人教版高三数学总复习课时作业41
课时作业41 合情推理与演绎推理
一、选择题
1．下列推理过程是类比推理的为( )
A．人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5
B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
C．通过检验溶液的pH值得出溶液的酸碱性
D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数
解析：由类比推理的概念可知．
答案：B
2．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a
2，f(23)>，f(24)>3，f(25)>，推测当n≥2时，有________．
解析：因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.
答案：f(2n)>
三、解答题
10．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的 ；……
请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．
解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：
(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)四面体的体积V＝×底面积×高；
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.
11．给出下面的数表序列：
其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．
解：表4为
1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
1．
如下图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝( )
A. B. C. D.
解析：由图案可得第n个图案中的点数为3n，则an＝3n－3，∴＝＝－，∴＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝，故选B.
答案：B
2．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )
A．2 907 B．2 111
C．2 012 D．2 090
解析：依题意，设位于三角形内的最小数是n，其中n被8除后的余数必是3,4,5,6之一，则这九个数的和等于n＋3(n＋8)＋5(n
＋16)＝9n＋104.令9n＋104＝2 012，得n＝212，且n＝212被8除后的余数是4.
答案：C
3．观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
解析：由给出的数据归纳可得出F＋V－E＝2.
答案：F＋V－E＝2
4．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝.
(2)归纳三角恒等式
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α
＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)
＝1－cos2α－＋cos2α＝.
