高考数学试题分类详解 不等式
2007 年高考数学试题分类详解 不等式
一、选择题
1、（山东文 7）命题“对任意的 ”的否定是（ ）
A．不存在 B．存在
C．存在 D．对任意的
【答案】C【分析】注意两点：（1）全称命题变为特称命题；（2）只对结论进行否定。
2、（全国 2 理 6）不等式: >0 的解集为
(A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞)
(C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)
解．不等式: >0，∴ ，原不等式的解集为(-2, 1)∪(2, +∞)，选 C。
3、（全国 2 文 4）下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
解．∵ ，∴ ln(ln2)<0，(ln2) 2< ln2，而 ln = ln2
， 3 2 1 0x R x x∈ − + >，
4
1
2 −
−
x
x
4
1
2 −
−
x
x 1 0( 2)( 2)
x
x x
− >+ −
2(ln 2) ln(ln 2) ln 2 ln 2
0 ln 2 1< < 2 2
1
2 03
x
x
− >+
( 3 2)− ， (2 )+ ∞， ( 3) (2 )−∞ − + ∞， ， ( 2) (3 )−∞ − + ∞， ，
2 03
x
x
− >+ ( 3) (2 )−∞ − + ∞， ，
2log ( 1), log ( 1), log (2 )a a am a n a p a= + = − = pnm ,,
2 1 2a a+ > 2 1a a> −
2log ( 1), log ( 1), log (2 )a a am a n a p a= + = − = pnm ,,
∈x x
a a
∈x x
ax，∴a≥－1，综上得 ，即实数 a 的取值范围是
≤1，选 B。
7、（北京理 7）如果正数 满足 ，
那么（ ）
Ａ． ，且等号成立时 的取值唯一
Ｂ． ，且等号成立时 的取值唯一
Ｃ． ，且等号成立时 的取值不唯一
Ｄ． ，且等号成立时 的取值不唯一
解析：正数 满足 ，∴ 4= ，即 ，当且仅当
a=b=2 时，“=”成立；又 4= ，∴ c+d≥4，当且仅当 c=d=2 时，“=”成立；
综上得 ，且等号成立时 的取值都为 2，选 A。
8、（上海理 13）已知 为非零实数，且 ，则下列命题成立的是
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】若ab2，A不成立；若 B不成立；若a=1，b=2，
则 ,所以D不成立 ,故选C。
9、（上海文理 15）已知 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的 ，若
成立，则 成立，下列命题成立的是
A、若 成立，则对于任意 ，均有 成立；
B、若 成立，则对于任意的 ，均有 成立；
C、若 成立，则对于任意的 ，均有 成立；
D、若 成立，则对于任意的 ，均有 成立。
【答案】D
【解析】 对 A，当 k=1 或 2 时，不一定有 成立；对 B，应有 成立；
对 C，只能得出：对于任意的 ，均有 成立，不能得出：任意的 ，均
有 成立；对 D， 对于任意的 ，均有 成立。
故选 D。
1 1a− ≤ ≤ a
a b c d， ， ， 4a b cd+ = =
ab c d+≤ a b c d， ， ，
ab c d+≥ a b c d， ， ，
ab c d+≤ a b c d， ， ，
ab c d+≥ a b c d， ， ，
a b c d， ， ， 4a b cd+ = = 2a b ab+ ≥ 4ab ≤
2( )2
c dcd
+≤
ab c d+≤ a b c d， ， ，
,a b a b<
2 2a b< 2 2ab a b<
2 2
1 1
ab a b
< b a
a b
<
2 20 ,ab a b aba b
> ⇒ < <
12, 2
b a b a
a b a b
= = ⇒ >
( )f x k
( ) 2f k k≥ ( ) ( )21 1f k k+ ≥ +
( )3 9f ≥ 1k ≥ ( ) 2f k k≥
( )4 16f ≥ 4k ≥ ( ) 2f k k<
( )7 49f ≥ 7k < ( ) 2f k k<
( )4 25f = 4k ≥ ( ) 2f k k≥
( ) 2f k k≥ ( ) 2f k k≥
7k ≥ ( ) 2f k k≥ 7k <
( ) 2f k k< ( )4 25 16,f = ≥ ∴ 4k ≥ ( ) 2f k k≥
10、（湖南理 2）不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 得 ，所以解集为 .
11、（湖南文 1）不等式 的解集是
A． B.
C. D.
【答案】D
【解析】由 得 x（x-1）>0，所以解集为
12、（重庆理 7）若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】：B
【分析】：a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项，则
二、填空题
1、（山东文 14）函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线
2 01
x
x
−
+ ≤
( 1) ( 1 2]−∞ − −， ， [ 1 2]− ， ( 1) [2 )−∞ − + ∞， ， ( 1 2]− ，
2 01
x
x
−
+ ≤ ( 2)( 1) 0
1 0
x x
x
− +
+ ≠
≤
( 1 2]− ，
2x x>
( ),0−∞ ( )0,1
( )1,+∞ ( ) ( ),0 1,−∞ ∪ +∞
2x x> ( ) ( ),0 1,−∞ ∪ +∞
||2||
2
ba
ab
+
15
52
4
2
5
5
2
2
2 2 2 21 4 4 1 4 | |.a b a b ab= − ⇒ + = ≥
1| | .4ab∴ ≤ 2 2 24 (| | 2 | |) 4 | | 1.a b a b ab+ = + − =
22 2 2 | | 4( )
| | 2 | | 1 4 | |1 4 | | 1 4 | |
ab ab ab ab
a b abab ab
∴ = ≤ =+ ++ +
2 2
4 4
4 1 1( ) ( 2) 4| | | |ab ab ab
= =
+ + −
1 1| | 4,4 | |ab ab
≤ ∴ ≥
2 4 2max .| | 2 | | 32 4
ab
a b
∴ =+
1 ( 0 1)xy a a a−= > ≠， A A
上，则 的最小值为 ．
【答案】:4【分析】：函数 的图象恒过定点 ，
， ， ，
（方法一）： ， .
（方法二）：
2 、 （ 山 东 文 15 ） 当 时 ， 不 等 式 恒 成 立 ， 则 的 取 值 范 围
是 ．
【答案】 【分析】：构造函数： 。由于当 时，
不等式 恒成立。则 ，即
。解得： 。
3、（广东理 14）（不等式选讲选做题）设函数 则 =_____；若
，则 x 的取值范围是________；
答案：6；
4、（山东理 16）函数 的图象恒过定点 ,若点 在直线
上,其中 ,则 的最小值为_______.
【答案】: 8。【分析】：函数 的图象恒过定点 ，
， ， ，
5、（上海理 5）已知 ，且 ，则 的最大值为
【答案】
【解析】 ，当且仅当x=4y= 时取等号.
1 0( 0)mx ny mn+ − = > 1 1
m n
+
1 ( 0 1)xy a a a−= > ≠, (1,1)A
1 1 1 0m n⋅ + ⋅ − = 1m n+ = , 0m n >
12 2m n mn mn
+ ≥ ⇒ ≥ 1 1 1 12 2 2 4m n m n
+ ≥ ⋅ ≥ ⋅ =
1 1 1 1( ) ( ) 2 2 2 4.n m n mm nm n m n m n m n
+ = + ⋅ + = + + ≥ + ⋅ =
(1 2)x∈ ， 2 4 0x mx+ + < m
5m ≤ − 2( ) 4,f x x mx= + + [1 2]x∈ ， (1 2)x∈ ，
2 4 0x mx+ + < (1) 0, (2) 0f f≤ ≤
1 4 0, 4 2 4 0m m+ + ≤ + + ≤ 5m ≤ −
( ) | 2 1| 3,f x x x= − + + ( 2)f −
( ) 5f x ≤
1[ ,1]2
−
log ( 3) 1( 0, 1)ay x a a= + − > ≠ A A
1 0mx ny+ + = 0mn > 1 2
m n
+
log ( 3) 1( 0, 1)ay x a a= + − > ≠ ( 2, 1)A − −
( 2) ( 1) 1 0m n− ⋅ + − ⋅ + = 2 1m n+ = , 0m n >
1 2 1 2 4 4( ) (2 ) 4 4 2 8.n m n mm nm n m n m n m n
+ = + ⋅ + = + + ≥ + ⋅ =
,x y R+∈ 4 1x y+ = x y⋅ _____
16
1
21 1 4 14 ( )4 4 2 16
x yxy x y
+= ⋅ ≤ = 1
2
6、（浙江理 13）不等式 的解集是 ．
【答案】：
【分析】：
7、（重庆理 13）若函数 f(x) = 的定义域为 R，
则 的取值范围为_______.
【答案】：
【分析】： 恒成立， 恒成立，
三、解答题
1、（湖北理 21）（本小题满分 14 分）
已知 m，n 为正整数.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当 x>-1 时，(1+x)m≥1+mx；
（Ⅱ）对于 n≥6，已知 ，求证 ，m=1,1,2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式 3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n 的所有正整数 n.
解：（Ⅰ）证：当 x=0 或 m=1 时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
当 x>-1，且 x≠0 时，m≥2,(1+x)m>1+mx. ○1
(i)当 m=2 时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x，因为 x≠0,所以 x2>0，即左边>右边，不等式①成
立；
（ii）假设当 m=k(k≥2)时，不等式①成立，即（1+x）k>1+kx,则当 m=k+1 时，因为 x>-1,所
以 1+x>0.又因为 x≠0,k≥2,所以 kx2>0.
于是在不等式（1+x）k>1+kx 两边同乘以 1+x 得
（1+x）k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,
所以（1+x）k+1>1+(k+1)x,即当 m＝k+1 时，不等式①也成立.
综上所述，所证不等式成立.
(Ⅱ)证：当
而由（Ⅰ），
2 1 1x x− − <
(0,2)
2 1 1 2 1 1 ( 1) 2 1 1x x x x x x x− − < ⇒ − < + ⇒ − + < − < +
( 1) 2 1 0 2.2 1 1
x x xx x
− + < −∴ ⇒ < < − < +
2 22 1x ax a− − −
a
[ ]1 0− ，
2 2 02 1 2x ax a− − ≥ = 2 2 0x ax a⇒ − − ≥
2(2 ) 4 0 ( 1) 0 1 0.a a a a a⇒ ∆ = + ≤ ⇒ + ≤ ∴− ≤ ≤
2
1
3
11 <
+−
n
n
mn
n
m
<
+−
2
1
31
,)2
1()3
11(,2
1
3
11,6 m
n
mm
nnnmn <
+−∴<+−≤≥ ）（时，
31)3
11( +−≥+−
n
m
n
m
.)2
1()3
11()31( m
n
mn
nn
m <
+−≤+−∴
（Ⅲ）解：假设存在正整数 成立，
即有（ ）+ ＝1. ②
又由（Ⅱ）可得
（ ）+
+ 与②式矛盾，
故当 n≥6 时，不存在满足该等式的正整数 n.
故只需要讨论 n=1,2,3,4,5 的情形；
当 n=1 时，3≠4，等式不成立；
当 n=2 时，32+42＝52，等式成立；
当 n=3 时，33+43+53＝63，等式成立；
当 n=4 时，34+44+54+64 为偶数，而 74 为奇数，故 34+44+54+64≠74,等式不成立；
当 n=5 时，同 n=4 的情形可分析出，等式不成立.
综上，所求的 n 只有 n=2,3.
2、(江西理 17)．（本小题满分 12 分）
已知函数 在区间(0，1)内连续，且 ．
（1）求实数 k 和 c 的值；
（2）解不等式
解：（1）因为 ，所以 ，
由 ，即 ， ．
又因为 在 处连续，
所以 ，即 ．
00 )3()2(436 00000
nnnn nnn +=++++≥ 使等式
0
3
3
0
n
n +
00 )3
2()3
4(
0
0
0
nn
n
n
n +
++++
0
3
3
0
n
n + ++
−−++−=+
++++
0000 )3
11()31()3
2()3
4(
0
0
0
0
0
0
0
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
,12
112
1)2
1()2
1()3
11( 0
000 1
0
<−=+++<+− −
n
nnn
n
≤+
+
= −
)1(2
)0(1
)(
2 ＜
＜＜
xck
cxcx
xf
c
x
8
9)( 2 =cf
18
2)( +＞xf
0 1c< < 2c c<
2 9( ) 8f c = 3 91 8c + = 1
2c =
4
1 11 02 2( )
12 12
x
x x
f x
k x−
+ < < = + <
≤
1
2x =
21 522 4f k− = + = 1k =
（2）由（1）得：
由 得，当 时，解得 ．
当 时，解得 ，
所以 的解集为 ．
3、（北京文 15）（本小题共 12 分）
记关于 的不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ．
（I）若 ，求 ；
（II）若 ，求正数 的取值范围．
解：（I）由 ，得 ．
（II） ．
由 ，得 ，又 ，所以 ，
即 的取值范围是 ．
4
1 11 02 2( )
12 1 12
x
x x
f x
x−
+ < < = + <
≤
2( ) 18f x > + 10 2x< < 2 1
4 2x< <
1 12 x <≤ 1 5
2 8x <≤
2( ) 18f x > + 2 5
4 8x x
< <
x 01
x a
x
− <+ P 1 1x − ≤ Q
3a = P
Q P⊆ a
3 01
x
x
− <+ { }1 3P x x= − < <
{ } { }1 1 0 2Q x x x x= − =≤ ≤ ≤
0a > { }1P x x a= − < < Q P⊆ 2a >
a (2 )+ ∞，
