广东省韶关市第一中学2019届高三上学期第一次调研考试数学（理）试题

广东省韶关市第一中学2019届高三上学期第一次调研考试数学（理）试题

第页 1 2019 届高三上学期第一次调研考试 数学(理科)试题 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若复数 z 满足 z (3 4i) 1 ，则 z 的虚数是（ ） A． 4 25  B． 4 25 i C． 4 25 D． 4 25 i 2.已知集合  1 2A x x    ，  2 2B x y x x    ，则 A∪B=（ ） A． 1 0x x   B． 1 0x x   C． 0 2x x  D． 0 2x x  3.平面直角坐标系 xOy 中， i ， j 分别是与 x 轴、 y 轴正方向同向的单位向量，向量 2a i ，b i j  ， 以下说法正确的是（ ） A． 1a b  B． a b C． a b b  D． / /a b 4.已知直线 a 、b ，平面 、  、 ，下列命题正确的是（ ） A．若  ，  ， a   ，则 a  B．若 a   ， b   ， c   ，则 / / / /a b c C.若 a   ， / /b a ，则 / /b  D．若  ， a   ， / /b  ，则 / /b a 5.已知直线 4 3 0x y a   与 2 2: 4 0C x y x   相交于 A 、 B 两点，且 120AOB  ，则实数 a 的 值为（ ） A． 3 B．10 C. 11或 21 D．3 或13 6.已知  511x ax x      的展开式中常数项为 40 ，则 a 的值为（ ） A． 2 B． 2 C. 2 D． 4 7.已知函数     sin 0, 0,0 2f x A x A          的部分图象如图所示，则 的值为（ ） 第页 2 A． 3  或 2 3  B． 2 3  C. 4 3  D． 3  或 4 3  8.在如图的程序框图中，输出的 n 值为（ ） A．14 B． 32 C. 46 D．53 9.已知双曲线的焦距为 4 ，A 、B 是其左、右焦点，点C 在双曲线右支上， ABC△ 的周长为10，则 AC 的取值范围是（ ） A．  2,5 B． 2,6 C.  3,5 D． 3,6 10.如图是某几何体的三视图，图中每个小正方形的边长为1，则此几何体的体积为（ ） 第页 3 A． 8 3 B．16 3 C. 4 D． 20 3 11.已知函数 2( ) 2 2x xf x xe kx e kx    只有一个零点，则实数 k 的取值范围为（ ） A． ( , ]e B．[0, ]e C． ( , )e D．[0, )e 12.在直角梯形 ABCD ， AB AD ， / /DC AB ， 1AD DC  ， 2AB  ，E ，F 分别为 AB ，BC 的 中点，点 P 在以 A 为圆心， AD 为半径的圆弧 DEM 上变动（如图所示）.若 AP ED AF   ，其中 , R   ，则 2  的取值范围是（ ） A．[ 2,1] B．[ 2, 2] C． 1 1[ , ]2 2  D． 2 2[ , ]2 2  第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.函数 ( ) 3sin(2 )3f x x   的图象在区间 (0, )2  上的对称轴方程为 ． 14.已知数列{ }na 是等差数列，数列{ }nb 是等比数列，满足： 1000 1018 2a a   ， 6 2012 2b b  ，则 2 2016 3 2015 tan 1 a a b b   ． 15.已知等差数列 na 中， 2 4 16a a  ， 1 1a  、 2 1a  、 4 1a  成等比数列，把各项如下图排列： 则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为 ． 16.平面四边形 ABCD 中， 60A  ，AD DC ， 3AB  ， 2BD  ，则 BC 的最小长度为 ． 第页 4 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数   2 72cos sin 2 16f x x x        x R . （Ⅰ）求函数  f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在 ABC 中，三内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知   1 2f A  ，若 2b c a  ，且 6AB AC  ，求 a 的值. 18. 如图，在四面体 ABCD 中， 90ABC ADC    , 2 2BC BD CD  . （Ⅰ）求证： AD BD ； （Ⅱ）若 AB 与平面 BCD 所成的角为 60 ，点 E 是 AC 的中点，求二面角C BD E  的大小. 19. 甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工.其计酬方式有两种， 方式一：雨天没收入，晴天出工每天 250 元；方式而：雨天每天120元，晴天出工每天 200 元；三人要选 择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月 的下雨天数（10 天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近9 年此月的下雨天数（ n ）的频数分布表（见 下表）后，乙以频率最大的 n 值为依据作出选择，丙以 n 的平均值为依据作出选择. n 8 9 10 11 12 13 频数 3 1 2 0 2 1 （Ⅰ）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由； （Ⅱ）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？ （Ⅲ）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率. 20. 已知椭圆   2 2 1 2 2: 1 0x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，圆 2C 经过椭圆 1C 的两个焦点和 两个顶点，点 P 在椭圆 1C 上，且 1 2 2PF   ， 2 2 2PF   . 第页 5 （Ⅰ）求椭圆 1C 的方程和点 P 的坐标； （Ⅱ）过点 P 的直线 1l 与圆 2C 相交于 A 、 B 两点，过点 P 与 1l 垂直的直线 2l 与椭圆 1C 相交于另一点C ， 求 ABC△ 的面积的取值范围. 21. 已知函数      ln 2 2x mf x e x ax x m      ， （Ⅰ）若 0a  ，且  1f  是函数的一个极值，求函数  f x 的最小值； （Ⅱ）若 0a  ，求证：  1,0x   ，   0f x  . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为 (2,0) ，半径为 2 ，以坐标原点为极点， X 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，直线l 的参数方程为： 1 x t y t      （t 为参数）. （1）求圆C 和直线l 的极坐标方程； （2）点 P 的极坐标为 1, 2      ，直线l 与圆C 相交于 A ， B ，求 PA PB 的值. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数   2 2f x x a x    （其中 a R ）. （1）当 1a   时，求不等式 ( ) 6f x  的解集； （2）若关于 x 的不等式 2( ) 3 2f x a x   恒成立，求 a 的取值范围. 第页 6 试卷答案 一、选择题 1-5:CBCAD 6-10:CCDCB 11、12：DA 二、填空题 13. 12x  14. 3 15. 275 16. 7 2 三、解答题 （17）解答： 27 1 3 1 3( ) sin( 2 ) 2sin 1 cos2 sin 2 cos2 cos2 sin 26 2 2 2 2f x x x x x x x x          sin(2 )6x   . （Ⅰ）最小正周期： 2 2T    ， 由 2 2 2 ( )2 6 2k x k k Z         可解得： ( )3 6k x k k Z       ， 所以 ( )f x 的单调递增区间为：[ , ]( )3 6k k k Z     ; （Ⅱ）由 1( ) sin(2 )6 2f A A    可得： 52 2 2 ( )6 6 6A k k k Z       或 而  0,A  所以 3A  ， 又因为 2a b c  ， 而 1cos 6, 122AB AC bc A bc bc      ， 2 2 2 2 21 ( ) 4cos 1 1 12 2 24 8 b c a a a aA bc           ， 2 3a  . （18）解：（Ⅰ）由已知得 222 CDBDBC  ， BCBD  ， 又 BCAB  ， BABBD  ， ABDBC 平面 ， ADBC  ， 又 ADCD  ， CCDBC  ， BCDAD 平面 ， BDAD  . （Ⅱ）解法 1：由（Ⅰ）知，AB 与平面 BCD 所成的角为 ABD ，即  60ABD ， 设 BD＝2，则 BC＝2，在 ADBRt 中，AB＝4， 第页 7 由（Ⅰ）中 ABDBC 平面 ，得平面 ABC⊥平面 ABD，在平面 ABD 内，过点 B 作 ABBz  ，则 Bz  平面 ABC，以 B 为原点，建立空间直角坐标系 xyzB  ， 则 )0,0,0(B ， )0,0,4(A ， )0,2,0(C ， )0,1,2(E ，由 160cos||  BDxD ， 360sin||  BDzD ， 得 )3,0,1(D ， ∴ )0,1,2(BE ， )3,0,1(BD ， 设平面 BDE 的法向量为 ),,( zyxm  ， 则      03 02 zxBDm yxBEm ，取 1z ，解得      32 3 y x ， ∴ )1,32,3(m 是平面 BDE 的一个法向量， 又 )3,0,3(AD 是平面 CBD 的一个法向量． 设二面角 EBDA  的大小为 ，易知 为锐角， 则 2 1 324 34 |||| |||,cos|cos    ADm ADmADm ， ∴ 60  ，即二面角C BD E  的大小为 60 ． 【解法 2：由（Ⅰ）知， AB 与平面 BCD 所成的角为 ABD ，即 60ABD  ， 分别取CD 、 BD 的中点 F 、G ，连 EG 、 FG ， 在 Rt ABC 和 Rt ADC 中， E 为斜边 AC 中点，故 1 2BE DE AC  ， ∴ EG BD ； 又∵ BC  平面 ABD ，∴ BC BD ， 又∵ //BC FG ∴ FG BD ； ∴ EGF 为二面角C BD E  的平面角， 由（Ⅰ）知 AD  平面 BCD ，又 //AD EF ， 故 EF  平面 BCD ，从而 EF FG ， 第页 8 ∴ 1 32tan 31 2 ADEF BDEGF FG BCBC      ， 60EGF  ，即二面角C BD E  的大小为 60 ． （19）解：（Ⅰ）按计酬方式一、二的收入分别记为 )(nf 、 )(ng ， (10) 250 (30 10) 5000f     ， 52002020010120)10( g ， 所以甲选择计酬方式二； 由频数分布表知频率最大的 n=8， 5500)830(250)8( f ， 5360222008120)8( g ， 所以乙选择计酬方式一； n 的平均值为 10)1132122101938(9 1  ， 所以丙选择计酬方式二； （Ⅱ）甲统计了 1 个月的情况，乙和丙统计了 9 个月的情况， 但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据， 所以丙的统计范围最大， 三人中丙的依据更有指导意义； （Ⅲ）任选一年，此月下雨不超过 11 天的频率为 3 2 9 6  ，以此作为概率，则未来三年中恰有两年，此月下 雨不超过 11 天的概率为 9 4)3 21()3 2( 22 3 C . （20）解：（I）设 )0,(1 cF  ， )0,(2 cF ， 可知圆 2C 经过椭圆焦点和上下顶点，得 cb  ， 由题意知 4||||2 21  PFPFa ，得 2a ， 由 222 acb  ，得 2 cb ， 所以椭圆 1C 的方程为 124 22  yx ， 点 P 的坐标为 )0,2( . （II）由过点 P 的直线 l2 与椭圆 1C 相交于两点，知直线 l2 的斜率存在， 设 l2 的方程为 )2(  xky ，由题意可知 0k ， 联立椭圆方程，得 0488)12( 2222  kxkxk ， 设 ),( 22 yxC ，则 12 482 2 2 2   k kx ，得 12 24 2 2 2   k kx ， 所以 12 14|2|1|| 2 2 2 2   k kxkPC ； 由直线 l1 与 l2 垂直，可设 l1 的方程为 )2(1  xky ，即 02  kyx 第页 9 圆心 )0,0( 到 l1 的距离 21 2 k d   ，又圆的半径 2r ， 所以 1 )1(2 1 42)2 ||( 2 2 2 222     k k k drAB ， 1 122|| 2 2   k kAB ， 由 rd  即 2 1 2 2   k ，得 12 k ， 1 12||||2 1 2 2   k kPCABS ABC 12 124 12 14 2 2 2 2     k k k k ， 设 12  kt ，则 0t ， 2 4 2 4 2 4 2 2 3 32 3 32 62 ABC tS t t t       ， 当且仅当 6 2t  即 10 2k   时，取“＝”， 所以△ABC 的面积的取值范围是 2 3(0, ]3 ． （21）解：（I） maxaxxexf mx   2)2ln()( 2 ，定义域为 ),2(  ， aaxxexf mx 222 1)('   ． 由题意知 0)1(' f ，即 011 me ，解得 1m ， 所以 1)2()2ln()( 1   xaxxexf x ， aaxxexf x 222 1)(' 1   ， 又 1 xey 、 2 1  xy 、 aaxy 22  （ 0a ）在 ),2(  上单调递增， 可知 )(' xf 在 ),2(  上单调递增，又 0)1(' f ， 所以当 )1,2( x 时， 0)(' xf ；当 ),1( x 时， 0)(' xf ． 得 )(xf 在 )1,2(  上单调递减， )(xf 在 ),1(  上单调递增， 所以函数 )(xf 的最小值为 aaf  11)1( ． （II ）若 0a ，得 mxexf mx   )2ln()( ， 2 1)('   xexf mx 由 )(' xf 在 ]0,1[ 上单调递增，可知 )(xf 在 ]0,1[ 上的单调性有如下三种情形： ①当 )(xf 在 ]0,1[ 上单调递增时， 可知 0)(' xf ，即 0)1(' f ，即 011 me ，解得 1m ， mef m  1)1( ，令 memg m  1)( ，则 01)(' 1  memg ， 所以 )(mg 单调递增， 0)1()(  gmg ，所以 0)()1()(  mgfxf ； ②当 )(xf 在 ]0,1[ 上单调递减时， 可知 0)(' xf ，即 0)0(' f ，即 02 1 me ，解得 2lnm ， 第页 10 得 02ln2ln2ln)0(  mmm eemef ，所以 0)0()(  fxf ； [或：令 2ln)(  memh m ，则 02 11)('  memh ， 所以 )(mh 单调递减， 02 1)2ln()(  hmh ，所以 0)()0()(  mhfxf ；] ③当 )(xf 在 ]0,1[ 上先减后增时，得 )(' xf 在 ]0,1[ 上先负后正， 所以 )0,1(0 x ， 0)(' 0 xf ，即 2 1 0 0  xe mx ，取对数得 )2ln( 00  xmx ， 可知 )()( 0min xfxf  mxe mx   )2ln( 0 0 02 )1( 2 1 0 2 0 0 0   x xxx ， 所以 0)( xf ； 综上①②③得： ]0,1[x ， 0)( xf ． 【或：若 0a ，得 mxexf mx   )2ln()( ， 2 1)('   xexf mx 由 )(' xf 在 ]0,1[ 上单调递增，分如下三种情形： ①当 0)(' xf 恒成立时，只需 0)1(' f ，即 011 me ，解得 1m ， 可知 )(xf 在 ]0,1[ 上单调递增， mef m  1)1( ，令 memg m  1)( ， 则 01)(' 1  memg ，所以 )(mg 单调递增， 0)1()(  gmg ， 所以 0)()1()(  mgfxf ； ②当 0)(' xf 恒成立时，只需 0)0(' f ，即 02 1 me ，解得 2lnm ， 可知 )(xf 在 ]0,1[ 上单调递减时， 02ln2ln2ln)0(  mmm eemef ， 所以 0)0()(  fxf ； ③当 )(' xf 在 ]0,1[ 上先负后正时， )(xf 在 ]0,1[ 上先减后增， 所以 )0,1(0 x ， 0)(' 0 xf ，即 2 1 0 0  xe mx ，取对数得 )2ln( 00  xmx ， 可知 )()( 0min xfxf  mxe mx   )2ln( 0 0 02 )1( 2 1 0 2 0 0 0   x xxx ， 所以 0)( xf ； 综上①②③得： ]0,1[x ， 0)( xf . 】 （22）解：圆 的直角坐标方程为 ， 代入圆 得： ， 化简得圆 的极坐标方程： ， 由 : 1 x tl y t      得 ， 第页 11 l 的极坐标方程为 cos sin 1     即 1 2 sin( )4     . （2）由 (1, )2P  得点 P 的直角坐标为 (1,0)P ， 直线 的参数的标准方程可写成 2 2 21 2 x t y t       （t 为参数）， 代入圆 得： 2 22 2( 2) (1 ) 22 2t t     ， 化简得： ， ， . (23)解：（1）当 1a   时，函数 ( ) 2 1 2f x x x    ， 则不等式为 2 1 2 6x x    ， 1 2x  时，原不等式为 2 1 2 6x x    ，解得： 3x  ； ②当 1 22 x  时，原不等式为 2 1 2 6x x    ，解得： 5x  .此时不等式无解； ③当 1 2x  时，原不等式为1 2 2 6x x    ，解得： 1x   ， 原不等式的解集为{ | 1 3}x x x  或 . 方法二：当 1a   时，函数 ( ) 2 1 2f x x x    3 3, 2 11, 22 13 3,x 2 x x x x x             ，画出函数 ( )f x 的图象，如图： 结合图象可得原不等式的解集为{ | 1 3}x x x  或 . 第页 12 （2）不等式 2( ) 3 2f x a x   即为 2 2x a x   23 2a x   ， 即关于 x 的不等式 22 2 2 3x a x a    恒成立. 而 2 2 2x a x   2 2 4x a x    (2 ) (2 4)x a x    4a  ， 所以 24 3a a  ， 解得 24 3a a  或 24 3a a   ， 解得 41 3a   或 a  . 所以 a 的取值范围是 4[ 1, ]3  .