九年级数学上册专题课一元二次方程应用的分类例析

九年级数学上册专题课一元二次方程应用的分类例析

新人教版九年级数学上册专题课 一元二次方程应用的分类例析 课题 1. 经历列一元二次方程解决实际问题过程，掌握列方程解应用题的基本步骤； 2. 获取多种类型的一元二次方程的实际应用，掌握各种类型的解题思路； 4. 提高学习过程中 的“动手操作”能力，培养合作学习的意识和对知识探索精神 . 学习目标 3. 体会方程在生产、生活中的广泛应用，感受数学的广泛价值； 4. 提高学习过程中 的 “动手操作” 能力，培养 合作学习 的意识和对知识 探索精神 . 目标 说明： 本课件例题和习题均为教材的类型题，可根据情况机动选用，建议安排 2-3 课时完成 . 列方程（组）解应用题的基本步骤 1. 审： 弄清题意，包括已知数、未知数，特别是找出等量关系； 2. 设： 包括直接设元、间接设元，注意单位； 3. 列： 根据题意和所设未知数列方程或方程组； 4. 解： 解所列方程或方程组； 5. 验： 检验所解是否是方程的解，是否符合实际意义； 6. 答： 根据题意写答，注意单位 . （ 新人教版九年级数学上册 19 页探究一 ）有一人患了流感 , 经过 两轮 传染后共有 121 人患了流感 , 每轮传染中平均一个人传染了几个人 ? 分析 : 第一轮传染后 第二轮传染后 解方程 , 得： 答 : 平均一个人传染了 ____ 个人 . 10 -12 ( 不合题意 , 舍去 ) 10 类型一 . 传播问题（例析） 解：设每轮传染中平均一个人传染了 个人 , 则： . 即 类型一（列析） 类型一 . 传播问题（练习） 类型一（练习） 本题实际上满足公式 (a+x) n =M 其中 a 为传染源（一般 a=1 ）， n 为传染轮数， M 为最后得病总人数 . 2. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91 ，每个支干长出多少小分支？ 1. 一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有多少人患有流感． 即 解 : 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人 , 则： 解 : 设每个支干长出 x 个小分支 , 则： 类型二 . 循环问题（例析） 循环问题又可分为单循环问题 ，双循环问题 和复杂循环问题 . 例 . 一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少? 分析 : 本题可看作单循环问题的类型题，若设有 x 个人，每个人都与 （ x-1 ） 个人握手，若按 x （ x-1 ） 次数计算，则每个的握手重复算一次，所以要 折半 计算 . 解：设到会的人数为 个人，根据题意列方程得： 整理为： 解方程 , 得： ( 不合题意 , 舍去 ) 12 -11 答 : 这次到会的人数为 ____ 个人 . 12 类型二（例析） 类型二 . 循环问题（选练） 1. 要组织一场篮球联赛 , 赛制为单循环形式 , 即每两队之间都赛一场 , 计划安排 15 场比赛 , 应邀请多少个球队参加比赛 ? 2. 要组织一场篮球联赛 , 每两队之间都赛 2 场 , 计划安排 90 场比赛 , 应邀请多少个球队参加比赛 ? 3. 参加一次聚会的每两人都握了一次手 , 所有人共握手 10 次 , 有多少人参加聚会 ? 4. 初三毕业晚会时每人互相送照片一张 , 一共要 132 张照片 , 有多少人 ? 5. 一个正多边形，它共有 20 条对角线，问是几边形？ 以上应用题列出方程即可！课后再去解答 . 类型二（选练） 类型三 . 平均率问题（例析 1 ） 例 1 . （ 人教版九年级数学上册 19 页探究二 ）两年前生产 1t 甲种药品的成本是 5000 元，生产 1t 乙种药品的成本是 6000 元 ; 现在生产 1t 甲种药品的成本是 3000 元，生产 1t 乙种药品的成本是 3600 元，那种药品成本的年平均下降率较大？ 分析： 平均下降额并不等同于平均下降率，道理何在？ ⑴ . 设 甲种 药品成本的年内均下降率为 x ，则一年后甲药品的成本为 ， 两年后甲种药品成本为 . 解方程得： 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 . 22.5% 于是有： ⑵ . 设 乙种 药品成本的年内均下降率为 y ，则一年后乙药品的成本为 ， 两年后乙种药品成本为 . 解方程得： 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为 . 22.5% 于是有： 平均下降额是个绝对差值，而平均下降率相对百分率！ 所以 x=y ≈22.5%, . 两种药品成本的年平均下降率一样大 . 由此可知，绝对量相差很大的，其相对量有可能相等！ 类型三（例析 1 ） 类型三 . 平均率问题（例析 2 ） 公式： M=a(1±x) n , n 为增长或降低次数 , M 为最后产量 , a 为基数 , x 为平均增长率或降低率 . 例 2 .赵化中学在 2016 年的基础上，到今年 2018 年校园草坪的面积将增加 44 %，那么草坪面积平均每年的增长率百分之几? 略析： 可以把两年前的草坪面积看为单位 1 ，按上面的公式”即可列出方程解答 . 解： 设草坪面积平均每年的增长率为 x , 根据题意列方程： ( 不合题意 , 舍去 ) 答 : 草坪面积每年平均增长的百分率为 20% . 类型三（例析 2 ） 类型三 . 平均率问题（选练） 3 .某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同，已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了12000台，求该厂今年产量的月平均增长率为多少? 1. 某 厂今年一月的总产量为 500 吨 , 三月的总产量为 720 吨 , 平均每月增长率是 x , 列方程 ( ) A.500(1+2 x )=720 B.500(1+ x ) 2 =720 C.500(1+ x 2 )=720 D.720(1+ x ) 2 =500 2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元 , 预计今明两年的投资总额为 8 万元 , 若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x, 则可列方程为 . B 4. 赵化“三友”文体用具店 2017 年的各项经营中体育用品收入为 3 万元，占全年各项用品经营总收入的 30% ，该店预计 2019 年经营的总收入要达到 14.4 万元，且计划从 2017 年起到 2019 年，每年经营总收入的年增长率相同，问今年 2018 年全年结束预计经营总收入为多少万元？ 解 : 设平均每年的增长率为 x, 则： 类型三（选练） 类型四 . 数字数位问题（例析） 例 . 有一个两位数 , 它的十位数字与个位数字的和是 5. 把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数 , 两个两位数的积为 736. 求原来的两位数 . 略析： 本题的相等关系比较明显，即两个两位数的积为 736 ；关键是用未知数表示两位数时，注意十位数字乘以 10. 设这个两位数的个位数字为为 x , 根据题意列方程： 解： 整理为： 解得： 答 : 这个两位数为 32 或 23 . 本题的相等关系比较明显，即两个两位数的积为 736 ；关键是用未知数表示两位数时，注意 十位数字乘以 10 . 类型四（例析） 1. 偶数个连续偶数（或奇数），一般可设中间两个为 (x  1) 和 (x  1). 2. 奇数个连续偶数（或奇数，自然数），一般可设中间一个为 x. 如三个连续偶数，可设中间一个偶数为 x ，则其余两个偶数分别为 (x  2) 和 (x+2) 又如三个连续自然数，可设中间一个自然数为 x ，则其余两个自然数分别为 (x  1) 和 (x  1). 3. 表示两位数和三位数： ⑴ . 十位数字为 a ，个位数字为 b 的两位数是 10a  b; ⑵ . 百位数字为 a ，十位数字为 b ，个位数字为 c 的三位数是 100a  10b  c. 类型四 . 数字数位问题（总结） 表示数字数位应注意： 3. 表示两位数和三位数： ⑴ . 十位数字为 a ，个位数字为 b 的两位数是 10a  b ; ⑵ . 百位数字为 a ，十位数字为 b ，个位数字为 c 的三位数是 100a  10b  c . 类型四（总结） 类型四 . 数字数位问题（选练） 3. 一个两位数 , 它的十位数字比个位数字小 3, 而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数 . 求这个两位数 . 4. 三个连续偶数，已知最大数与最小数的平方和比中间一个数的平方大 332 ，求这三个连续偶数 . 1. 两个数的差等于 4, 积等于 45, 求这两个数 . 2. 有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是 6 ，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于 1008 ，求调换位置后得到的两位数 . 解 : 设较大的一个数为 x, 则： 解 : 设原数的十位数字为 x, 则个位数（ 6-x ），由题意得： 解 : 设这个两位数的个位数字为 x, 则十位数字（ x-3 ）则： 解 : 设折三个连续偶数中间数为 x, 则较大的为（ x+2 ） , 较小的为（ x-2 ）则： 类型四（选练） 1. 某商场销售一批名牌衬衫 , 现在平均每天能售出 20 件 , 每件盈利 40 元 . 为了尽快减少库存 , 商场决定采取降价措施 . 经调查发现 : 如果这种衬衫的售价每降低 1 元时 , 平均每天能多售出 2 件 . 商场要想平均每天盈利 1200 元 , 每件衬衫应降价多少元 ? 本题的⑴问抓住：每天利润 = 每件衬衫的实际利润 × 实际衬衫件数，然后直接设元列方程来使问题得以解决 . 略析： 解： 设每件衬衫降价为 x 元 , 根据题意列方程： 整理为： 解得： 答 : 为了尽快减少库存，应降价 20 元 . 或 注意哟！是尽快减少库存 . 类型五 . 商品与经济效益问题（例析 1 ） 商品销售 常用 关系 1. 售价 - 进价 = 利润； 2. 单件利润 × 销售量 = 总利润； 3. 单价 × 销售量 = 销售额； 4. 利润率 = 利润 ÷ 进价 . 依次单击此处打开关闭！ 类型五（例析 1 ） 2. 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品 , 若每件商品售价为 a 元 , 则每天可卖出 (350-10a) 件 , 但物价局限定每件商品加价不能超过进价的 20%. 商店要想每天赚 400 元 , 需要卖出多少年来件商品 ? 每件商品的售价应为多少元 ? 抓住利润 400 元 = 每件的利润 × 卖出的件数，依此建立方程求出售价，再根据加价不能超过进价的 20% 进行取舍 . 略析： 解： 设每件商品销售额为 x 元 , 根据题意列方程： 整理为： 解得： 答 : 每件商品的销售额为 25 元 . ( 不合题意 , 舍去 ) 类型五 . 商品与经济效益问题（例析 2 ） 类型五（例析 2 ） 类型五 . 商品与经济效益问题（选练） 3 .小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期后取出50元用来购买学习用品 剩下的450元连同应得的税后利息又全部按一年定期存入银行如果存款的年利率保持不变,且到期后可得税后本息约461元（ 利息税为利息的 20% ）,那么这种存款的年利率大约是多少? (精确到0.01%) . 2. 某果园有 100 棵桃树 , 一棵桃树平均结 1000 个桃子 , 现准备多种一些桃树以提高产量 . 试验发现 , 每多种一棵桃树 , 每棵桃树的产量就会减少 2 个 . 如果要使产量增加 15.2%, 那么应多种多少棵桃树 ? 1. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，经市场调查发现， 在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克。现该商品要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 类型五（选练） 类型六 . 运动及工程问题（师生互动 1 ） 1. 某汽车在公路上行驶 , 它的路程 s(m) 和时间 t(s) 之间的关系为 :s=10t+3t 2 , 那么行驶 200m 需要多长时间 ? 解： 根据题意列方程： 整理为： 解得： 数理化一家人！ 本题是教材 12 页的问题 2 物理公式运用 的类型题，只需要把数据代入公式即可建立方程解决问题，难度不大 . 略析： 答 : 行驶 200m 需要 （约 6.7s ） ( 不合题意 , 舍去 ) 类型六（互动 1 ） 类型六 . 运动及工程问题（师生互动 2 ） 2. 甲、乙两建筑队完成一项工程，若两队同时开工， 12 天可以完成全部工程，乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用 10 天，问单独完成该工程，乙需多少天？ 解： 设乙单独完成工程需要 x 天，则甲单独完成工程需 （ x-10 ） 天： 整理为： 解得： 本题首先抓住“ 甲 12 天的工作量 + 乙 12 天的工作量 =1 ” ，关键是要用时间表示出甲乙的工作效率 . 略析： ( 都是原分式方程的解 ) 当 时， 当 时， 因为时间不能为负数，所以只能取 答 : 乙单独完成工程需要 30 天 . 分式方程的应用更要 . 注意从两个方面进行检验哟！！ 类型六（互动 2 ） 类型七 . 几何问题（ 1. 求边衬宽） 例 1. （ 人教版九年级数学上册 20 页探究三 ）要设计一本书的封面，封面长 27cm, 宽 21cm, 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形；如果要使四周的彩色边衬所占的的面积是整个封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 类型七（ 1. 衬宽） 探究解析： 由“ 比例相同 ”可以得出正中央矩形的长宽之比也是 . 若设正中央矩形的长为 9acm , 宽为 7acm , 那么上、下边衬宽度与左、右边衬的宽度之比为： 若设上、下边衬宽 均为 9xcm , 左、右边衬的宽度 均为 7xcm ；则正中央矩形的长为 ，宽为 . 想一想法：为什么要除以 2 呢？！ 左右等宽！ 上下等宽！ 三个 9:7 哟！ 类型七 . 几何问题（ 1. 练习） 由“边衬面积”占整个封面面积的四分之一，可以得出正中央矩形面积占 . 四分之三 根据题意列方程： 整理为： 解得： 即约为 把 代入 把 代入 ( 符合题意 ) ( 不合题意 , 舍去 ) 时 当 故上、下边衬均为 cm, 左、右边衬均为 cm . 1.8 1.4 一块四周镶有 宽度相等 的花边的镜框如右图，它的长为8 c m，宽为5 c m．如果镜框中央长方形图案的面积为18 c m 2 ，则花边多宽? 略解 : 设镜框的宽为 x 米，则中央矩形的长为 （ 8-2x ） cm, 宽为 （ 5-2x ） cm, 则： 类型七（ 1. 练习） 类型七 . 几何问题（ 2. 求路宽） 例 2. 如图，在长为40米，宽为22米的矩形地面上，修筑两条 同样宽 的道路，余下的铺上草坪，要使四块草坪的面积总共为760平方米，那么道路的宽应为多少？ 分析 : 把草坪 向下、向右 进行平移（见图 1 ），可把草坪化在同一个矩形中（见图 2 ） . 略解 : 设道路宽为 x 米，则图示 2 中的草坪的长 为（ 40-x ）米。宽为（ 22-x ） 米，则： 整理为： 答 : 道路宽应为 米 . 解得： ( 不合题意 , 舍去 ) 2 （本例是 《 探究丛书 》19 页 9 题的变式） 类型七（ 2. 路宽） 类型七 . 几何问题（ 2. “求路宽”小结与练习） “求路宽”的题型关键是要运动的观点识图：把道路或草坪平移，使分散的草坪化在一个规则的图形，然后以面积关系建立方程来解决问题 . “求路宽”的题型关键是要 运动的观点识图 ：把道路或草坪 平移 ，使分散的草坪化在一个规则的图形，然后以面积关系建立方程来解决问题 . 平移后 平移后 如图，在宽为 20 m ，长为 32m 的矩形地面上修筑 同样 宽的道路（图中的阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540m 2 ，求道路的宽？ 略解 : 设道路宽为 x 米，则平移道路至边上后草坪是一个矩形，由题意得： 类型七（ 2. 路宽练习） 类型七 . 几何问题（ 3. 筑篱笆） 例 3. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃 . 设如果要围成面积为45米 2 的花圃，AB的长是多少米？ 分析 : 若矩形宽为 X 米，则长就应为（ 24-3x ）米（见分析图），用矩形的面积公式建立方程；本题还应注意矩形的长不能超过墙的长度 . 解： 设 若矩形的宽 AB 为 X 米，则长 BC 就应为（ 24-3x ）米，则： 整理为： 解得： ∵ 解得： 故 3 不合题意，应舍去！ AB 应取 米 . 答 : AB 的长为 5 米 . 5 注意矩形的长不能超过墙长哟！！ 类型七（ 3. 篱笆） 类型七 . 几何问题（ 4. “动点”与面积） 例 4 . 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△ PBQ的面积等于8cm 2 ？ 分析 : △PBQ的面积由其两直角边 PB 、 QB 乘积的一半表示，而 PB 、 QB 可以由 时间 表示 ，问题可解决 . 解： 设 X 秒后 △ PBQ的面积等于8cm 2 ，则由题意得： 整理为： 解得： ∵ ∴ 故 和 均符合题意 . 答：设 2 秒或 4 秒后△ PBQ的面积等于8cm 2 . 2 4 类型七（ 4. 动点） 类型七 . 几何问题（ 4. “动点”小结与练习） ⑴ . 关键 : 以静代动 , 化动为静 . 把动的点进行转换,变为线段的长度 . ⑵ . 方法 : 时间变路程 . 求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也是求线段的长度; ⑶ . 常用的数量关系 : 面积，勾股定理等 . 等腰直角△ ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm 2 ? 略解 : 设 AP 为 xcm ，则 PR 为 xcm,PB 为（ 8-x ） cm, 由题意得： 类型七（ 34 动点练习） 课堂练习 (1) 一 . 选择题 1. 千年古镇赵化某服装店今年七月份的营业额为 8000 元，第三季度的营业额共为 40000 元．如果平均每月的增长率为 x , 则列方程为 （ ） 2. 某工厂要建一个面积为 130cm 2 的仓库，仓库的一边靠墙（墙长为 16cm ），并在与墙平行的一边开一道 1m 宽的门，现有能围成 32m 的木板，求仓库的长与宽？若设垂直于墙的边长为 x 米，则列出的方程为 （ ） 二 . 填空题 3. 一个两位数的个位数字与十位数字的平方和为 29 ，且个位数字与十位数字之和为 7 ；则这两位数是 . 25 或 52 D A 4. 一个多边形，它共有 90 条对角线， 那么这个多边形是 边形 . 15 课堂练习（ 1 ） 课堂练习 (2) 三 . 列方程解应用题 6. 如图，一块长和宽分别为 8 0厘米和 6 0厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体槽水槽，使它的底面积为 15 00平方厘米.求截去正方形的边长 . 5. 一个直角三角形的两直角边之和 17c m，斜边为 13c m，且这个直角三角形斜边上的高? 解 ; 设其中一直角边为 xcm, 则另一直角边为（ 17-x ） cm, 根据勾股定理得： 解 ; 设截去正方形的边长为 xcm, 则中间虚线矩形的长为（ 80-2x ） cm , 宽为（ 60-2x ） cm; 由题意得： 7. 某化工材料经售公司购进了一种化工材料，进货价格为每千克 30 元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克 70 元，也不得低于 30 元，市场调查发现。单价每千克 70 元时日均销售 60Kg 。单价每千克降低一元，日均多售 2kg 。在销售过程中，每天还要支出其他费用 500 元（天数不足一天时，按一天计算）。如果日均获利 1950 元，求销售单价 . （本题供同学们课外探究） 课堂练习（ 2 ） 谈谈收获！ 谈谈你的收获！ 1. 列方程解应用题的一般步骤： 2. 一元二次方程的常见类型： ⑴. 审； ⑵. 设； ⑶. 列； ⑷. 解； ⑸. 验； ⑹. 答 . 类型一 . 传播问题： 类型二 . 循环问题： 类型四 . 数字数位问题： 类型三 . 平均率问题： 类型六 . 运动及工程问题： 类型五 . 商品与经济效益问题： 类型七 . 几何问题： (a+x) n =M . 注意连续数和两位数、三位数的表示 . M=a(1±x) n 注意成本、利润、售价以及利润率之间的关系 . 注意学科公式，注意工时、工效、工作量之间的关系 . 注意几何图的特点、面积公式；注意运动变化的观点识图 . 作业布置 再 见 ！ 第 1 课时： ⑴ . 书上 22 页 4 、 5 、 6 、 7 题； ⑵.《 探究丛书 》16 页 9 题 . 第 2 课时： 《 探究丛书 》17 页 10 、 11 、 13 题， 19 页 10 题 . 第 3 课时： ⑴ . 书上 22 页 8 、 9 、 10 题， 26 页 11 、 12 、 13 题；