2019-2020学年天津市部分区高二上学期期末数学试题(解析版)

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2019-2020学年天津市部分区高二上学期期末数学试题(解析版)

‎2019-2020学年天津市部分区高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1.已知空间向量,,若,则实数( )‎ A.-2 B.-1 C.1 D.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据时,,列方程求出的值.‎ ‎【详解】‎ 解:向量,,‎ 若,则,‎ 解得.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间向量的坐标运算与垂直应用问题,属于基础题.‎ ‎2.在复平面内,复数是虚数单位)对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】直接由复数代数形式的除法运算化简复数,求出复数在复平面内对应的点的坐标,则答案可求.‎ ‎【详解】‎ 解:,‎ 复数在复平面内对应的点的坐标为:,‎ 位于第四象限.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.‎ ‎3.设,则“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】求解绝对值不等式结合充分必要条件的判定方法得答案.‎ ‎【详解】‎ 解:由,得,‎ 解得.‎ ‎ “”是“”的充分不必要条件.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判定方法,考查绝对值不等式的解法,属于基础题.‎ ‎4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百一十五里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还其大意为:“有一个人走315里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目的地. ”则该人最后一天走的路程为( )‎ A.20里 B.10里 C.5 里 D.2.5 里 ‎【答案】C ‎【解析】根据题意,设此人每天所走的路程数为数列,其首项为,分析可得是以为首项,为公比的等比数列,由等比数列的前项和公式可得,解可得的值,即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解:根据题意,设此人每天所走的程为数列,其首项为,即此人第一天走的路程为,又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,则是以为首项,为公比的等比数列,‎ 又由,即有,‎ 解得:;‎ 即此人第6天走了5里;‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式与求和公式,关键是依据题意,建立等比数列的数学模型,属于基础题.‎ ‎5.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点,则( )‎ A.2 B.10 C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出的左焦点,得到抛物线的准线,依据的意义求出它的值.‎ ‎【详解】‎ 解:因为抛物线焦点在轴上,开口为正方向,故准线在轴左侧,‎ 双曲线的左焦点为,,故抛物线的准线为,‎ ‎,,‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程中的意义.‎ ‎6.已知函数,为的导函数,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解:‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则,属于基础题.‎ ‎7.正方体,点,分别是,的中点,则与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】连接,,证明,,再根据,可得即可得到与所成角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 解:连接,‎ 是正方体,‎ 且 因为点,分别是,的中点 即与成直角,‎ 则与所成角的余弦值为 故选:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成的角的计算,属于基础题.‎ ‎8.曲线在点(1,1)处的切线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出曲线方程的导函数,把点的横坐标代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率,由求出的斜率和点的坐标写出切线方程即可.‎ ‎【详解】‎ 解:,‎ 则曲线过点切线方程的斜率,‎ 所以所求的切线方程为:,即.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会根据斜率和一点坐标写出直线的方程,属于基础题.‎ ‎9.设双曲线的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若且的面积为,则C的方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据双曲线的渐近线方程,设双曲线方程为,表示右焦点的坐标,根据点到线的距离公式求出到渐近线的距离,根据利用勾股定理求得,利用,得到方程,求得,得解.‎ ‎【详解】‎ 解:为双曲线的一条渐近线,‎ 故设双曲线方程为 则右焦点的坐标为 因为在上,且 则右焦点的坐标为到直线的距离 故 故选:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的性质,三角形面积公式,点到线的距离公式,属于中档题.‎ ‎10.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是( )‎ A.(-1,0] B.[0,1) C.(-1,1) D.[-1,1]‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求导,换元可得,在时恒成立,进而得到不等式组,解得即可.‎ ‎【详解】‎ 解:‎ 因为函数在区间上单调递增 恒成立 令则 ‎,在时恒成立,‎ 解得 故选:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎11.是虚数单位,则的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用复数的运算法则计算出,再根据求模的法则计算即可得出 ‎【详解】‎ 解:‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的运算,属于基础题.‎ ‎12.已知函数为的导函数,则的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则求出的导函数,再代入求值即可.‎ ‎【详解】‎ 解:‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的计算,属于基础题.‎ ‎13.已知实数为函数的极小值点,则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先求出函数的导函数,求出函数的单调区间,即可求出函数的极小值点.‎ ‎【详解】‎ 解:‎ 令解得或,即函数在和上单调递增;‎ 令解得,即函数在上单调递减;‎ 故函数在处取得极小值.‎ 即 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的极值点,属于基础题.‎ ‎14.已知“”是假命题,则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出命题的否定,由原命题为假命题,得命题的否定为真命题,参变分离得到,构造函数求在所给区间上的最小值.‎ ‎【详解】‎ 解:由题意可知,是真命题 对恒成立,‎ 令 令则;令则;‎ 即在上单调递减,上单调递增;‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据命题的真假求参数的取值范围,关键是将问题进行转化,属于中档题.‎ ‎15.设,则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将式子变形可得,根据已知条件可得利用基本不等式可得最小值.‎ ‎【详解】‎ 解:‎ 当且仅当时取等号,故最小值为 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式的性质,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎16.已知函数.‎ ‎(I)若曲线在点处的切线方程为,求的值;‎ ‎(II)若,求的单调区间.‎ ‎【答案】(Ⅰ)‎ ‎(Ⅱ)在区间上单调递增,在区间上单调递减 ‎【解析】(Ⅰ)求出函数的导函数,根据题意可得得到关于的方程组,解得;‎ ‎(Ⅱ)求出函数的导函数,解得函数的单调递增区间,解得函数的单调递减区间.‎ ‎【详解】‎ 解:(Ⅰ)‎ ‎ ‎ 因为函数在点处的切线方程为 ‎ ‎ 解得 ‎ ‎(Ⅱ).‎ 令,得或 . ‎ 因为,所以时, ;‎ ‎ 时,. ‎ 故在区间上单调递增,在区间上单调递减 ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性,属于基础题.‎ ‎17.如图,在四棱锥中,⊥平面, ‎ 点为的中点.‎ ‎ ‎ ‎(I) 证明:平面;‎ ‎(II)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析 ‎(Ⅱ)‎ ‎【解析】(Ⅰ)建立空间直角坐标系,取中点,可证,即可得到平面.‎ ‎(Ⅱ)根据(Ⅰ)所建坐标系,求出平面的法向量以及直线的方向向量,利用夹角公式解得.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)证明: 取中点,易知是边长为2的正方形.依题意,可以建立以为原点,分别以,,的方向为轴,轴,轴正方向的空间直角坐标系(如图),‎ 可得,,,,,,. ‎ 取中点,则,即 ‎ 又,可得, ‎ 又因为直线平面,所以平面. ‎ ‎(Ⅱ)解:依题意,,, ‎ 设为平面的法向量,‎ 则 即 不妨令,可得 ‎ 因此有 . ‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的判定,线面角的计算问题,关键建立空间直角坐标系,利用空间向量解决立体几何中的问题,属于中档题.‎ ‎18.设数列的前项和为,且,等比数列满足.‎ ‎(I)求和的通项公式;‎ ‎(II)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ);‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎【解析】(Ⅰ)根据求得的通项公式,根据的通项公式,可计算,,即可求出等比数列的公比,得到数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)利用错位相减法求数列的前项和.‎ ‎【详解】‎ 解(Ⅰ)由,得 当时, ‎ 当时, ‎ 经检验时也成立,‎ 所以 即,‎ 记数列的公比为,则,所以 即 ‎(Ⅱ)设数列的前项和为,‎ 由,,有 ‎ 故,‎ 上述两式相减,得 ‎ ‎ ‎ 得. ‎ 所以,数列的前项和为 ‎【点睛】‎ 本题考查等差、等比数列通项的计算,等比数列前项和公式的应用,利用错位相减法求差比数列的前项和,属于中档题.‎ ‎19.已知椭圆的长轴长为4,离心率为.‎ ‎(I)求C的方程;‎ ‎(II)设直线交C于A,B两点,点A在第一象限,轴,垂足为M, 连结BM并延长交C于点N.求证:点A在以BN为直径的圆上.‎ ‎【答案】(Ⅰ)‎ ‎(Ⅱ)见解析 ‎【解析】(Ⅰ)由长轴长为4,得到,再由离心率为,可求的值,根据 计算出的值,即可得到椭圆方程;‎ ‎(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程,表示出两点,通过证明,得到点在以为直径的圆上.‎ ‎【详解】‎ 解析 (Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意,,又, ‎ 可得, ‎ 所以,椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)由得 记,则.‎ 于是直线的斜率为,方程为 ‎ 由得.①‎ 设,则和是方程①的解,‎ 故 ,由此得 ‎ 从而直线的斜率为 ‎ 所以,即点在以为直径的圆上.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的计算问题,直线与圆锥曲线综合问题,属于难题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(I)若,求的极值;‎ ‎(II)证明:当时,.‎ ‎【答案】(Ⅰ)‎ ‎(Ⅱ)见解析 ‎【解析】(Ⅰ)求出函数的导函数,分析函数的单调性,即可得到函数的极值;‎ ‎(Ⅱ)构造函数,证明函数在时恒成立.‎ ‎【详解】‎ 解(Ⅰ)‎ ‎, ‎ 当时,;当时, ‎ 当变化时,的变化情况如下表:‎ 单调递增 单调递减 因此,当时,有极大值,并且极大值为 ,没有极小值.‎ ‎(Ⅱ)令函数, ‎ 由(Ⅰ)知在区间上单调递增,在区间上单调递减.‎ 又 ‎ 故在存在唯一零点.设为,则 当时,;当时,,‎ 所以在区间上单调递增,在区间上单调递减 又 ,所以,当时,. ‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的极值,利用导数证明不等式恒成立问题,属于综合题.‎
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