【数学】2019届一轮复习北师大版函数与方程思想、数形结合思想学案
【考点定位】函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查.
【命题热点突破一】函数与方程思想
1.函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.
2.函数与方程的思想在解题中的应用
(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处文数列问题十分重要.
(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.
方法一 点坐标代入函数(方程)法
点坐标代入函数(方程)法是指把点“放到”函数图象中去“入套”，通过构造方程求解参数的方法．此方法适用于已知函数或函数图象，给出满足条件的点坐标，求其中的参数问题．破解此类题的关键点
①点代入函数，把所给点坐标代入已知函数的解析式中，得到关于参数的方程或不等式．
②解含参方程，求解关于参数的方程或不等式．
③检验得结论，得出参数的值或取值范围，最后代入方程或不等式进行检验．
例1、函数y＝ax (a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，则a的值为( )
A．2 B．3
C．2或 D.
【答案】D
【特别提醒】应用此方法的易错点是忘记检验，在解出方程后，一定要回头望，把所求的解代入原函数中检验是否有意义．
【变式探究】函数y＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(a，)，则a的值为________．
【答案】
【解析】因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的反函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(a，)，所以＝aa，
即a＝aa，所以a＝.经检验知a＝符合要求．
方法二 平面向量问题的函数(方程)法
平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方程思想 处理有关参数值问题．破解此类题的关键点
①向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程)．
②代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性质求解问题．
③得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论．
例2、已知a，b，c为平面上的三个向量，又a，b是两个相互垂直的单位向量，向量c满足|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，则对于任意实数x，y，|c－xa－yb|的最小值为______．
【答案】2
【特别提醒】平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想 分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式．
【变式探究】已知e1，e2是平面上两相互垂直的单位向量，若平面向量b满足|b|＝2，b·e1＝1，b·e2＝1，则对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|的最小值为________．
【答案】
方法三 不等式恰成立问题函数(方程)法
含参不等式恰成立问题函数(方程)法是指通过构造函数，把恰成立问题转化为函数的值域问题，从而得到关于参数的方程的方法．破解此类题的关键点
①灵活转化，即“关于x的不等式f(x)
g(a)在区间D上恰成立”转化为“函数y＝f(x)在D上的值域是(g(a)，＋∞)”．
②求函数值域，利用函数的单调性、导数、图象等求函数的值域．
③得出结论，列出参数a所满足的方程，通过解方程，求出a的值．
例3、关于x的不等式ex－－1－x≥0在上恰成立，则a的取值集合为________．
【答案】{2}
【解析】关于x的不等式ex－－1－x≥0在上恰成立⇔函数g(x)＝在上的值域为.
因为g′(x)＝，
令φ(x)＝ex (x－1)－x2＋1，x∈，
则φ′(x)＝x(ex－1)．
因为x≥，所以φ′(x)>0，
故φ(x)在上单调递增，
所以φ(x)≥φ＝－>0.
因此g′(x)>0，故g(x)在上单调递增，
则g(x)≥g＝＝2－，
所以a－＝2－，解得a＝2，
所以a的取值集合为{2}．
【特别提醒】求解此类含参不等式恰成立问题时注意与含参不等式恒成立问题区分开，含参不等式恰成立问题一般转化为求函数的值域，得参数的方程；而含参不等式恒成立问题一般转化为最值问题．
【变式探究】关于x的不等式x＋－1－a2＋2a>0在(2，＋∞)上恰成立，则a的取值集合为__________．
【答案】{－1,3}
方法四 解析几何问题的函数(方程)法
解析几何问题的函数(方程)法是解决解析几何问题中比较常见的一种方法，通过函数(方程)法把解析几何问题代数化，利用函数或方程进行求解，其关键是根据题意，构造恰当的函数或建立相应的方程解决问题．破解此类题的关键点
①代数化，把直线、圆、圆锥曲线以及直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系等转化为代数问题，构造函数解析式或方程．
②函数(方程)应用，利用函数的相关性质或方程思想 求解含有参数的解析几何问题．
③得出结论，结合解析几何中的限制条件和函数(方程)的结论得出最终结论．
例4、已知直线l过定点S(4,0)，与＋＝1(x≠±2)交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P′，连接P′Q交x轴于点T，当△PQT的面积最大时，直线l的方程为____________________．
【答案】x＝y＋4或x＝－y＋4
直线P′Q的方程为y＝(x－x1)－y1，
令y＝0，得x＝＝＝，
将①②代入上式得x＝1，
即T(1,0)，所以|ST|＝3，
所以S△PQT＝|S△STQ－S△STP|
＝|ST||y1－y2|
＝
＝·
＝＝
＝≤，
当且仅当 2＝，即 ＝±时取等号．
故所求直线l的方程为x＝y＋4或x＝－y＋4.
【特别提醒】直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助根的判别式和根与系数的关系进行求解，这是方程思想在解析几何中的重要应用．解析几何问题的方程(函数)
法可以拓展解决解析几何问题的思维，通过代数运算、方程判定等解决解析几何中的位置关系、参数取值等问题．
【变式探究】椭圆C1 ＋＝1和圆C2 2＋(y＋1)2＝r2 (r>0)，若两条曲线没有公共点，则r的取值范围是______________．
【答案】(0,1)∪
由f(－2)＝1，f(2)＝9，f ＝，
可得f(y)的值域是r2∈，即r∈，
它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合，因此，两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0,1)∪.
方法二 联立C1和C2的方程消去x，得到关于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0. ①
两条曲线没有公共点，等价于方程－y2＋2y＋10－r2＝0要么没有实数根，要么有两个根y1，y2∉[－2,2]．若没有实数根，则Δ＝4－4××(10－r2)<0，
解得r>或r<－
.
若两个根y1，y2∉[－2,2]，设φ(y)＝－y2＋2y＋10－r2，其图象的对称轴方程为y＝∈[－2,2]．
则又r>0，解得00.则函数y＝f(x)－sin 在[－3π，3π]上的零点个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．8
【答案】C
由图知y＝f(x)－sin 在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C.
【特别提醒】由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．
【变式探究】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解之和为( )
A．－7 B．－6
C．－3 D．－1
【答案】A
方法二 几何意义数形沟通法
几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点
①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义．
②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题．
③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．
例2、如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】方程(x－2)2＋y2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M(2,0)，半径为r＝(如图)，而＝则表示圆M上的点A(x，y)与坐标原点O(0，0)的连线的斜率．
【特别提醒】解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式，一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有
(1)比值——可考虑直线的斜率．
(2)二元一次式——可考虑直线的截距．
(3)根式分式——可考虑点到直线的距离．
(4)根式——可考虑两点间的距离．
【变式探究】设点P(x，y)满足 则－的取值范围是( )
A.
B.
C.
D．[－1,1]
【答案】B
【解析】
方法三 圆锥曲线数形沟通法
圆锥曲线数形沟通法是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点
①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等．
②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解．
③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．
例3、已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为( )
A. B.
C．(1,2) D．(1，－2)
【解析】点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F，过点P作准线的垂线，垂足为S，则|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故当S，P，Q三点共线时取得最小值，此时P，Q的纵坐标都是－1，设点P的横坐标为x0，代入y2＝4x得x0＝，故点P的坐标为，故选A.
【答案】A
【特别提醒】破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．
【变式探究】已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．
【答案】
【解析】
因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝，
故使△APF的周长最小的点P的坐标为.
