2020年浙江省衢州市中考数学试卷

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2020年浙江省衢州市中考数学试卷

2020 年浙江省衢州市中考数学试卷 一、选择题(本题共有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.(3 分)比 0 小 1 的数是 ( ) A.0 B. 1 C.1 D. 1 2.(3 分)下列几何体中,俯视图是圆的几何体是 ( ) A. B. C. D. 3.(3 分)计算 2 3( )a ,正确结果是 ( ) A. 5a B. 6a C. 8a D. 9a 4.(3 分)如图是一个游戏转盘,自由转动转盘,当转盘停止转动后,指针落在数字“Ⅱ” 所示区域内的概率是 ( ) A. 1 3 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 8 5.(3 分)要使二次根式 3x  有意义,则 x 的值可以为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 6.(3 分)不等式组 3( 2) 4 3 2 1 x x x x      „ 的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 7.(3 分)某厂家 2020 年1~ 5 月份的口罩产量统计如图所示.设从 2 月份到 4 月份,该厂 家口罩产量的平均月增长率为 x ,根据题意可得方程 ( ) A. 2180(1 ) 461x  B. 2180(1 ) 461x  C. 2368(1 ) 442x  D. 2368(1 ) 442x  8.(3 分)过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线,下列尺规作图中错误的是 ( ) A. B. C. D. 9.(3 分)二次函数 2y x 的图象平移后经过点 (2,0) ,则下列平移方法正确的是 ( ) A.向左平移 2 个单位,向下平移 2 个单位 B.向左平移 1 个单位,向上平移 2 个单位 C.向右平移 1 个单位,向下平移 1 个单位 D.向右平移 2 个单位,向上平移 1 个单位 10.(3 分)如图,把一张矩形纸片 ABCD 按所示方法进行两次折叠,得到等腰直角三角形 BEF ,若 1BC  ,则 AB 的长度为 ( ) A. 2 B. 2 1 2  C. 5 1 2  D. 4 3 二、填空题(本题共有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.(4 分)一元一次方程 2 1 3x   的解是 x  . 12.(4 分)定义 a ※ ( 1)b a b  ,例如 2※ 3 2 (3 1) 2 4 8      .则 ( 1)x  ※ x 的结果 为 . 13.(4 分)某班五个兴趣小组的人数分别为 4,4,5, x ,6.已知这组数据的平均数是 5, 则这组数据的中位数是 . 14.(4 分)小慧用图 1 中的一副七巧板拼出如图 2 所示的“行礼图”,已知正方形 ABCD 的 边长为 4dm ,则图 2 中 h 的值为 dm . 15.(4 分)如图,将一把矩形直尺 ABCD 和一块含30 角的三角板 EFG 摆放在平面直角坐 标系中,AB 在 x 轴上,点 G 与点 A 重合,点 F 在 AD 上,三角板的直角边 EF 交 BC 于点 M , 反比例函数 ( 0)ky xx   的图象恰好经过点 F , M .若直尺的宽 3CD  ,三角板的斜边 8 3FG  ,则 k  . 16.(4 分)图 1 是由七根连杆链接而成的机械装置,图 2 是其示意图.已知 O , P 两点固 定,连杆 140PA PC cm  , 60AB BC CQ QA cm    , 50OQ cm ,O , P 两点间距与 OQ 长度相等.当 OQ 绕点 O 转动时,点 A ,B ,C 的位置随之改变,点 B 恰好在线段 MN 上来回运动.当点 B 运动至点 M 或 N 时,点 A , C 重合,点 P , Q , A , B 在同一直线 上(如图 3) . (1)点 P 到 MN 的距离为 cm . (2)当点 P , O , A 在同一直线上时,点 Q 到 MN 的距离为 cm . 三、解答题(本题共有 8 小题,第 17~19 小题每小题 6 分,第 20~21 小题每小题 6 分, 第 22~23 小题每小题 6 分,第 24 小题 12 分,共 66 分.请务必写出解答过程) 17.(6 分)计算: 01| 2| ( ) 9 2sin303     . 18.(6 分)先化简,再求值: 2 1 2 1 1 a a a a    ,其中 3a  . 19.(6 分)如图,在 5 5 的网格中, ABC 的三个顶点都在格点上. (1)在图 1 中画出一个以 AB 为边的 ABDE ,使顶点 D , E 在格点上. (2)在图 2 中画出一条恰好平分 ABC 周长的直线 l (至少经过两个格点). 20.(8 分)某市在九年级“线上教学”结束后,为了解学生的视力情况,抽查了部分学生 进行视力检测.根据检测结果,制成下面不完整的统计图表. 被抽样的学生视力情况频数表 组别 视力段 频数 A 5.1 5.3x„ „ 25 B 4.8 5.0x„ „ 115 C 4.4 4.7x„ „ m D 4.0 4.3x„ „ 52 (1)求组别 C 的频数 m 的值. (2)求组别 A 的圆心角度数. (3)如果视力值 4.8 及以上属于“视力良好”,请估计该市 25000 名九年级学生达到“视力 良好”的人数.根据上述图表信息,你对视力保护有什么建议? 21.(8 分)如图, ABC 内接于 O , AB 为 O 的直径, 10AB  , 6AC  ,连结 OC , 弦 AD 分别交 OC , BC 于点 E , F ,其中点 E 是 AD 的中点. (1)求证: CAD CBA   . (2)求 OE 的长. 22.(10 分)2020 年 5 月 16 日,“钱塘江诗路”航道全线开通.一艘游轮从杭州出发前往衢 州,线路如图 1 所示.当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时,一艘货轮沿着同样的线 路从杭州出发前往衢州.已知游轮的速度为 20 /km h ,游轮行驶的时间记为 ( )t h ,两艘轮船 距离杭州的路程 ( )s km 关于 ( )t h 的图象如图 2 所示(游轮在停靠前后的行驶速度不变). (1)写出图 2 中 C 点横坐标的实际意义,并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长. (2)若货轮比游轮早 36 分钟到达衢州.问: ①货轮出发后几小时追上游轮? ②游轮与货轮何时相距12km ? 23.(10 分)如图 1,在平面直角坐标系中, ABC 的顶点 A ,C 分別是直线 8 43y x   与 坐标轴的交点,点 B 的坐标为 ( 2,0) ,点 D 是边 AC 上的一点, DE BC 于点 E ,点 F 在 边 AB 上,且 D , F 两点关于 y 轴上的某点成中心对称,连结 DF , EF .设点 D 的横坐标 为 m , 2EF 为 l ,请探究: ①线段 EF 长度是否有最小值. ② BEF 能否成为直角三角形. 小明尝试用“观察  猜想  验证  应用”的方法进行探究,请你一起来解决问题. (1)小明利用“几何画板”软件进行观察,测量,得到 l 随 m 变化的一组对应值,并在平 面直角坐标系中以各对应值为坐标描点(如图 2) .请你在图 2 中连线,观察图象特征并猜 想 l 与 m 可能满足的函数类别. (2)小明结合图 1,发现应用三角形和函数知识能验证(1)中的猜想,请你求出 l 关于 m 的函数表达式及自变量的取值范围,并求出线段 EF 长度的最小值. (3)小明通过观察,推理,发现 BEF 能成为直角三角形,请你求出当 BEF 为直角三角 形时 m 的值. 24.(12 分)【性质探究】 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC ,BD 相交于点 O ,AE 平分 BAC ,交 BC 于点 E .作 DF AE 于点 H ,分别交 AB , AC 于点 F , G . (1)判断 AFG 的形状并说明理由. (2)求证: 2BF OG . 【迁移应用】 (3)记 DGO 的面积为 1S , DBF 的面积为 2S ,当 1 2 1 3 S S  时,求 AD AB 的值. 【拓展延伸】 (4)若 DF 交射线 AB 于点 F ,【性质探究】中的其余条件不变,连结 EF ,当 BEF 的面 积为矩形 ABCD 面积的 1 10 时,请直接写出 tan BAE 的值. 2020 年浙江省衢州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.(3 分)比 0 小 1 的数是 ( ) A.0 B. 1 C.1 D. 1 【分析】根据题意列式计算即可得出结果. 【解答】解: 0 1 1   , 即比 0 小 1 的数是 1 . 故选: B . 【点评】本题主要考查了有理数的减法,理清题意,正确列出算式是解答本题的关键. 2.(3 分)下列几何体中,俯视图是圆的几何体是 ( ) A. B. C. D. 【分析】分别找出从图形的上面看所得到的图形即可. 【解答】解: A 、俯视图是圆,故此选项正确; B 、俯视图是正方形,故此选项错误; C 、俯视图是长方形,故此选项错误; D 、俯视图是长方形,故此选项错误. 故选: A . 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图,关键是掌握俯视图是从几何体的上面看所得 到的图形. 3.(3 分)计算 2 3( )a ,正确结果是 ( ) A. 5a B. 6a C. 8a D. 9a 【分析】根据幂的乘方法则进行计算即可. 【解答】解:由幂的乘方与积的乘方法则可知, 2 3 2 3 6( )a a a  . 故选: B . 【点评】本题考查的是幂的乘方法则,即底数不变,指数相乘. 4.(3 分)如图是一个游戏转盘,自由转动转盘,当转盘停止转动后,指针落在数字“Ⅱ” 所示区域内的概率是 ( ) A. 1 3 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 8 【分析】直接利用“Ⅱ”所示区域所占圆周角除以 360,进而得出答案. 【解答】解:由扇形统计图可得,指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是: 120 1 360 3  . 故选: A . 【点评】此题主要考查了概率公式,正确理解概率的求法是解题关键. 5.(3 分)要使二次根式 3x  有意义,则 x 的值可以为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 3 0x  … ,再解即可. 【解答】解:由题意得: 3 0x  … , 解得: 3x… , 故选: D . 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,关键是掌握二次根式中的被开方数是非负 数. 6.(3 分)不等式组 3( 2) 4 3 2 1 x x x x      „ 的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 【分析】分别解两个不等式,然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集,再在数轴 上表示出来即可求解. 【解答】解:  3 2 4 3 2 1 x x x x       ① ② „ , 由①得 1x„ ; 由②得 1x   ; 故不等式组的解集为 1 1x  „ , 在数轴上表示出来为: . 故选: C . 【点评】本题考查了解一元一次不等式组的方法:分别解几个不等式,它们解的公共部分即 为不等式组的解;按照“同大取大,同小取小,大于小的小于大的取中间,大于小的小于大 的为空集”得到公共部分. 7.(3 分)某厂家 2020 年1~ 5 月份的口罩产量统计如图所示.设从 2 月份到 4 月份,该厂 家口罩产量的平均月增长率为 x ,根据题意可得方程 ( ) A. 2180(1 ) 461x  B. 2180(1 ) 461x  C. 2368(1 ) 442x  D. 2368(1 ) 442x  【分析】本题为增长率问题,一般用增长后的量  增长前的量 (1  增长率),如果设这个增 长率为 x ,根据“2 月份的 180 万只,4 月份的利润将达到 461 万只”,即可得出方程. 【解答】解:从 2 月份到 4 月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为 x ,根据题意可得方程: 2180(1 ) 461x  , 故选: B . 【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程,本题为增长率问题,一般形式为 2(1 )a x b  , a为起始时间的有关数量, b 为终止时间的有关数量. 8.(3 分)过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线,下列尺规作图中错误的是 ( ) A. B. C. D. 【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可. 【解答】解: A 、由作图可知,内错角相等两直线平行,本选项不符合题意. B 、由作图可知,同位角相等两直线平行,本选项不符合题意. C 、与作图可知,垂直于同一条直线的两条直线平行,本选项不符合题意, D 、无法判断两直线平行, 故选: D . 【点评】本题考查作图  复杂作图,平行线的判定等知识,解题的关键是读懂图象信息,属 于中考常考题型. 9.(3 分)二次函数 2y x 的图象平移后经过点 (2,0) ,则下列平移方法正确的是 ( ) A.向左平移 2 个单位,向下平移 2 个单位 B.向左平移 1 个单位,向上平移 2 个单位 C.向右平移 1 个单位,向下平移 1 个单位 D.向右平移 2 个单位,向上平移 1 个单位 【分析】求出平移后的抛物线的解析式,利用待定系数法解决问题即可. 【解答】解: A 、平移后的解析式为 2( 2) 2y x   ,当 2x  时, 14y  ,本选项不符合题 意. B 、平移后的解析式为 2( 1) 2y x   ,当 2x  时, 11y  ,本选项不符合题意. C 、平移后的解析式为 2( 1) 1y x   ,当 2x  时, 0y  ,函数图象经过 (2,0) ,本选项符 合题意. D 、平移后的解析式为 2( 2) 1y x   ,当 2x  时, 1y  ,本选项不符合题意. 故选: C . 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换,二次函数图象上点的特征,解题的关键是熟练 掌握基本知识,属于中考常考题型. 10.(3 分)如图,把一张矩形纸片 ABCD 按所示方法进行两次折叠,得到等腰直角三角形 BEF ,若 1BC  ,则 AB 的长度为 ( ) A. 2 B. 2 1 2  C. 5 1 2  D. 4 3 【分析】先判断出 45ADE   ,进而判断出 AE AD ,利用勾股定理即可得出结论. 【解答】解: 由折叠补全图形如图所示, 四边形 ABCD 是矩形, 90ADA B C A         , 1AD BC  , CD AB , 由第一次折叠得: 90DAE A    , 1 452ADE ADC     , 45AED ADE    , 1AE AD   , 在 Rt ADE 中,根据勾股定理得, 2 2DE AD  , 故选: A . 【点评】此题主要考查了折叠问题,掌握折叠前后的对应边,对应角相等是解本题的关键. 二、填空题(本题共有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.(4 分)一元一次方程 2 1 3x   的解是 x  1 . 【分析】将方程移项,然后再将系数化为 1 即可求得一元一次方程的解. 【解答】解;将方程移项得, 2 2x  , 系数化为 1 得, 1x  . 故答案为:1. 【点评】此题主要考查学生对解一元一次方程这一知识点的理解和掌握,此题比较简单,属 于基础题 12.(4 分)定义 a ※ ( 1)b a b  ,例如 2※ 3 2 (3 1) 2 4 8      .则 ( 1)x  ※ x 的结果为 2 1x  . 【分析】根据规定的运算,直接代值后再根据平方差公式计算即可. 【解答】解:根据题意得: ( 1)x  ※ 2( 1)( 1) 1x x x x     . 故答案为: 2 1x  . 【点评】本题主要考查平方差公式,解题的关键是理解新定义的运用. 13.(4 分)某班五个兴趣小组的人数分别为 4,4,5, x ,6.已知这组数据的平均数是 5, 则这组数据的中位数是 5 . 【分析】先根据平均数的定义计算出 x 的值,再把数据按从小到大的顺序排列,找出最中间 的数,即为中位数. 【解答】解:某班五个兴趣小组的人数分别为 4,4,5, x ,6,已知这组数据的平均数 是 5, 5 5 4 4 5 6 6x        , 这一组数从小到大排列为:4,4,5,6,6, 这组数据的中位数是 5. 故答案为:5. 【点评】本题考查了中位数的知识,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列, 如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数,如果这组数据的个数 是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.也考查了平均数的定义. 14.(4 分)小慧用图 1 中的一副七巧板拼出如图 2 所示的“行礼图”,已知正方形 ABCD 的 边长为 4dm ,则图 2 中 h 的值为 (4 2) dm . 【分析】根据七巧板的特征,依次得到②④⑥⑦的高,再相加即可求解. 【解答】解:正方形 ABCD 的边长为 4dm , ②的斜边上的高是 2dm ,④的高是1dm ,⑥的斜边上的高是1dm ,⑦的斜边上的高是 2dm , 图 2 中 h 的值为 (4 2)dm . 故答案为: (4 2) . 【点评】本题考查正方形的性质,七巧板知识,解题的关键是得到②④⑥⑦的高解决问题. 15.(4 分)如图,将一把矩形直尺 ABCD 和一块含30 角的三角板 EFG 摆放在平面直角坐 标系中,AB 在 x 轴上,点 G 与点 A 重合,点 F 在 AD 上,三角板的直角边 EF 交 BC 于点 M , 反比例函数 ( 0)ky xx   的图象恰好经过点 F , M .若直尺的宽 3CD  ,三角板的斜边 8 3FG  ,则 k  40 3 . 【分析】通过作辅助线,构造直角三角形,求出 MN , FN ,进而求出 AN 、 MB ,表示出 点 F 、点 M 的坐标,利用反比例函数 k 的意义,确定点 F 的坐标,进而确定 k 的值即可. 【解答】解:过点 M 作 MN AD ,垂足为 N ,则 3MN CD  , 在 Rt FMN 中, 30MFN   , 3 3 3FN MN   , 8 3 3 3 5 3AN MB     , 设 OA x ,则 3OB x  , (F x ,8 3) , ( 3M x  , 5 3) , 8 3 ( 3) 5 3x x    , 解得, 5x  , (5F ,8 3) , 5 8 3 40 3k    . 故答案为: 40 3 . 【点评】考查反比例函数的图象上点的坐标特征,把点的坐标代入函数关系式是常用的方法. 16.(4 分)图 1 是由七根连杆链接而成的机械装置,图 2 是其示意图.已知 O , P 两点固 定,连杆 140PA PC cm  , 60AB BC CQ QA cm    , 50OQ cm ,O , P 两点间距与 OQ 长度相等.当 OQ 绕点 O 转动时,点 A ,B ,C 的位置随之改变,点 B 恰好在线段 MN 上来回运动.当点 B 运动至点 M 或 N 时,点 A , C 重合,点 P , Q , A , B 在同一直线 上(如图 3) . (1)点 P 到 MN 的距离为 160 cm . (2)当点 P , O , A 在同一直线上时,点 Q 到 MN 的距离为 cm . 【分析】(1)如图 3 中,延长 PO 交 MN 于T ,过点 O 作OH PQ 于 H .解直角三角形求 出 PT 即可. (2)如图 4 中,当 O , P , A 共线时,过 Q 作 QH PT 于 H .设 HA xcm .解直角三 角形求出 HT 即可. 【解答】解:(1)如图 3 中,延长 PO 交 MN 于T ,过点 O 作 OH PQ 于 H . 由 题 意 : 50OP OQ cm  , 14 60 80( )PQ PA AQ cm      , 140 60 200( )PM PA BC cm     , PT MN , OH PQ , 40( )PH HQ cm   , cos PH PTP OP PM    ,  40 50 200 PT , 160( )PT cm  , 点 P 到 MN 的距离为160cm , 故答案为 160. (2)如图 4 中,当 O , P , A 共线时,过 Q 作 QH PT 于 H .设 HA xcm . 由题意 160 140 20( )AT PT PA cm     , 140 50 90( )OA PA OP cm     , 50OQ cm , 60AQ cm , QH OA , 2 2 2 2 2QH AQ AH OQ OH     , 2 2 2 260 50 (90 )x x     , 解得 460 9x  , 640 ( )9HT AH AT cm    , 点 Q 到 MN 的距离为 640 9 cm. 故答案为 640 9 . 【点评】本题考查解直角三角形的应用,等腰三角形的性质,菱形的性质等知识,解题的关 键是理解题意,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会利用参数构建方程解 决问题. 三、解答题(本题共有 8 小题,第 17~19 小题每小题 6 分,第 20~21 小题每小题 6 分, 第 22~23 小题每小题 6 分,第 24 小题 12 分,共 66 分.请务必写出解答过程) 17.(6 分)计算: 01| 2| ( ) 9 2sin303     . 【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出 答案. 【解答】解:原式 12 1 3 2 2      2 1 3 1    1 . 【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键. 18.(6 分)先化简,再求值: 2 1 2 1 1 a a a a    ,其中 3a  . 【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简进而代入数据求出答案. 【解答】解:原式 2 ( 1)( 1) a aa    1 a a   , 当 3a  时,原式 3 3 3 1 2   . 【点评】此题主要考查了分式的化简求值,正确化简分式是解题关键. 19.(6 分)如图,在 5 5 的网格中, ABC 的三个顶点都在格点上. (1)在图 1 中画出一个以 AB 为边的 ABDE ,使顶点 D , E 在格点上. (2)在图 2 中画出一条恰好平分 ABC 周长的直线 l (至少经过两个格点). 【分析】(1)根据平行四边形的定义画出图形即可(答案不唯一). (2)利用数形结合的思想解决问题即可. 【解答】解:(1)如图平行四边形 ABDE 即为所求(点 D 的位置还有 6 种情形可取). (2)如图,直线 l 即为所求、 【点评】本题考查作图  应用与设计,平行四边形的性质,三角形的周长等知识,解题的关 键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 20.(8 分)某市在九年级“线上教学”结束后,为了解学生的视力情况,抽查了部分学生 进行视力检测.根据检测结果,制成下面不完整的统计图表. 被抽样的学生视力情况频数表 组别 视力段 频数 A 5.1 5.3x„ „ 25 B 4.8 5.0x„ „ 115 C 4.4 4.7x„ „ m D 4.0 4.3x„ „ 52 (1)求组别 C 的频数 m 的值. (2)求组别 A 的圆心角度数. (3)如果视力值 4.8 及以上属于“视力良好”,请估计该市 25000 名九年级学生达到“视力 良好”的人数.根据上述图表信息,你对视力保护有什么建议? 【分析】(1)根据统计图中的数据,可以得到本次抽查的人数,从而可以得到 m 的值; (2)根据(1)中的结果和频数分布表,可以得到组别 A 的圆心角度数; (3)根据统计图中的数据,可以得到该市 25000 名九年级学生达到“视力良好”的人数, 并提出合理化建议,建议答案不唯一,只要对保护眼睛好即可. 【解答】解:(1)本次抽查的人数为:115 23% 500  , 500 61.6% 308m    , 即 m 的值是 308; (2)组别 A 的圆心角度数是: 25360 18500   , 即组别 A 的圆心角度数是18 ; (3) 25 11525000 7000500   (人 ) , 答:该市 25000 名九年级学生达到“视力良好”的有 7000 人, 建议是:同学们应少玩电子产品,注意用眼保护. 【点评】本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答. 21.(8 分)如图, ABC 内接于 O , AB 为 O 的直径, 10AB  , 6AC  ,连结 OC , 弦 AD 分别交 OC , BC 于点 E , F ,其中点 E 是 AD 的中点. (1)求证: CAD CBA   . (2)求 OE 的长. 【分析】(1)利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可. (2)证明 AEC BCA ∽ ,推出 CE AC AC AB  ,求出 EC 即可解决问题. 【解答】(1)证明: AE DE , OC 是半径,   AC CD , CAD CBA   . (2)解: AB 是直径, 90ACB   , AE DE , OC AD  , 90AEC  , AEC ACB   , AEC BCA ∽ ,  CE AC AC AB  ,  6 6 10 CE  , 3.6CE  , 1 52OC AB  , 5 3.6 1.4OE OC EC      . 【点评】本题考查三角形的外心,勾股定理,垂径定理,圆周角定理等知识,解题的关键是 熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 22.(10 分)2020 年 5 月 16 日,“钱塘江诗路”航道全线开通.一艘游轮从杭州出发前往衢 州,线路如图 1 所示.当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时,一艘货轮沿着同样的线 路从杭州出发前往衢州.已知游轮的速度为 20 /km h ,游轮行驶的时间记为 ( )t h ,两艘轮船 距离杭州的路程 ( )s km 关于 ( )t h 的图象如图 2 所示(游轮在停靠前后的行驶速度不变). (1)写出图 2 中 C 点横坐标的实际意义,并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长. (2)若货轮比游轮早 36 分钟到达衢州.问: ①货轮出发后几小时追上游轮? ②游轮与货轮何时相距12km ? 【分析】(1)根据图中信息解答即可. (2)①求出 B , C , D , E 的坐标,利用待定系数法求解即可. (3)分两种情形分别构建方程求解即可. 【解答】解:(1) C 点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了 23h . 游轮在“七里扬帆”停靠的时长 23 (420 20) 23 21 2( )h      . (2)① 280 20 14h  , 点 (14,280)A ,点 (16,280)B , 36 60 0.6( )h  , 23 0.6 22.4  , 点 (22.4,420)E , 设 BC 的解析式为 20s t b  ,把 (16,280)B 代入 20s t b  ,可得 40b   , 20 40(16 23)s t t   „ „ , 同理由 (14,0)D , (22E ,4, 420) 可得 DE 的解析式为 50 700(14 22.4)s t t  „ „ , 由题意: 20 40 50 700t t   , 解得 22t  , 22 14 8( )h  , 货轮出发后 8 小时追上游轮. ②相遇之前相距12km 时, 20 4 (50 700) 12t t    ,解得 21.6t  . 相遇之后相距12km 时, 50 700 (20 40) 12t t    ,解得 22.4t  , 21.6h 或 22.4h 时游轮与货轮何时相距12km . 【点评】本题考查一次函数的应用,解题的关键是读懂图象信息,熟练运用待定系数法解决 问题,属于中考常考题型. 23.(10 分)如图 1,在平面直角坐标系中, ABC 的顶点 A ,C 分別是直线 8 43y x   与 坐标轴的交点,点 B 的坐标为 ( 2,0) ,点 D 是边 AC 上的一点, DE BC 于点 E ,点 F 在 边 AB 上,且 D , F 两点关于 y 轴上的某点成中心对称,连结 DF , EF .设点 D 的横坐标 为 m , 2EF 为 l ,请探究: ①线段 EF 长度是否有最小值. ② BEF 能否成为直角三角形. 小明尝试用“观察  猜想  验证  应用”的方法进行探究,请你一起来解决问题. (1)小明利用“几何画板”软件进行观察,测量,得到 l 随 m 变化的一组对应值,并在平 面直角坐标系中以各对应值为坐标描点(如图 2) .请你在图 2 中连线,观察图象特征并猜 想 l 与 m 可能满足的函数类别. (2)小明结合图 1,发现应用三角形和函数知识能验证(1)中的猜想,请你求出 l 关于 m 的函数表达式及自变量的取值范围,并求出线段 EF 长度的最小值. (3)小明通过观察,推理,发现 BEF 能成为直角三角形,请你求出当 BEF 为直角三角 形时 m 的值. 【分析】(1)根据描点法画图即可; ( 2 ) 过 点 F , D 分 别 作 FG , DH 垂 直 于 y 轴 , 垂 足 分 别 为 G , H , 证 明 Rt FGK Rt DHK(AAS)   ,由全等三角形的性质得出 FG DH ,可求出 ( , 2 4)F m m   , 根据勾股定理得出 2 2 28 16 16 8( 1) 8l EF m m m       ,由二次函数的性质可得出答案; (3)分三种不同情况,根据直角三角形的性质得出 m 的方程,解方程求出 m 的值,则可求 出答案. 【解答】解:(1)用描点法画出图形如图 1,由图象可知函数类别为二次函数. (2)如图 2,过点 F , D 分别作 FG , DH 垂直于 y 轴,垂足分别为G , H , 则 90FGK DHK    , 记 FD 交 y 轴于点 K , D 点与 F 点关于 y 轴上的 K 点成中心对称, KF KD  , FKG DKH   , Rt FGK Rt DHK(AAS)    , FG DH  , 直线 AC 的解析式为 8 43y x   , 0x  时, 4y  , (0,4)A , 又 ( 2,0)B  , 设直线 AB 的解析式为 y kx b  ,  2 0 4 k b b      , 解得 2 4 k b    , 直线 AB 的解析式为 2 4y x  , 过点 F 作 FR x 轴于点 R , D 点的橫坐标为 m , ( , 2 4)F m m    , 2ER m  , 2 4FR m   , 2 2 2EF FR ER  , 2 2 28 16 16 8( 1) 8l EF m m m        , 令 8 4 03 x   ,得 3 2x  , 30 2m „ „ . 当 1m  时, l 的最小值为 8, EF 的最小值为 2 2 . (3)① FBE 为定角,不可能为直角. ② 90BEF   时, E 点与 O 点重合, D 点与 A 点, F 点重合,此时 0m  . ③如图 3, 90BFE  时,有 2 2 2BF EF BE  . 由(2)得 2 28 16 16EF m m   , 又 2BR m   , 2 4FR m   , 2 2 2 2 2 2( 2) ( 2 4) 5 20 20BF BR FR m m m m            , 又 2 2( 2)BE m  , 2 2 2 2(5 20 8) (8 16 16) ( 2)m m m m m        , 化简得, 23 10 8 0m m   , 解得 1 4 3m  , 2 2m  (不合题意,舍去), 4 3m  . 综合以上可得,当 BEF 为直角三角形时, 0m  或 4 3m  . 【点评】本题是一次函数综合题,考查了描点法画函数图象,待定系数法,全等三角形的判 定与性质,坐标与图形的性质,二次函数的性质,勾股定理,中心对称的性质,直角三角形 的性质等知识,熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键. 24.(12 分)【性质探究】 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC ,BD 相交于点 O ,AE 平分 BAC ,交 BC 于点 E .作 DF AE 于点 H ,分别交 AB , AC 于点 F , G . (1)判断 AFG 的形状并说明理由. (2)求证: 2BF OG . 【迁移应用】 (3)记 DGO 的面积为 1S , DBF 的面积为 2S ,当 1 2 1 3 S S  时,求 AD AB 的值. 【拓展延伸】 (4)若 DF 交射线 AB 于点 F ,【性质探究】中的其余条件不变,连结 EF ,当 BEF 的面 积为矩形 ABCD 面积的 1 10 时,请直接写出 tan BAE 的值. 【分析】(1)如图 1 中, AFG 是等腰三角形.利用全等三角形的性质证明即可. (2)如图 2 中,过点 O 作 / /OL AB 交 DF 于 L ,则 AFG OLG   .首先证明 OG OL , 再证明 2BF OL 即可解决问题. (3)如图 3 中,过点 D 作 DK AC 于 K ,则 90DKA CDA     ,利用相似三角形的性 质解决问题即可. (4)设OG a , AG k .分两种情形:①如图 4 中,连接 EF ,当点 F 在线段 AB 上时, 点 G 在 OA 上.②如图 5 中,当点 F 在 AB 的延长线上时,点 G 在线段 OC 上,连接 EF .分 别求解即可解决问题. 【解答】(1)解:如图 1 中, AFG 是等腰三角形. 理由: AE 平分 BAC , 1 2   , DF AE , 90AHF AHG     , AH AH , ( )AHF AHG ASA   , AF AG  , AFG 是等腰三角形. (2)证明:如图 2 中,过点 O 作 / /OL AB 交 DF 于 L ,则 AFG OLG   . AF AG , AFG AGF   , AGF OGL   , OGL OLG   , OG OL  , / /OL AB , DLO DFB ∽ ,  OL DO BF BD  , 四边形 ABCD 是矩形, 2BD OD  , 2BF OL  , 2BF OG  . (3)解:如图 3 中,过点 D 作 DK AC 于 K ,则 90DKA CDA     , DAK CAD   , ADK ACD ∽ ,  DK CD AD AC  , 1 1 2S OG DK   , 2 1 2S BF AD   , 又 2BF OG , 1 2 1 3 S S  ,  2 3 DK CD AD AC   ,设 2CD x , 3AC x ,则 5AD x ,  5 2 AD AD AB CD   . (4)解:设 OG a , AG k . ①如图 4 中,连接 EF ,当点 F 在线段 AB 上时,点 G 在 OA 上. AF AG , 2BF OG , AF AG k   , 2BF a , 2AB k a   , 2( )AC k a  , 2 2 2 2 2 2[2( )] ( 2 ) 3 4AD AC CD k a k a k ka         , 90ABE DAF     , BAE ADF   , ABE DAF ∽ ,  BE AE AB AD  ,  2 BE k k a AD  , ( 2 )k k aBE AD   , 由题意: 1 ( 2 )10 2 ( 2 )2 k k aa AD k aAD      , 2 10AD ka  , 即 210 3 4ka k ka  , 2k a  , 2 5AD a  , ( 2 ) 4 5 5 k k aBE aAD    , 4AB a , 5tan 5 BEBAE AB     . ②如图 5 中,当点 F 在 AB 的延长线上时,点 G 在线段 OC 上,连接 EF . AF AG , 2BF OG , AF AG k   , 2BF a , 2AB k a   , 2( )AC k a  , 2 2 2 2 2 2[2( )] ( 2 ) 3 4AD AC CD k a k a k ka         , 90ABE DAF     , BAE ADF   , ABE DAF ∽ ,  BE AF AB AD  ,  2 BE k k a AD  , ( 2 )k k aBE AD   , 由题意: 1 ( 2 )10 2 ( 2 )2 k k aa AD k aAD      , 2 10AD ka  , 即 210 3 4ka k ka  , 14 3k a  , 2 105 3AD a  , ( 2 ) 8 105 45 k k aBE aAD    , 8 3AB a , 105tan 15 BEBAE AB     , 综上所述, tan BAE 的值为 5 5 或 105 15 . 【点评】本题属于四边形综合题,考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角 形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学 会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.
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