2019-2020学年江苏省无锡市高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年江苏省无锡市高二上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江苏省无锡市高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设，则下列不等式一定成立的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用不等式性质：在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎ ‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础试题．‎ ‎2．已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（ ）‎ A．6 B．-6 C．4 D．-4‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出向量的坐标，利用向量共线定理即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 又因为向量与向量平行 所以存在实数，使得 解得 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3．已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】椭圆长轴为，焦点恰好三等分长轴，所以椭圆方程为，故选B.‎ ‎4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（　　）‎ A．三分鹿之一 B．三分鹿之二 C．一鹿 D．一鹿、三分鹿之一 ‎【答案】A ‎【解析】分析： 本题考查阅读理解能力，抽象概括能力，解题关键是从题中得出5人所得依次成等差数列，其中，，要求，由等差数列的前项和公式易解得．‎ 详解：显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为，‎ 则，解得．‎ 故选A．‎ 点睛：本题考查等差数列的应用，考查数学文化，《九章算术》是我国古代的数学名著，书中集成了许多数学问题，它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。‎ ‎5．已知等比数列为单调递增数列，设其前项和为，若，，则的值为（ ）‎ A．16 B．32 C．8 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用等比数列的通项公式、前项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出．‎ ‎【详解】‎ 解：等比数列为单调递增数列，‎ 设其前项和为，，，‎ ‎，‎ 解得，，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的第5项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎6．下列不等式或 命题一定成立的是（ ）‎ ‎①； ②；‎ ‎③； ④最小值为2.‎ A．①② B．②③ C．①③ D．②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据基本不等式的性质一一验证.‎ ‎【详解】‎ 解：①，由基本不等式可得 当且仅当时取等号，故正确； ‎ ‎②可以取负值，故不成立，故错误；‎ ‎③由基本不等式可得当且仅当时取等号，故正确；‎ ‎④当时故错误.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的应用，属于基础题.‎ ‎7．已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得出关于的不等式的解集为，由此得出或，在成立时求出实数的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，关于的不等式的解集为.‎ ‎（1）当，即．‎ 当时，不等式化为，合乎题意；‎ 当时，不等式化为，即，其解集不为，不合乎题意；‎ ‎（2）当，即时．‎ 关于的不等式的解集为.‎ ‎，解得．‎ 综上可得，实数的取值范围是．故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次不等式在 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ ‎8．设为数列的前项和，满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据可求数列的通项公式，利用等比数列的前项和求.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 当时，，解得，‎ 当时，，，‎ 故是以，的等比数列，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用求，以及等比数列的前项和，属于基础题.‎ ‎9．若正数、满足，设，则的最大值是（ ）‎ A．12 B．-12 C．16 D．-16‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据则，将式子换元成关于的二次函数，利用二次函数的性质求最值，值得注意的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎、‎ 解得 当且仅当时取得最大值 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的性质，重要不等式的应用，属于中档题.‎ ‎10．正四面体的棱长为2，、分别为、的中点，则的值为（ ）‎ A．-2 B．4 C．2 D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示，，．代入，利用数量积运算性质即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：如图所示，‎ ‎，．‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量数量积的运算性质、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎11．已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，若椭圆上存在点，使得，则该离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由结合椭圆离心率的定义可得，可求得，而，从而可求得离心率的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：依题意，得，‎ ‎，又，‎ ‎，不等号两端同除以得，‎ ‎，‎ ‎，解得，‎ 又，‎ ‎．‎ 即 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的离心率及椭圆的简单几何性质，求得，利用解决问题是关键，也是难点，属于中档题．‎ ‎12．当为正整数时，定义函数表示的最大奇因数.如，则( )‎ A．342 B．345 C．341 D．346‎ ‎【答案】A ‎【解析】，而，，，，又，，故选A.‎ 二、填空题 ‎13．命题“，都有”的否定：______.‎ ‎【答案】，使得 ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：命题是全称命题，则命题的否定是：，有；‎ 故答案为：，有 ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎14．不等式的解集是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将分式不等式转化为整式不等式，解得.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 故不等式的解集为：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分式不等式的解法，属于基础题.‎ ‎15．已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为 ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：因为双曲线的离心率为2，所以1+ =4，=3，又双曲线焦点与椭圆的焦点相同，即焦点在x轴上，故双曲线的渐近线方程为。‎ ‎【考点】本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程及几何性质。‎ 点评：基础题，圆锥曲线中A,b,c,e的关系要熟悉，并做到灵活运用。‎ ‎16．已知，那么的最小值为______.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】先根据条件消掉，即将代入原式得，再裂项并用贴“1”法，最后运用基本不等式求其最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：因为，所以，，‎ 因此，‎ ‎，‎ 当且仅当：，即时，取“”，‎ 即的最小值为：，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及消元，裂项，凑配，贴1等恒等变形，以及取等条件的确定，属于难题．‎ 三、解答题 ‎17．已知等差数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据等差数列基本量的运算求得，故可得通项公式．（2）根据数列 通项公式的特点利用裂项相消法求和．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设等差数列的公差为，‎ 由题意得，‎ 解得 ‎ ‎ ‎（2）由（1）得 ‎ ‎18．已知，函数．‎ ‎（1）若对(0，2)恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）当a＝1时，解不等式．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）分离参数a，构造函数利用均值不等式求最值即可；‎ ‎（2）分类讨论去绝对值，最后取并集即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵f（x）≤2x对x∈（0，2）恒成立，‎ ‎∴a≤+2x对x∈（0，2）恒成立，‎ ‎∵+2x≥2，当且仅当=2x，即x=时等号成立，‎ ‎∴a ‎（2）当a=1时，f（x）=1﹣，∵f（x）≥2x，∴1﹣≥2x，‎ ‎①若x＞0，则1﹣≥2x可化为：2x2﹣x+1≤0，所以x∈∅；‎ ‎②若x＜0，则1﹣≥2x可化为：2x2﹣x﹣1≥0，解得：x≥1或x≤﹣，∵x＜0，∴x≤﹣，‎ 由①②可得1﹣≥2x的解集为：（﹣∞，﹣]‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式恒成立及分类讨论思想，属中档题．‎ ‎19．在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离减去到直线的距离等于1.‎ ‎(1)求曲线的方程；‎ ‎(2)若直线 与曲线交于，两点，求证：直线与直线的倾斜角互补.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】（1）利用抛物线定义“到定点距离等2于到定直线距离的点的轨迹”求动点的轨迹；‎ ‎（2）设直线与抛物线方程联立化为，．由于，利用根与系数的关系与斜率计算公式可得：直线与直线的斜率之和0，即可证明 ‎【详解】‎ ‎（1）曲线上的动点到点的距离减去到直线的距离等于1，‎ 所以动点到直线的距离与它到点的距离相等，‎ 故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线；‎ ‎（2）证明：设.联立，得，（）‎ ‎∴，,，∴直线线与直线的斜率之和：‎ 因为∴直线与直线的斜率之和为，‎ ‎∴直线与直线的倾斜角互补.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎20．某种汽车购买时费用为14．4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增．‎ ‎（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f(n)，试写出f(n)的表达式；‎ ‎（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）。‎ ‎【答案】（1）;（2）12年.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据等差数列求和公式表示出n年该车的总费用；（Ⅱ）求出平均费用，使用基本不等式求最值。‎ ‎21．如图，在高为的等腰梯形中，，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图，点为的中点，点在线段上(不同于，两点)，连接并延长至点，使.‎ ‎(1)证明：平面；‎ ‎(2)若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）建立空间直角坐标系，把证明平面的问题转化为证明，即可；（2）求出平面的法向量为和平面的一个法向量为，把求二面角的余弦值的问题转化为求与的夹角的余弦值的问题即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明：由题设知，，两两垂直，所以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设的长为，‎ 则，，，‎ ‎，，).‎ 因为点为的中点，所以，‎ 所以，，.‎ 因为，，‎ 所以，，又与不共线，‎ 所以平面.‎ ‎(2)解　因为，，所以，‎ 则，所以，.‎ 设平面的法向量为，‎ 由得 令，则，，.‎ 易得平面的一个法向量为.‎ 设二面角的大小为，由图可知，为锐角，‎ 则，‎ 即二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用空间向量的有关知识证明线面垂直及求二面角的平面角问题，求出平面的法向量是解决问题的关键，属常规考题.‎ ‎22．已知椭圆：()，F为左焦点，A为上顶点，为右顶点，若，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F．‎ ‎（1）求的标准方程；‎ ‎（2）是否存在过F点的直线，与和交点分别是P，Q和M，N，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】分析：（1）由题设有，再根据可得的值，从而得到椭圆的标准方程.‎ ‎（2）因为，故，设直线方程为，分别联立直线与椭圆、直线与抛物线的方程，消去后利用韦达定理用表示，解出后即得直线方程.‎ 详解：（1）依题意可知，即，‎ 由右顶点为得，解得，所以的标准方程为.‎ ‎（2）依题意可知的方程为，假设存在符合题意的直线，‎ 设直线方程为，，‎ 联立方程组，得，‎ 由韦达定理得，则，‎ 联立方程组，得，由韦达定理得，所以，‎ 若，则，即，解得，‎ 所以存在符合题意的直线方程为或.‎ 点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.‎