【数学】2020届一轮复习北师大版直线与圆学案

【数学】2020届一轮复习北师大版直线与圆学案

‎2020届一轮复习北师大版 直线与圆 学案 ‎ ‎【典例】1.已知过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为135°,则y=________.‎ ‎2.直线x-y+1=0上一点P的横坐标是3,若该直线绕点P逆时针旋转90°得直线l,则直线l的倾斜角为________,斜率为________.‎ ‎3.已知坐标平面内的三点A(-1,1),B(1,1),C(2,+1).‎ ‎(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角.‎ ‎(2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD的斜率k的取值范围.‎ ‎【解析】1.直线AB的斜率k=tan135°=-1,‎ 则=-1,‎ 解得y=-5.‎ 答案:-5‎ ‎2.因为x-y+1=0的倾斜角为45°,‎ 所以l的倾斜角为45°+90°=135°且tan135°=-1.‎ 答案:135°　-1‎ ‎3.(1)由斜率公式,得kAB==0,‎ kBC==,kAC==.‎ 因为tan0°=0,所以AB的倾斜角为0°;‎ 因为tan60°=,所以BC的倾斜角为60°;‎ 因为tan30°=,所以AC的倾斜角为30°.‎ ‎(2)如图,当斜率k变化时,直线CD绕点C旋转,‎ 当直线CD由CA逆时针转到CB的过程中,直线CD与AB恒有交点,即D在△ABC的边AB上,此时k由kC A增大到kC B,所以k的取值范围为.‎ ‎【延伸探究】本例2中若逆时针旋转45°,此时倾斜角为多少?斜率又为多少?‎ ‎【解析】因为x-y+1=0的倾斜角为45°,所以l的倾斜角为45°+45°=90°,所以倾斜角为90°,此时斜率不存在.‎ ‎【方法技巧】求直线斜率的方法 ‎(1)定义法.已知直线的倾斜角为α,且α≠90°,则斜率k=tanα.‎ ‎(2)公式法.若直线过两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2,则斜率k=.‎ ‎(3)数形结合法.已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下l的斜率,若直线PA,PB的斜率均存在,则步骤为:①连接PA,PB;②由k=求出kPA,kPB;③结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围.‎ ‎【变式训练】(2018·襄阳高一检测)已知点A(+1，0)，B(0，2).若直线l:y=k(x-1)+1与线段AB相交，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )‎ A.135°≤α≤150°‎ B.0°≤α≤135°‎ C.0°≤α≤135°或150°≤α＜180°‎ D.150°≤α＜180°‎ ‎【解析】选C.由直线方程可知直线过定点C(1，1)，‎ 因为kAC=-,kBC=-1，‎ 所以对应的倾斜角为150°，135°,‎ 所以倾斜角的范围是0°≤α≤135°或150°≤α＜180°.‎ ‎【补偿训练】已知实数x,y满足y=-2x+8,且2≤x≤3,则的最大值和最小值分别为________.‎ ‎【解析】如图,由已知,点P(x,y)在线段AB上运动,其中A(2,4),B(3,2),‎ 而=,其几何意义为直线OP的斜率.‎ 由图可知kO B≤kO P≤kO A,‎ 而kO B=,kO A=2.‎ 故所求的的最大值为2,最小值为.‎ 答案:2,‎ 类型二　直线方程及应用 ‎【典例】已知在第一象限的△ABC中,A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求:‎ ‎(1)AB边的方程.‎ ‎(2)AC和BC所在直线的方程.‎ ‎【解析】(1)如图所示,AB边的方程为y=1(1≤x≤5).‎ ‎(2)由AB∥x轴及△ABC在第一象限可知 kA C=tan60°=,‎ kB C=tan(180°-45°)=-1.‎ 由点斜式可得AC,BC边所在直线的方程分别为 y-1=(x-1),y-1=-(x-5).‎ 即x-y+1-=0,x+y-6=0.‎ ‎【方法技巧】直线方程的几种形式及确定 ‎(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的限制条件,不能表示所有的直线.直线方程的一般式可以表示所有直线.在解题的时候,如果没有特别说明,最后的结果都要化成一般式.‎ ‎(2)确定直线的方程有两种方法:‎ ‎①待定系数法,在设点的时候,要注意对斜率不存在的直线的讨论.‎ ‎②用轨迹的定义,从直线的几何性质出发,建立方程.‎ ‎【变式训练】求倾斜角为直线y=-x+1的倾斜角的一半,且分别满足下列条件的直线方程.‎ ‎(1)经过点(-4,1).‎ ‎(2)在y轴上的截距为-10.‎ ‎【解析】直线y=-x+1的斜率为-,可知此直线的倾斜角为120°,由题意知所求直线的倾斜角为60°,所以所求直线的斜率k=.‎ ‎(1)因为直线经过点(-4,1),所以直线的点斜式方程为y-1=(x+4),化为一般式为x-y+1+4=0.‎ ‎(2)因为直线在y轴上的截距为-10,所以直线的斜截式方程为y=x-10,化为一般式为x-y-10=0.‎ ‎【补偿训练】过点A(-5,-4)作一直线l,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为5,求直线l的方程.‎ ‎【解析】由题意知,直线l的斜率存在.设直线为y+4=k(x+5),交x轴于点,‎ 交y轴于点(0,5k-4),‎ S=××|5k-4|=5,‎ 得25k2-30k+16=0(无实根),‎ 或25k2-50k+16=0,‎ 解得k=或k=,‎ 所以所求直线l的方程为2x-5y-10=0或8x-5y+20=0.‎ 类型三　直线的平行与垂直 ‎【典例】已知两条直线l1:ax-by+4=0;l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.‎ ‎(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与直线l2垂直.‎ ‎(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.‎ ‎【解析】(1)因为l1⊥l2,所以a(a-1)+(-b)·1=0,‎ 即a2-a-b=0.①‎ 又点(-3,-1)在l1上,‎ 所以-3a+b+4=0.②‎ 由①②解得a=2,b=2.‎ ‎(2)因为l1∥l2且l2的斜率为1-a,‎ 所以l1的斜率也存在,=1-a,即b=.‎ 故l1和l2的方程可分别表示为 l1:(a-1)x+y+=0,l2:(a-1)x+y+=0.‎ 因为原点到l1与l2的距离相等,‎ 所以4=,所以a=2或a=.‎ 因此或 ‎【方法技巧】两直线平行与垂直的判定方法 方程 形式 l1:y=k1x+b1‎ l2:y=k2x+b2‎ l1:A1x+B1y+C1=0‎ l2:A2x+B2y+C2=0‎ ‎(A1,B1不同时为0)‎ ‎(A2,B2不同时为0)‎ 平行 l1∥l2⇔k1= k2,‎ l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0‎ b1≠b2‎ 且C1B2-C2B1≠0‎ 垂直 l1⊥l2⇔k1k2=-1‎ l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0‎ 提醒:用斜率之间的关系求参数值时,一般要对参数进行讨论.‎ ‎【变式训练】经过两直线3x-2y+1=0和x+3y+4=0的交点,且垂直于直线x+3y+4=0的直线方程为________.‎ ‎【解析】方法一:设所求直线方程为3x-2y+1+λ(x+3y+4)=0,‎ 即(3+λ)x+(3λ-2)y+(1+4λ)=0.‎ 由所求直线垂直于直线x+3y+4=0,得 ‎-·=-1.解得λ=.‎ 故所求直线方程是3x-y+2=0.‎ 答案:3x-y+2=0‎ 方法二:设所求直线方程为3x-y+m=0.‎ 由解得 即两已知直线的交点为(-1,-1).‎ 又3x-y+m=0过点(-1,-1),‎ 故-3+1+m=0,m=2.‎ 故所求直线方程为3x-y+2=0.‎ 答案:3x-y+2=0‎ ‎【补偿训练】1.(2018·清远高一检测)过点(1,-3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为　(　　)‎ A.x-2y-7=0 B.2x+y+1=0‎ C.x-2y+7=0 D.2x+y-1=0‎ ‎【解析】选A.x-2y+3=0中斜率k=,所以所求直线为y+3=(x-1),化简得x-2y-7=0.‎ ‎2.已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是 ‎　(　　)‎ A.1或3 B.1或5‎ C.3或5 D.1或2‎ ‎【解析】选C.当k=3时,两直线显然平行;当k≠3时,由两直线平行,斜率相等,得-=.‎ 解得k=5.‎ 类型四　距离问题 ‎【典例】1.若点(2,k)到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k的值是　(　　)‎ A.1 B.-3‎ C.1或 D.-3或 ‎2.求过直线4x-2y-1=0与直线x-2y+5=0的交点,且与P1(0,4),P2(2,0)两点距离相等的直线的方程.‎ ‎【解析】1.选D.由点到直线的距离公式得,4==,解得k=或k=-3.‎ ‎2.方法一:由 解得两直线交点为P.‎ 设所求直线为l:y-=k(x-2),‎ 即2kx-2y-4k+7=0.‎ 因为P1,P2到l的距离相等,‎ 所以=,‎ 解得k=或k=-2.‎ 故所求直线方程为3x-2y+1=0或4x+2y-15=0.‎ 方法二:由平面几何知识知所求直线过P1P2的中点或与P1P2平行.‎ 设所求直线为l:(4x-2y-1)+λ(x-2y+5)=0,‎ 即(4+λ)x-2(1+λ)y+(5λ-1)=0.‎ ‎(1)当l过P1P2的中点时,‎ 因为P1P2的中点为(1,2),‎ 所以(4×1-2×2-1)+λ(1-2×2+5)=0,‎ 解得λ=,于是有3x-2y+1=0.‎ ‎(2)当l∥P1P2时,因为k===-2,‎ 所以=-2,解得λ=-,‎ 于是有4x+2y-15=0.‎ 综上可知,所求直线l的方程为3x-2y+1=0或4x+2y-15=0.‎ ‎【方法技巧】距离公式的运用 ‎(1)距离问题包含两点间的距离,点到直线的距离,两平行直线间的距离.‎ ‎(2)牢记各类距离的公式并能直接应用,解决距离问题时,往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合.‎ 提醒:在应用两平行线间的距离公式时,应将两条直线方程中x,y的系数化成对应相同的形式.‎ ‎【变式训练】已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.‎ ‎(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程.‎ ‎(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.‎ ‎【解析】(1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x+y-5+λ(x-2y)=0,‎ 即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,‎ 所以=3,‎ 即2λ2-5λ+2=0,所以λ=或λ=2.‎ 所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.‎ ‎(2)由解得交点P(2,1),过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).所以dmax=|PA|=.‎ ‎【补偿训练】1.若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于,则k的取值范围是　(　　)‎ A.[-11,-1] B.[-11,0]‎ C.[-11,-6)∪(-6,-1] D.[-1,+∞)‎ ‎【解析】选C.y=-2x-k-2可化为2x+y+k+2=0,‎ 由题意,得=≤,‎ 且k+2≠-4即k≠-6,‎ 得-5≤k+6≤5,‎ 即-11≤k≤-1,且k≠-6.‎ ‎2.已知正方形中心为点M(-1,0),一条边所在的直线方程是x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方程.‎ ‎【解析】正方形中心到直线x+3y-5=0的距离d==.‎ 设与直线x+3y-5=0平行的直线方程为x+3y+C1=0,‎ 由正方形的性质可得=,‎ 解得C1=-5(舍)或C1=7.‎ 所以与直线x+3y-5=0相对的边所在的直线方程为x+3y+7=0.‎ 设与直线x+3y-5=0垂直的边所在的直线方程为3x-y+C2=0,‎ 由题意=.‎ 解得C2=9或C2=-3.‎ 所以另两边所在直线的方程为3x-y+9=0和3x-y-3=0.‎ 类型五　数形结合思想的应用 ‎【典例】1.(2018·洛阳高一检测)点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-5λ=0的距离为d,则d的最大值为________.‎ ‎2.已知点M(3,5),在直线l:x-2y+2=0和y轴上各找一点P和Q,使△‎ MPQ的周长最小.‎ ‎【解析】1.直线l的方程可化为x+y-2+λ(3x+y-5)=0,‎ 由解得 所以直线l过定点A.‎ 如图,d≤|PA|.‎ 当PA⊥l时,d取最大值|PA|.‎ 因为|PA|==,‎ 所以d的最大值为.‎ 答案:‎ ‎2.由点M(3,5)及直线l:x-2y+2=0,可求得点M关于l的对称点M1(5,1),同理可得点M关于y轴的对称点M2(-3,5),如图所示.‎ 根据M1,M2两点可得直线M1M2的方程为x+2y-7=0.‎ 令x=0,得直线M1M2与y轴的交点Q,‎ 解方程组得两直线的交点P.‎ 所以点P与点Q即为所求.‎ ‎【方法技巧】运用数形结合思想分析解决问题要遵循的三个原则 ‎(1)等价性原则:要注意所作的草图不能精确刻画数量关系带来的负面效应.‎ ‎(2)双向性原则:既进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易失真.‎ ‎(3)简单性原则:不要为了“数形结合”而数形结合,而取决于是否有效、简便和更易达到解决问题的目的.‎ ‎【变式训练】直线l1过点P(-1,2),斜率为-,把l1绕点P按顺时针方向旋转 ‎30°得直线l2,求直线l1和l2的方程.‎ ‎【解析】由题意,知直线l1的方程是y-2=-(x+1),‎ 即x+3y-6+=0.‎ 因为直线l1的斜率k1=-=tanα1,‎ 所以l1的倾斜角α1=150°.‎ 如图,l1绕点P按顺时针方向旋转30°,得到直线l2的倾斜角α2=150°-30°=‎ ‎120°,‎ 所以直线l2的斜率k2=tan120°=-,‎ 所以l2的方程为y-2=-(x+1),即x+y-2+=0.‎ ‎【补偿训练】求函数f(x)=+的最小值.‎ ‎【解析】f(x)=+=‎ ‎+,表示点A(x,0)与B(2,3)的距离及A(x,0)与C(5,1)的距离的和,为求最小值,只需得到C(5,1)关于x轴的对称点C′(5,-1),求出|BC′|==5,最小值为5.‎