人教版数学八年级上册《角的平分线的判定》同步练习

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12.3 第 2 课时 角的平分线的判定 一、选择题 1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的 交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 2．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为 D、C，AD 与 BC 相交于点 P，若 PA=PB， 则∠1 与∠2 的大小是（ ） A．∠1=∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 [来源:学科网] 3. 如图，在 Rt△ABC 的斜边 BC 上截取 CD=CA，过点 D 作 DE⊥BC，交 AB 于 E， 则下列结论一定正确的是（ ） A．AE=BE B．DB=DE C．AE=BD D．∠BCE=∠ACE 4. 如图，△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等； ∠A=40°，则∠BOC=（ ） A．110°[来源:学&科&网] B．120° C．130° D．140° 5．如图，,△ABC 的两个外角平分线交于点 P，则下列结论正确的是（ ） ①PA=PC ②BP 平分∠ABC ③P 到 AB，BC 的距离相等 ④BP 平分∠APC．[来源:Z。xx。 k.Com] A．①② B．①④ C．②③ D．③④ M F E D C B A 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 6．如图，直线 l1，l2，l3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A、1 处 B、2 处 C、3 处 D、4 处 7．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，M 为 AD 上任 意一点，则下列结论错误的是（ ） （A）DE＝DF． （B）ME＝M F． （C）AE＝AF． （D）BD＝ DC． 8. 如图，△ABC，AB=AC，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别 为 E、F，有下列四个结论： ①DA平分∠EDF； ②AE=AF； ③AD 上的点到 B、C 两点的距离相等； ④到 AE，AF 距离相等的点到 DE、DF 的距离也相等． 其中正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 第 8 题图 第 10 题图 第 11 题图 二、填空题 9. 在角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 ． 10.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA 于 C，QD⊥OB 于 D，若 QC=QD，则∠AOQ= °． 11.如图，AB∥CD，点 P 到 AB、BC、CD 距离都相等，则∠P= °． 12.如图，已知 PA⊥ON 于 A，PB⊥OM 于 B，且 PA=PB，∠MON=50°， ∠OPC=30°，则∠PCA= °． 第 12 题图 第 13 题图 13.如图，△ABC 的∠ABC 的外角平分线 BD 与∠ACB 的外角平分线 CE 相 交于点 P，若点 P 到 AC 的距离为 4，则点 P 到 AB 的距离为 . 14.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB 于 D，且 EC=ED， ∠EBC= ° 15.如图，在四边形 ABCD 中，∠A=90°，AD=3，连接 BD，BD⊥CD， ∠ADB=∠C．若 P 是 BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为 第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图 16.如图，点 M 在∠ABC 内，ME⊥AB 于 E 点，MF⊥BC 于 F 点，且 ME=MF， ∠ABC=70°，则∠BME= °． 三、解答题 17. 如图， AB AC， 表示两条相交的公路，现要在 BAC 的内部建一个物流中 心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处 A 点的 距离为 1 000 米． （1）若要以1:50000 的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处 A 点的 图上距离； （2）在图中画出物流中心的位置 P ． 18． 如图，P 是∠BAC 内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点 E，F，AE=AF．求 证： （1）PE=PF； （2）点 P 在∠BAC 的角平分线上． [来源:学科网] [来源:学,科,网 Z,X,X,K] 19. PB，PC 分别是△ABC 的外角平分线且相交于 P． 求证：P 在∠A 的平分线上（如图）． 20．已知：如图， 90B C     ， M 是 BC 的中点， DM 平分 ADC ． （1）若连接 AM ，则 AM 是否平分 BAD ？请你证明你的结论．[来源:学科网] （2）线段 DM 与 AM 有怎样的位置关系？请说明理由． 2 1 3 4 D C M BA 21.（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下 方案： （Ⅰ）∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA、OB 之间，移动 角尺使角尺两边相同的刻度与 M、N 重合，即 PM=PN，过角尺顶点 P 的射线 OP 就 是∠AOB 的平分线． （Ⅱ）∠AOB 是一个任意角，在边 OA、OB 上分别取 OM=ON，将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M、N 重合，即 PM=PN， 过角尺顶点 P 的射线 OP 就是∠AOB 的平分线． （1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明 理由； （2）在方案（Ⅰ）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使 PM⊥OA，PN⊥OB．此 方案是否可行？请说明理由． [来源:学&科&网第 2 课时 角的平分线的判定 一、选择题 1.D 2.A 3.D 4.A 5.C 6.D 7.D 8.D 二、填空题 [来源:学#科#网 Z#X#X#K] 9.平分线 10. 35 11. 90 12. 55 13. 4 14. 27 15. 3 16. 55 三、解答题 17.解:（1）1 000 米=100 000 厘米， 100 000÷50 000=2（厘米）； (2) 18. 证明：（1）如图，连接 AP 并延长， ∵PE⊥AB，PF⊥AC ∴∠AEP=∠AFP=90° 又 AE=AF，AP=AP， ∵在 Rt△AFP 和 Rt△AEP 中 [来源:学科网 ZXXK] ∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL）， ∴PE=PF． （2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP， ∴∠EAP=∠FAP， ∴AP 是∠BAC 的角平分线， 故点 P 在∠BAC 的角平分线上． 19.证明：过 P 点作 PE，PH，PG 分别垂直 AB，BC，AC． ∵PB，PC 分别是△ABC 的外角平分线， ∴PE=PH，PH=PG， ∴PE=PG． ∴P 点在∠A 的平分线上． 2 1 3 4 Ｄ Ｃ Ｍ ＢＡ Ｅ 20．（1） AM 平分 DAB ． 证明：过点 M 作 ME AD⊥ ，垂足为 E ． 1 2  ∵ ， MC CD⊥ ， ME AD⊥ ，[来源:学科网 ZXXK] ME MC∴ （角平分线上的点到角两边的距离相等）． 又 MC MB∵ ， ME MB∴ ． MB AB∵ ⊥ ， ME AD⊥ ， ∴ AM 平分 DAB （到角的两边距离相等的点在这个角的平分 线上）． （2） AM DM⊥ ，理由如下： 90B C    ∵ ， CD AB∴ ∥ （垂直于同一条直线的两条直线平行）． 180CDA DAB    ∴ （两直线平行，同旁内角互补） 又 11 2 CDA  ∵ ， 13 2 DAB   （角平分线定义） 2 1 2 3 180    ∴ ， 1 3 90    ∴ ， 90AMD  ∴ ．即 AM DM⊥ ． 21.解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件， ∵只有 OP=OP，PM=PN 不能判断△OPM≌△OPN； ∴就不能判定 OP 就是∠AOB 的平分线； 方案（Ⅱ）可行． 证明：在△OPM 和△OPN 中， ， ∴△OPM≌△OPN（SSS）， ∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）； ∴OP 就是∠AOB 的平分线． （2）当∠AOB 是直角时，此方案可行； ∵四边形内角和为 360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°， ∴∠AOB=90°， ∵PM=PN， ∴OP 为∠AOB的平分线．（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上）， 当∠AOB 不为直角时，此方案不可行； 因为∠AOB 必为 90°，如果不是 90°，则不能找到同时使 PM⊥OA，PN⊥OB 的点 P 的位置．