全国高考数学试题——全国卷2文科含答案

全国高考数学试题——全国卷2文科含答案

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试试卷题 文科数学 第Ⅰ卷（选择题）‎ ‎ 本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 参考公式： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ‎ ‎ ‎ 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 ‎ 球的体积公式 ‎ 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 ‎ ‎ 次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一． 选择题 ‎（1）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则Cu( MN)=‎ ‎(A) {5，7} （B） {2，4} （C）{2.4.8} （D）{1，3，5，6，7}‎ ‎（2）函数y=(x0)的反函数是 ‎ （A）（x0） （B）（x0）‎ ‎ （B）（x0） （D）（x0） ‎ ‎（3） 函数y=的图像 ‎ （A） 关于原点对称 （B）关于主线对称 ‎ （C） 关于轴对称 （D）关于直线对称 ‎（4）已知△ABC中，，则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（5） 已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直线 与所形成角的余弦值为 ‎（A） (B) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（6） 已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= ，则︱b ︱=‎ ‎ （A） （B） （C）5 （D）25‎ ‎（7）设则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）双曲线的渐近线与圆相切，则r=‎ ‎（A） （B）2 （C）3 （D）6‎ ‎（9）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 ‎(A) (B) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（10）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 ‎（A）6种 （B）12种 （C）24种 （D）30种 ‎（11）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k=‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎（12）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是 ‎（A）南 （B）北 （C）西 （D）下 ‎△‎ 上 东 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 本卷共10小题，共90分。‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.‎ ‎（13）设等比数列{}的前n项和为。若，则= × ‎ ‎（14）的展开式中的系数为 × w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（15）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 × ‎ ‎（16）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于 × ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡的相应位置。‎ ‎（17）（本小题满分10分）‎ 已知等差数列{}中，求{}前n项和. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.‎ ‎（19）（本小题满分12分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1‎ A C B A1‎ B1‎ C1‎ D E ‎（Ⅰ）证明：AB=AC w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。‎ ‎（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；‎ ‎（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；‎ ‎（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 设函数 ，其中常数a>1‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B ‎ ‎ 两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 ‎（Ⅰ）求a,b的值；‎ ‎（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？‎ 若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试 ‎ 文科数学试题参考答案和评分参考 一． 选择题 ‎（1）C （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C ‎（7）B （8）A （9）D （10）C （11）D （12）B 二．填空题 ‎ （13）3 （14）6 （15）（16）8π 三．解答题 ‎ 17． 解：‎ 设的公差为，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 即 解得 因此 ‎（18）解：‎ 由 cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得 ‎ cos（AC）cos（A+C）=，‎ ‎ cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,‎ ‎ sinAsinC=.‎ 又由=ac及正弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ 故 ，‎ ‎ 或 （舍去），‎ 于是 B= 或 B=.‎ 又由 知或 所以 B=。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（19）解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。‎ 连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。‎ ‎（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600..‎ ‎ 设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。‎ 由得2AD=，解得AD=。‎ 故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。‎ 因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。‎ 连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。‎ 连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，‎ 所以∠ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。‎ 设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.‎ 于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。‎ ‎（Ⅱ）设平面BCD的法向量则又=（-1，1，‎ ‎ ‎ ‎0），=（-1，0，c）,故 ‎ ‎ 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).‎ 又平面的法向量=（0，1，0）‎ 由二面角为60°知，=60°，‎ 故 °，求得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 于是 ， ‎ ‎，‎ ‎ °‎ 所以与平面所成的角为30°‎ ‎（20）解：‎ ‎（I）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。‎ ‎（II）记表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（III）表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有名男工人，‎ ‎ 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有名男工人，‎ ‎ 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。‎ ‎ 与独立， ，且 故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ ‎（21）解：‎ ‎ （I）‎ ‎ 由知，当时，，故在区间是增函数；‎ ‎ 当时，，故在区间是减函数；‎ ‎ 当时，，故在区间是增函数。‎ ‎ 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。‎ ‎ （II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由假设知 ‎ 即 解得 1

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