>0，∴a(d－c)>b(d－c)，
故④正确.
方法二 取特殊值.
题型三 不等式性质的应用
命题点1 应用性质判断不等式是否成立
例3 已知a>b>0，给出下列四个不等式：
①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.
其中一定成立的不等式为________.
答案 ①②③
解析 方法一 由a>b>0可得a2>b2，①成立；
由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，
∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；
∵a>b>0，∴>，
∴()2－(－)2
＝2－2b＝2(－)>0，
∴>－，③成立；
若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，
a3＋b3<2a2b，④不成立.
方法二 令a＝3，b＝2，
可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③>－均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立.
命题点2 求代数式的取值范围
例4 已知－1； ②a2bn.
(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①>； ②acloga(b－c).
其中所有正确结论的序号是________.
答案 (1)③ (2)①②③
解析 (1)(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确；
③中，<⇔|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)
⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|，
∵ab>1知<，
又c<0，∴>，①正确；
构造函数y＝xc，
∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，
又a>b>1，∴acb>1，c<0，∴a－c>b－c>1，
∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确.
6.利用不等式变形求范围
典例 设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.
错解展示
解析 由已知得
①＋②得3≤2a≤6，∴6≤4a≤12，
又由①可得－2≤－a＋b≤－1， ③
②＋③得0≤2b≤3，∴－3≤－2b≤0，
又f(－2)＝4a－2b，∴3≤4a－2b≤12，
∴f(－2)的取值范围是[3,12].
答案 [3,12]
现场纠错
解析 方法一 由
得
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
方法二 由
确定的平面区域如图阴影部分所示，
当f(－2)＝4a－2b过点A(，)时，
取得最小值4×－2×＝5，
当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，
取得最大值4×3－2×1＝10，
∴5≤f(－2)≤10.
答案 [5,10]
纠错心得 在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.
1.(教材改编)当x＞1时，x3与x2－x＋1的大小关系为______________.
答案 x3＞x2－x＋1
解析 ∵x3－(x2－x＋1)
＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)
＝(x－1)(x2＋1).
又∵x＞1，
故(x－1)(x2＋1)＞0，
∴x3－(x2－x＋1)＞0，
即x3＞x2－x＋1.
2.(2016·镇江模拟)若6y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是________.
①xy>yz; ②xz>yz；
③xy>xz; ④x|y|>z|y|.
答案 ③
解析 ∵x>y>z且x＋y＋z＝0，∴x>0，z<0，
又y>z，∴xy>xz.
4.设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“ab，则ac2>bc2；
②若>，则a>b；
③若a3>b3且ab<0，则>；
④若a2>b2且ab>0，则<.
答案 ③
解析 当c＝0时，可知①不正确；
当c<0时，可知②不正确；
对于③，由a3>b3且ab<0，知a>0且b<0，
所以>成立，③正确；
当a<0且b<0时，可知④不正确.
7.若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是________.
①a＋>b＋； ②>；
③a－>b－； ④>.
答案 ①
解析 取a＝2，b＝1，排除②与④；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝
x＋在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，即a－>b－⇔a＋>b＋，但g(a)>g(b)未必成立.
8.若a>b>0，则下列不等式一定不成立的是________.
①<； ②log2a>log2b；
③a2＋b2≤2a＋2b－2; ④b<<0(由a>b>0，a，b不能同时为1)，
∴a2＋b2－2a－2b＋2>0，∴a2＋b2>2a＋2b－2，
∴③一定不成立.
9.若不等式(－2)na－3n－1－(－2)n<0对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是____________.
答案
解析 当n为奇数时，2n(1－a)<3n－1，1－a<×n恒成立，只需1－a<×1，∴a>.当n为偶数时，2n(a－1)<3n－1，a－1<×n恒成立，只需a－1<×2，∴a<.
综上，0，bc－ad>0，则－>0；
②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；
③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.
其中正确的命题是________.
答案 ①②③
解析 ∵ab>0，bc－ad>0，
∴－＝>0，∴①正确；
∵ab>0，又－>0，即>0，
∴bc－ad>0，∴②正确；
∵bc－ad>0，又－>0，即>0，
∴ab>0，∴③正确.故①②③都正确.
11.(教材改编)一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为____________.
答案 8(x＋19)>2 200
解析 因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车每天行驶的路程为(x＋19) km，则在8天内它的行程为8(x＋19) km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示.
12.已知－1<2x－1<1，则－1的取值范围是________.
答案 (1，＋∞)
解析 －1<2x－1<1⇒01⇒>2
⇒－1>1.
13.已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是__________(用区间表示).
答案 [3,8]
解析 ∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
∴z的取值范围是[3,8].
14.已知m∈R，a>b>1，f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小.
解 f(x)＝m(1＋)，f(a)＝m(1＋)，
f(b)＝m(1＋).
由a>b>1，知a－1>b－1>0.
∴<，∴1＋<1＋.
①当m>0时，m(1＋)m(1＋)，f(a)>f(b).
综上所述，当m>0时，f(a)f(b).
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