新课标备战高考数学理专题强化复习七章　不等式

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第七章　不等式 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 ‎　　1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.‎ ‎2.一元二次不等式 ‎(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；‎ ‎(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；‎ ‎(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.‎ ‎3.二元一次不等式组与简单线性规划问题 ‎(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；‎ ‎(2)了解二元一次不等式组的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；‎ ‎(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.‎ ‎4.基本不等式：≥ (a，b≥0)‎ ‎(1)了解基本不等式的证明过程；‎ ‎(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.‎ 本章重点：1.用不等式的性质比较大小；2.简单不等式的解法；3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题；4.基本不等式的应用.‎ 本章难点：1.含有参数不等式的解法；2.不等式的应用；3.线性规划的应用.‎ ‎　　不等式具有应用广泛、知识综合、能力复合等特点.高考考查时更多的是与函数、方程、数列、三角函数、解析几何、立体几何及实际应用问题相互交叉和综合，将不等式及其性质的运用渗透到这些问题的求解过程中进行考查.‎ 线性规划是数学应用的重要内容，高考中除考查线性规划问题的求解与应用外，也考查线性规划方法的迁移.‎ 知识网络 ‎　7.1　不等式的性质 典例精析 题型一　比较大小 ‎【例1】已知a＞0，a≠1，P＝loga(a3－a＋1)，Q＝loga(a2－a＋1)，试比较P与Q的大小.‎ ‎【解析】因为a3－a＋1－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，‎ 当a＞1时，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q；‎ 当0＜a＜1时，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q；‎ 综上所述，a＞0，a≠1时，P＞Q.‎ ‎【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一，其解题步骤为：①作差；‎ ‎②变形；③判断符号；④得出结论.‎ ‎【变式训练1】已知m＝a＋(a＞2)，n＝x－2(x≥)，则m，n之间的大小关系为(　　)‎ A.m＜n B.m＞n C.m≥n D.m≤n ‎【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.‎ m＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，而n＝x－2≤()－2＝4.‎ 题型二　确定取值范围 ‎【例2】已知－≤α＜β≤，求，的取值范围.‎ ‎【解析】因为－≤α＜β≤，所以－≤＜，－＜≤，‎ 两式相加得－＜＜.‎ 又－≤＜，所以－≤＜，‎ 又因为α＜β，所以＜0，所以－≤＜0，‎ 综上－＜＜，－≤＜0为所求范围.‎ ‎【点拨】求含字母的数(式)的取值范围，一定要注意题设的条件，否则易出错，同时在变换过程中，要注意准确利用不等式的性质.‎ ‎【变式训练2】已知函数f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.‎ ‎【解析】由已知－4≤f(1)＝a－c≤－1，－1≤f(2)＝‎4a－c≤5.‎ 令f(3)＝‎9a－c＝γ(a－c)＋μ(‎4a－c)，‎ 所以 故f(3)＝－(a－c)＋(‎4a－c)∈[－1,20].‎ 题型三　开放性问题 ‎【例3】已知三个不等式：①ab＞0；② ＞；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？‎ ‎【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:＞⇔＞0.‎ ‎(1)由ab＞0，bc＞ad⇒＞0，即①③⇒②；‎ ‎(2)由ab＞0，＞0⇒bc－ad＞0⇒bc＞ad，即①②⇒③；‎ ‎(3)由bc－ad＞0，＞0⇒ab＞0，即②③⇒①.‎ 故可组成3个正确命题.‎ ‎【点拨】这是一类开放性问题，要求熟练掌握不等式的相关性质，并能对题目条件进行恰当的等价变形.‎ ‎【变式训练3】a、b、c、d均为实数，使不等式＞＞0和ad＜bc都成立的一组值(a，b，c，d)是_______________(只要写出符合条件的一组即可).‎ ‎【解析】写出一个等比式子，如＝＞0.此时内项的积和外项的积相等，减小的分子，把上式变成不等式＞＞0，此时不符合ad＜bc的条件，进行变换可得＞＞0，此时2×‎ ‎(－2)＜1×(－3).故(2,1，－3，－2)是符合要求的一组值.‎ 总结提高 ‎1.不等式中有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质.一般地，要判断一个命题是真命题，必须严格证明.要判断一个命题是假命题，只要举出反例，或者由题设条件推出与结论相反的结果.在不等式证明和推理过程中，关键是要弄清每个性质的条件与结论及其逻辑关系，要注意条件的弱化与加强，不可想当然.如在应用ab＞0，a＞b⇒＜这一性质时，不可弱化为a＞b⇒＜，也不可强化为a＞b＞0⇒＜.‎ ‎2.题设条件含有字母，而结论唯一确定的选择题，采用赋值法解答可事半功倍.‎ ‎3.比较大小的常用方法是作差比较法和作商比较法，变形是关键.‎ ‎　7.2　简单不等式的解法 典例精析 题型一　一元二次不等式的解法 ‎【例1】解下列不等式：‎ ‎(1)x2－2x－3＞0；‎ ‎(2)已知A＝{x|3x2－7x＋2＜0}，B＝{x|－2x2＋x＋1≤0}，求A∪B，(∁RA)∩B.‎ ‎【解析】(1)方程两根为x1＝－1，x2＝3，‎ 所以原不等式解集为{x|x＜－1或x＞3}.‎ ‎(2)因为A＝{x|＜x＜2}，∁RA＝{x|x≤或x≥2}，B＝{x|x≤－或x≥1}，‎ 所以A∪B＝{x|x≤－或x＞}，(∁RA)∩B＝{x|x≤－或x≥2}.‎ ‎【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于Δ＞0的不等式解集简称“大于取两端，小于取中间”.‎ ‎【变式训练1】设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为(　　)‎ A.(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B.[－3，－1]‎ C.[－3，－1]∪(0，＋∞) D.[－3，＋∞)‎ ‎【解析】选C.由已知对x≤0时f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－4)＝f(0)，知其对称轴为x＝－2，故－＝－2⇒b＝4.‎ 又f(－2)＝0，代入得c＝4，故f(x)＝‎ 分别解之取并集即得不等式解集为[－3，－1]∪(0，＋∞).‎ 题型二　解含参数的一元二次不等式问题 ‎【例2】解关于x的不等式mx2＋(m－2)x－2＞0 (m∈R).‎ ‎【解析】当m＝0时，原不等式可化为－2x－2＞0，即x＜－1；‎ 当m≠0时，可分为两种情况：‎ ‎(1)m＞0 时，方程mx2＋(m－2)x－2＝0有两个根，x1＝－1，x2＝.‎ 所以不等式的解集为{x|x＜－1或x＞}；‎ ‎(2)m＜0时，原不等式可化为－mx2＋(2－m)x＋2＜0，‎ 其对应方程两根为x1＝－1，x2＝，x2－x1＝－(－1)＝.‎ ‎①m＜－2时，m＋2＜0，m＜0，所以x2－x1＞0，x2＞x1，‎ 不等式的解集为{x|－1＜x＜}；‎ ‎②m＝－2时，x2＝x1＝－1，‎ 原不等式可化为(x＋1)2＜0，解集为∅；‎ ‎③－2＜m＜0时，x2－x1＜0，即x2＜x1，‎ 不等式解集为{x|＜x＜－1}.‎ 综上所述：‎ 当m＜－2时，解集为{x|－1＜x＜}；‎ 当m＝－2时，解集为∅；‎ 当－2＜m＜0时，解集为{x|＜x＜－1}；‎ 当m＝0时，解集为{x|x＜－1}；‎ 当m＞0时，解集为{x|x＜－1或x＞}.‎ ‎【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集.‎ ‎【变式训练2】解关于x的不等式＞0.‎ ‎【解析】原不等式等价于(ax－1)(x＋1)＞0.‎ 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜－1}；‎ 当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞或x＜－1}；‎ 当－1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜－1}；‎ 当a＝－1时，不等式的解集为∅；‎ 当a＜－1时，不等式的解集为{x|－1＜x＜}.‎ 题型三　一元二次不等式与一元二次方程之间的联系 ‎【例3】已知ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.‎ ‎【解析】由于ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，因此a＜0，‎ 且ax2＋bx＋c＝0的两根为1、3，则－＝1＋3，＝1×3，即＝－4，＝3.‎ 又a＜0，不等式cx2＋bx＋a＜0可以化为x2＋x＋1＞0，即3x2－4x＋1＞0，‎ 解得x＜或x＞1.‎ ‎【点拨】解一元二次不等式时，要注意联系相应的一元二次方程与一元二次函数，明确一元二次不等式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根.‎ ‎【变式训练3】(2009江西)若不等式≤k(x＋2)－的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝　　　.‎ ‎【解析】.作出函数y＝和y＝k(x＋2)－的图象，函数y＝的图象是一个半圆，函数y＝k(x＋2)－的图象是过定点(－2，－)的一条动直线.依题意，半圆在直线下方的区间长度为2，则必有a＝1，即 ‎1是方程＝k(x＋2)－的根，代入得k＝.‎ 总结提高 ‎1.解一元二次不等式的一般步骤:‎ ‎(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；‎ ‎(2)计算相应的判别式；‎ ‎(3)当Δ＞0时，求出相应的一元二次方程的两根；‎ ‎(4)根据一元二次不等式的结构，写出其解集.‎ ‎2.当含有参数时，需分类讨论.分类标准往往根据需要而设定.如：是一元一次不等式还是一元二次不等式；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等.‎ ‎3.要注意三个“二次”之间的联系，重视数形结合思想的应用.‎ ‎7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 典例精析 题型一　平面区域 ‎【例1】已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞)，且f(4)＝f(－2)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，则平面区域所围成的面积是(　　) ‎ A.2 B‎.4 ‎ C.5 D.8‎ ‎【解析】选B.由f′(x)的图象可知，f(x)在[－2,0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数.‎ 因为f(－2)＝f(4)＝1，所以当且仅当x∈(－2,4)时，有f(x)＜f(－2)＝f(4)＝1.‎ 作出可行域如图所示，其围成的图形面积为4.‎ ‎【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.‎ ‎【变式训练1】若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax＋by≤1，则以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C.1 D. ‎【解析】选C.当a＝b＝1时，满足x＋y≤1，且可知0≤a≤1，0≤b≤1，所以点P(a，b)所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1.本题关键是确定点所形成的区域形状.‎ 题型二　利用线性规划求最值 ‎(1)z＝x＋2y－4的最大值；‎ ‎(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；‎ ‎(3)z＝的取值范围.‎ ‎【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).‎ ‎(1)易知直线x＋2y－4＝z过点C时，z最大.‎ 所以x＝7，y＝9时，z取最大值21.‎ ‎(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，‎ 过点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，‎ 故z的最小值是()2＝.‎ ‎(3)z＝2·表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－)连线斜率的2倍.‎ 因为kQA＝，kQB＝，所以z的取值范围为[，].‎ ‎【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键.‎ ‎【变式训练2】已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx＋1(a，b∈R)在区间[－1,3]上是减函数，求 a＋b的最小值.‎ ‎【解析】因为f′(x)＝x2＋2ax－b，f(x)在区间[－1,3]上是减函数.‎ 所以f′(x)≤0在[－1,3]上恒成立.则 作出点(a，b)表示的平面区域.‎ 令z＝a＋b，求出直线－‎2a－b＋1＝0与‎6a－b＋9＝0的交点A的坐标为(－1,3).‎ 当直线z＝a＋b过点A(－1,3)时，z＝a＋b取最小值2.‎ 题型三　线性规划的实际应用 ‎【例3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有‎72 m3‎，第二种有‎56 m3‎.假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需要用第一种木料‎0.18 m3‎，第二种木料‎0.08m3‎，可获利润6元，生产一个衣柜需要用第一种木料‎0.09 m3‎，第二种木料‎0.28 m3‎，可获利润10元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【解析】设圆桌生产的张数为x，衣柜生产的个数为y，所获利润为z，则z＝6x＋10y，‎ 当直线l：6x＋10y＝0平移到经过点M(350,100)时，z＝6x＋10y最大.‎ zmax＝6×350＋10×100＝3 100，‎ 所以生产圆桌350张，衣柜100个可获得最大利润3 100元.‎ ‎【点拨】解实际线性规划问题，首先设出变量，建立不等式模型表示出约束条件，一定要注意问题的实际意义(如本题中x≥0，y≥0)，然后画出可行域，利用图形求解.‎ ‎【变式训练3】某实验室需购某种化工原料至少‎106千克，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋‎35千克，价格为140元；另一种是每袋‎24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费　　　元.‎ ‎【解析】500.设需‎35千克的x袋，‎24千克的y袋，则目标函数z＝140x＋120y，约束条件为当x＝1时，y≥，即y＝3，这时zmin＝140＋120×3＝500.‎ 总结提高 ‎1.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知，找出约束条件和目标函数是关键.‎ ‎2.可行域是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，亦可是一侧开放的无限大的平面区域.‎ ‎3.若可行域是一个多边形，那么一般在顶点处，使目标函数值取得最值，最优解一般是多边形的某个顶点.‎ ‎4.实际问题的最优解要求是整数解时，这时要对最优解(非整数解)进行适当调整，其方法是在边界直线的附近寻求与目标函数直线距离最近的整点，而不要在最优解的附近寻找.‎ ‎　7.4　基本不等式及应用 典例精析 题型一　利用基本不等式比较大小 ‎【例1】(1)设x，y∈R＋，且xy－(x＋y)＝1，则(　　)‎ A.x＋y≥2(＋1) B.x＋y≤2(＋1)‎ C.x＋y≤2(＋1)2 D.x＋y≥(＋1)2‎ ‎(2)已知a，b∈R＋，则，，，的大小顺序是　　　　　　　　　.‎ ‎【解析】(1)选A.由已知得xy＝1＋(x＋y)，又xy≤()2，所以()2≥1＋(x＋y).‎ 解得x＋y≥2(＋1)或x＋y≤2(1－).‎ 因为x＋y＞0，所以x＋y≥2(＋1).‎ ‎(2)由≥有a＋b≥2，即a＋b≥，所以≥.‎ 又＝≤，所以≥，‎ 所以≥≥≥.‎ ‎【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用.‎ ‎【变式训练1】设a＞b＞c，不等式＋＞恒成立，则λ的取值范围是　　　　.‎ ‎【解析】(－∞，4).因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.‎ 而(a－c)(＋)＝[(a－b)＋(b－c)](＋)≥4，所以λ＜4.‎ 题型二　利用基本不等式求最值 ‎【例2】(1)已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值为　　　　；‎ ‎(2)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数f′(x)，f′(0)＞0，对任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为(　　)‎ A.3 B. C.2 D. ‎【解析】(1)因为x＜，所以5－4x＞0.‎ 所以y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.‎ 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.‎ 所以x＝1时，ymax＝1.‎ ‎(2)选C.因为f(x)≥0，所以 所以c≥.又f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＞0，‎ ＝＝1＋≥1＋≥1＋＝2，‎ 当且仅当c＝且‎4a2＝b2时等号成立.‎ ‎【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误.‎ ‎【变式训练2】已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求的取值范围.‎ ‎【解析】由等差数列、等比数列的性质得a＋b＝x＋y，‎ cd＝xy，所以＝＝2＋＋，‎ 当＞0时，≥4；当＜0时，≤0，‎ 故的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).‎ 题型三　应用基本不等式解实际应用问题 ‎【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.‎ ‎(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)；‎ ‎(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由.‎ ‎【解析】(1)设该厂x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1).‎ 设平均每天所支付的总费用为y1，则 y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝＋9x＋10 809≥2＋10 809＝10 989，‎ 当且仅当9x＝，即x＝10时，取等号.‎ 即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.‎ ‎(2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则 y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.9＝＋9x＋9 729(x≥35).‎ 因为y2′＝9－，当x≥35时，y2′＞0.‎ 所以y2＝＋9x＋9 729在[35，＋∞)上是增函数.‎ 所以x＝35时，y2取最小值.‎ 由＜10 989知，该厂可以利用此优惠条件.‎ ‎【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值.当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理.‎ ‎【变式训练3】已知a＞0，b＞0，且‎2a＋b＝1，求S＝2－‎4a2－b2的最大值.‎ ‎【解析】因为a＞0，b＞0,‎2a＋b＝1，‎ 所以‎4a2＋b2＝(‎2a＋b)2－4ab＝1－4ab，‎ 且1＝‎2a＋b≥2，即≤，ab≤.‎ 所以S＝2－‎4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤，‎ 当且仅当a＝，b＝时，等号成立.‎ 总结提高 ‎1.基本不等式的几种常见变形公式：‎ ab≤()2≤(a，b∈R)；‎ ≤≤≤(a＞0，b＞0).‎ 注意不等式成立的条件及等号成立的条件.‎ ‎2.合理拆分或配凑因子是常用的技巧，配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值，且等号能够成立.‎ ‎3.多次使用基本不等式求最值时，要特别注意等号能否同时成立.‎ ‎7.5　不等式的综合应用 典例精析 题型一　含参数的不等式问题 ‎【例1】若不等式组的解集中所含整数解只有－2，求k的取值范围.‎ ‎【解析】由x2－x－2＞0有x＜－1或x＞2，‎ 由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0有(2x＋5)(x＋k)＜0.‎ 因为－2是原不等式组的解，所以k＜2.‎ 由(2x＋5)(x＋k)＜0有－＜x＜－k.‎ 因为原不等式组的整数解只有－2，所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2，‎ 故k的取值范围是[－3,2).‎ ‎【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁.‎ ‎【变式训练1】不等式(－1)na＜2＋对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【解析】当n为奇数时，－a＜2＋，即a＞－(2＋).‎ 而－(2＋)＜－2，则a≥－2；‎ 当n为偶数时，a＜2－，而2－≥2－＝，所以a＜.‎ 综上可得－2≤a＜.‎ ‎【点拨】不等式中出现了(－1)n的时候，常常分n为奇数和偶数进行分类讨论.‎ 题型二　不等式在函数中的应用 ‎【例2】已知函数f(x)＝在区间[－1,1]上是增函数.‎ ‎(1)求实数a的值组成的集合A；‎ ‎(2)设x1，x2是关于x的方程f(x)＝的两个相异实根，若对任意a∈A及t∈[－1,1]，不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【解析】(1)f′(x)＝，‎ 因为f(x)在[－1,1]上是增函数，所以当x∈[－1,1]时，f′(x)≥0恒成立，‎ 令φ(x)＝x2－ax－2，即x2－ax－2≤0恒成立.‎ 所以A＝{a|－1≤a≤1}.‎ ‎(2)由f(x)＝得x2－ax－2＝0.‎ 设x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，所以x1＋x2＝a，x1x2＝－2.‎ 从而|x1－x2|＝＝，‎ 因为a∈[－1,1]，所以≤3，即|x1－x2|max＝3.‎ 不等式对任意a∈A及t∈[－1,1]不等式恒成立，即m2＋tm－2≥0恒成立.‎ 设g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋m2－2，则 解得m≥2或m≤－2.‎ 故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).‎ ‎【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了.‎ ‎【变式训练2】设a，b＞0，且ab＝1，不等式＋≤λ恒成立，则λ的取值范围是　　　　.‎ ‎【解析】[1，＋∞).因为ab＝1，所以＋＝≤＝1，所以λ≥1.‎ 题型三　不等式在实际问题中的应用 ‎【例3】某森林出现火灾，火势正以‎100 m2‎/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火 ‎50 m2‎‎/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m2，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？‎ ‎【解析】设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则 t＝＝，‎ y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费 ‎＝125xt＋100x＋60(500＋100t)‎ ‎＝125x×＋100x＋30 000＋ ‎＝100(x－2)＋＋31 450‎ ‎≥2＋31 450＝36 450，‎ 当且仅当100(x－2)＝，即x＝27时，y有最小值36 450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36 450元.‎ ‎【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题，建立不等式模型，利用基本不等式求最值，基本不等式是历年高考考查的重要内容.‎ ‎【变式训练3】某学校拟建一块周长为‎400 m的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？‎ ‎【解析】设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m，中间的矩形区域面积为S，‎ 则半圆的周长为，‎ 因为操场周长为400，所以2x＋2×＝400，‎ 即2x＋πy＝400(0＜x＜200,0＜y＜)，‎ 所以S＝xy＝·(2x)·(πy)≤·2＝，‎ 由解得 所以当且仅当时等号成立，‎ 即把矩形的长和宽分别设计为‎100 m和m时，矩形区域面积最大.‎ 总结提高 ‎1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题.‎ 不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合.解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题.‎ ‎2.建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等.‎ ‎3.解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验.‎