2011年数学（江苏卷）高考试题

2011年数学（江苏卷）高考试题

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数 学 参考公式：‎ ‎（1）样本数据的方差.‎ ‎（2）直棱柱的侧面积S=ch，其中c为底面周长，h为高。‎ ‎（3）棱柱的休憩积V=Sh，其中S为底面积，h为高。‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。‎ ‎1．已知集合则 ‎2．函数的单调增区间是__________‎ ‎3．设复数ｚ满足（i是虚数单位），则的实部是_________‎ ‎4．根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是 ‎ Read a，b If a>b Then ‎ ‎ ma Else ‎ ‎ mb End If Print m ‎ ‎5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______‎ ‎6．某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差 ‎7．已知 则的值为__________‎ ‎8．在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________‎ ‎9．函数是常数，的部分图象如图所示，则f(0)= ‎ ‎10．已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 .‎ ‎11．已知实数，函数，若，则a的值为________‎ ‎12．在平面直角坐标系中，已知P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________‎ ‎13．设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________‎ ‎14．设集合, ‎ ‎, 若 则实数m的取值范围是______________‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解解答适应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎15．在△ABC中，角A、B、C所对应的边为 ‎（1）若 求A的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎16．如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF∥平面PCD；‎ ‎（2）平面BEF⊥平面PAD ‎17．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm ‎（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？‎ ‎（2）某广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。‎ P ‎18．如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k ‎（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；‎ ‎（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；‎ ‎（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB ‎19．已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致 ‎（1）设，若和在区间上单调性一致,求b的取值范围；‎ ‎（2）设且，若和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值 ‎20．设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列，前n项和为，已知对任意整数kM，当整数都成立 ‎ （1）设的值；‎ ‎ （2）设的通项公式 参考答案 一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法，每小题5分，共计70分。‎ ‎1．{—1，—2} 2． 3．1 4．3 ‎ ‎5． 6．3.2 7． 8．4 9． 10． ‎ ‎11． 12． 13． 14．‎ 二、解答题：‎ ‎15．本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力。满分14分.‎ 解：（1）由题设知，‎ ‎（2）由 故△ABC是直角三角形，且.‎ ‎16．本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考察空间想象能力和推理论证能力。满分14分。‎ 证明：（1）在△PAD中，因为E、F分别为 AP，AD的中点，所以EF//PD.‎ 又因为EF平面PCD，PD平面PCD，‎ 所以直线EF//平面PCD.‎ ‎（2）连结DB，因为AB=AD，∠BAD=60°，‎ 所以△ABD为正三角形，因为F是AD的 中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面 ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD。又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.‎ ‎17．本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读能力及解决实际问题的能力。满分14分.‎ 解：设馐盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得 ‎（1）‎ 所以当时，S取得最大值.‎ ‎（2）‎ 由（舍）或x=20.‎ 当时，‎ 所以当x=20时，V取得极大值，也是最小值.‎ 此时装盒的高与底面边长的比值为 ‎18．本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分.‎ 解：（1）由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以 ‎ ‎（2）直线PA的方程 解得 于是直线AC的斜率为 ‎（3）解法一：‎ 将直线PA的方程代入 则 故直线AB的斜率为 其方程为 解得.‎ 于是直线PB的斜率 因此 解法二：‎ 设.‎ 设直线PB，AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以 从而 因此 ‎19．本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分.‎ 解：‎ ‎（1）由题意知上恒成立，因为a>0，故 ‎ 进而上恒成立，所以 ‎ 因此的取值范围是[‎ ‎ （2）令 ‎ 若又因为，‎ ‎ 所以函数在上不是单调性一致的，因此 ‎ 现设；‎ ‎ 当时，‎ ‎ 因此，当时，‎ ‎ 故由题设得 ‎ 从而 ‎ 因此时等号成立，‎ ‎ 又当，从而当 ‎ 故当函数上单调性一致，因此的最大值为 ‎20．本小题考查数列的通项与前项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。‎ ‎ 解：（1）由题设知，当，‎ ‎ 即，‎ ‎ 从而 ‎ 所以的值为8。‎ ‎ （2）由题设知，当 ‎ ，‎ ‎ 两式相减得 ‎ 所以当成等差数列，且也成等差数列 ‎ 从而当时， （*）‎ ‎ 且，‎ ‎ 即成等差数列，‎ ‎ 从而，‎ ‎ 故由（*）式知 ‎ 当时，设 ‎ 当，从而由（*）式知 ‎ 故 ‎ 从而，于是 ‎ 因此，对任意都成立，又由可知，‎ ‎ 解得 ‎ 因此，数列为等差数列，由 ‎ 所以数列的通项公式为 数学II（附加题）‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A． 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）‎ ‎ 如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与，‎ 圆的弦交圆于点（不在上），‎ 求证：为定值。‎ B． 选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）‎ 已知矩阵，向量，求向量，使得．‎ C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。‎ D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）‎ 解不等式：‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面角的大小为。‎ ‎（1）当时，求的长；‎ ‎（2）当时，求的长。‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎ 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中 ‎ （1）记为满足的点的个数，求；‎ ‎（2）记为满足是整数的点的个数，求 附加题参考答案 ‎21．【选做题】‎ A．选修4-1：几何证明选讲 ‎ 本小题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力，满分10分。‎ ‎ 证明：连结AO1，并延长分别交两圆于点Ｅ和点Ｄ连结BD、CE，因为圆O1与圆O2‎ 内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径。‎ ‎ 从而，所以BD//CE，‎ ‎ 于是 ‎ 所以AB：AC为定值。‎ B．选修4-2：矩阵与变换 ‎ 本小题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力。满分10分。‎ ‎ 解：‎ ‎ 设，从而 ‎ 解得 C．选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 本小题主要考查椭圆与直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力，满分10分。‎ ‎ 解：由题设知，椭圆的长半轴长，短半轴长，从而，所以右焦点为（4，0），将已知直线的参数方程化为普通方程：‎ ‎ 故所求直线的斜率为，因此其方程为 D．选修4-5：不等式选讲 ‎ 本小题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力，满分10分。‎ ‎ 解：原不等式可化为 ‎ 解得 ‎ 所以原不等式的解集是 ‎22．【必做题】本小题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力，满分10分。‎ ‎ 解：建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎ 设，‎ ‎ 则各点的坐标为，‎ ‎ 所以 ‎ 设平面DMN的法向量为 ‎ ‎ ‎ 即，‎ ‎ 则是平面DMN的一个法向量。从而 ‎ （1）因为，所以，‎ ‎ 解得 ‎ 所以 ‎ （2）因为 ‎ 所以 ‎ 因为，‎ ‎ 解得 ‎ 根据图形和（1）的结论可知，从而CM的长为 ‎23．【必做题】本小题主要考查计数原理，考查探究能力，满分10分。‎ ‎ 解：（1）点P的坐标满足条件：‎ ‎ （2）设为正整数，记为满足题设条件以及的点P的个数，只要讨论的情形，由知 ‎ 设 ‎ 所以 ‎ 将代入上式，化简得 ‎ 所以