钦州市2013年中考数学卷

钦州市2013年中考数学卷

广西钦州市2013年中考数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的。用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）‎ ‎1．（3分）（2013•钦州）7的倒数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣7‎ B．‎ ‎7‎ C．‎ ‎﹣‎ D．‎ 考点：‎ 倒数．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 直接根据倒数的定义求解．‎ 解答：‎ 解：7的倒数为．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了倒数的定义：a（a≠0）的倒数为．‎ ‎2．（3分）（2013•钦州）随着交通网络的不断完善．旅游业持续升温，据统计，在今年“五一”期间，某风景区接待游客403000人，这个数据用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎403×103‎ B．‎ ‎40.3×104‎ C．‎ ‎4.03×105‎ D．‎ ‎0.403×106‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将403000用科学记数法表示为4.03×105．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎3．（3分）（2013•钦州）下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 几何体的展开图．‎ 分析：‎ 根据三棱柱的展开图的特点进行解答即可．‎ 解答：‎ A、是三棱锥的展开图，故选项错误；‎ B、是三棱柱的平面展开图，故选项正确；‎ C、两底有4个三角形，不是三棱锥的展开图，故选项错误；‎ D、是四棱锥的展开图，故选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了几何体展开图，熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•钦州）在下列实数中，无理数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6‎ 考点：‎ 无理数．‎ 分析：‎ 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．‎ 解答：‎ 解：A、B、D中0、、6都是有理数，‎ C、是无理数．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•钦州）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为2cm和3cm，若O1O2=5cm．则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 外离 B．‎ 相交 C．‎ 内切 D．‎ 外切 考点：‎ 圆与圆的位置关系．‎ 分析：‎ 由⊙O1、⊙O2的半径分别是2cm和3cm，若O1O2=5cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出⊙O1和⊙O2的位置关系．‎ 解答：‎ 解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是2cm和3cm，若O1O2=5cm，‎ 又∵2+3=5，‎ ‎∴⊙O1和⊙O2的位置关系是外切．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．‎ 圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•钦州）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5﹣1=‎ B．‎ x2•x3=x6‎ C．‎ ‎（a+b）2=a2+b2‎ D．‎ ‎=‎ 考点：‎ 二次根式的加减法；同底数幂的乘法；完全平方公式；负整数指数幂．3718684‎ 分析：‎ 根据负整数指数幂、同底数幂的乘法、同类二次根式的合并及完全平方公式，分别进行各选项的判断即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：A、5﹣1=，原式计算正确，故本选项正确；‎ B、x2•x3=x5，原式计算错误，故本选项错误；‎ C、（a+b）2=a2+2ab+b2，原式计算错误，故本选项错误；‎ D、与不是同类二次根式，不能直接合并，原式计算错误，故本选项错误；‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了二次根式的加减运算、同底数幂的乘法及完全平方公式，掌握各部分的运算法则是关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•钦州）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ m＜3‎ B．‎ m≤3‎ C．‎ m＞3‎ D．‎ m≥3‎ 考点：‎ 根的判别式．3718684‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4×3×m＞0，然后解不等式即可．‎ 解答：‎ 解：根据题意得△=（﹣6）2﹣4×3×m＞0，‎ 解得m＜3．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•钦州）下列说法错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 打开电视机，正在播放广告这一事件是随机事件 ‎　‎ B．‎ 要了解小赵一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查 ‎　‎ C．‎ 方差越大，数据的波动越大 ‎　‎ D．‎ 样本中个体的数目称为样本容量 考点：‎ 随机事件；全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；方差．3718684‎ 分析：‎ 根据随机事件的概念以及抽样调查和方差的意义和样本容量的定义分别分析得出即可．‎ 解答：‎ 解：A、打开电视机，正在播放广告这一事件是随机事件，根据随机事件的定义得出，此选项正确，不符合题意；‎ B、要了解小赵一家三口的身体健康状况，适合采用全面调查，故此选项错误，符合题意；‎ C、根据方差的定义得出，方差越大，数据的波动越大，此选项正确，不符合题意；‎ D、样本中个体的数目称为样本容量，此选项正确，不符合题意．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了随机事件以及样本容量和方差的定义等知识，熟练掌握相关的定理是解题关键．‎ ‎9．（3分）（2013•钦州）甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x天．则可列方程为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎+=1‎ B．‎ ‎10+8+x=30‎ C．‎ ‎+8（+）=1‎ D．‎ ‎（1﹣）+x=8‎ 考点：‎ 由实际问题抽象出分式方程．3718684‎ 分析：‎ 设乙工程队单独完成这项工程需要x天，由题意可得等量关系：甲10天的工作量+甲与乙8天的工作量=1，再根据等量关系可得方程10×+（+）×8=1即可．‎ 解答：‎ 解：设乙工程队单独完成这项工程需要x天，由题意得：‎ ‎10×+（+）×8=1．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，再列出方程，此题用到的公式是：工作效率×工作时间=工作量．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎80°‎ B．‎ ‎80°或20°‎ C．‎ ‎80°或50°‎ D．‎ ‎20°‎ 考点：‎ 等腰三角形的性质．3718684‎ 专题：‎ 分类讨论．‎ 分析：‎ 分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．‎ 解答：‎ 解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，‎ ‎②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，‎ 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•钦州）如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 甲＜乙＜丙 B．‎ 乙＜丙＜甲 C．‎ 丙＜乙＜甲 D．‎ 甲=乙=丙 考点：‎ 平行四边形的判定与性质．‎ 专题：‎ 应用题．‎ 分析：‎ 延长ED和BF交于C，如图2，延长AG和BK交于C，根据平行四边形的性质和判定求出即可．‎ 解答：‎ 解：图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；‎ 延长ED和BF交于C，如图2，‎ ‎∵∠DEA=∠B=60°，‎ ‎∴DE∥CF，‎ 同理EF∥CD，‎ ‎∴四边形CDEF是平行四边形，‎ ‎∴EF=CD，DE=CF，‎ 即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；‎ 延长AG和BK交于C，如图3，‎ 与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，‎ 即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；‎ 即甲=乙=丙，‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎5‎ 考点：‎ 点到直线的距离；坐标确定位置；平行线之间的距离．3718684‎ 专题：‎ 新定义．‎ 分析：‎ ‎“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．‎ 解答：‎ 解：如图，‎ ‎∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，‎ 到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，‎ ‎∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上）‎ ‎13．（3分）（2013•钦州）比较大小：﹣1　＜　2（填“＞”或“＜”）‎ 考点：‎ 有理数大小比较．3718684‎ 分析：‎ 根据有理数的大小比较法则比较即可．‎ 解答：‎ 解：∵负数都小于正数，‎ ‎∴﹣1＜2，‎ 故答案为：＜．‎ 点评：‎ 本题考查了对有理数的大小比较法则的应用，注意：负数都小于正数．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•钦州）当x=　2　时，分式无意义．‎ 考点：‎ 分式有意义的条件．3718684‎ 分析：‎ 根据分式无意义的条件可得x﹣2=0，再解方程即可．‎ 解答：‎ 解：由题意得：x﹣2=0，‎ 解得：x=2，‎ 故答案为：2．‎ 点评：‎ 此题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件是分母等于零．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•钦州）请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式　y=x（答案不唯一）．　．‎ 考点：‎ 正比例函数的性质．3718684‎ 分析：‎ 先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过一、三象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．‎ 解答：‎ 解：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），‎ ‎∵此正比例函数的图象经过一、三象限，‎ ‎∴k＞0，‎ ‎∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）．‎ 故答案为：y=x（答案不唯一）．‎ 点评：‎ 本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＞0时函数的图象经过一、三象限．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•钦州）如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积的比是　1：4　．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．3718684‎ 分析：‎ 由中位线可知DE∥BC，且DE=BC；可得△ADE∽△ABC，相似比为1：2；根据相似三角形的面积比是相似比的平方，即得结果．‎ 解答：‎ 解：∵DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥BC，且DE=BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，相似比为1：2，‎ ‎∵相似三角形的面积比是相似比的平方，‎ ‎∴△ADE与△ABC的面积的比为1：4（或）．‎ 点评：‎ 本题要熟悉中位线的性质及相似三角形的判定及性质，牢记相似三角形的面积比是相似比的平方．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2013•钦州）不等式组的解集是　3＜x≤5　．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组．3718684‎ 分析：‎ 首先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”找出公共解集即可．‎ 解答：‎ 解：，‎ 解①得：x≤5，‎ 解②得：x＞3，‎ 故不等式组的解集为：3＜x≤5，‎ 故答案为：3＜x≤5．‎ 点评：‎ 此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2013•钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是　10　．‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题；正方形的性质．3718684‎ 分析：‎ 由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．‎ 解答：‎ 解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴B、D关于AC对称，‎ ‎∴PB=PD，‎ ‎∴PB+PE=PD+PE=DE．‎ ‎∵BE=2，AE=3BE，‎ ‎∴AE=6，AB=8，‎ ‎∴DE==10，‎ 故PB+PE的最小值是10．‎ 故答案为：10．‎ 点评：‎ 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8分，满分66分，请将答案写在答题卡上，解答应写出文字说明或演算步骤）‎ ‎19．（6分）（2013•钦州）计算：|﹣5|+（﹣1）2013+2sin30°﹣．‎ 考点：‎ 实数的运算；特殊角的三角函数值．3718684‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 本题涉及绝对值、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：‎ 解：原式=5﹣1+2×﹣5‎ ‎=﹣1+1‎ ‎=0．‎ 点评：‎ 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点的运算．‎ ‎20．（6分）（2013•钦州）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形．‎ ‎[ ‎ 考点：‎ 等腰梯形的判定．‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 由AB∥DE，∠DEC=∠C，易证得∠B=∠C，又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，即可证得结论．‎ 解答：‎ 证明：∵AB∥DE，‎ ‎∴∠DEC=∠B，‎ ‎∵∠DEC=∠C，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ ‎∴梯形ABCD是等腰梯形．‎ 点评：‎ 此题考查了等腰梯形的判定．此题比较简单，注意掌握同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形定理的应用，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎21．（6分）（2013•钦州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：‎ ‎（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．‎ ‎（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．‎ 考点：‎ 作图-旋转变换；作图-轴对称变换．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标；‎ ‎（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．‎ 解答：‎ 解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；‎ ‎（2）如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．‎ 点评：‎ 本题考查图形的轴对称变换及旋转变换．解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2013•钦州）（1）我市开展了“寻找雷锋足迹”的活动，某中学为了了解七年级800名学生在“学雷锋活动月”中做好事的情况，随机调查了七年级50名学生在一个月内做好事的次数，并将所得数据绘制成统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：‎ ‎①所调查的七年级50名学生在这个月内做好事次数的平均数是　4.4　，众数是　5　，极差是　6　：‎ ‎②根据样本数据，估计该校七年级800名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于4次的人数．（2）甲口袋有2个相同的小球，它们分别写有数字1和2；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字3、4和5，从这两个口袋中各随机地取出1个小球．‎ ‎①用“树状图法”或“列表法”表示所有可能出现的结果；‎ ‎②取出的两个小球上所写数字之和是偶数的概率是多少？‎ 考点：‎ 列表法与树状图法；用样本估计总体；条形统计图．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）①根据平均数、众数、极差定义分别进行计算即可；②根据样本估计总体的方法，用800乘以调查的学生做好事不少于4次的人数所占百分比即可；‎ ‎（2）①根据题意画出树状图可直观的得到所有可能出现的结果；②根据①所列树状图，找出符合条件的情况，再利用概率公式进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：（1）①平均数；（2×5+3×6+4×13+5×16+6×10）÷50=4.4；‎ 众数：5次；‎ 极差：6﹣2=4；‎ ‎②做好事不少于4次的人数：800×=624；‎ ‎（2）①如图所示：‎ ‎②一共出现6种情况，其中和为偶数的有3种情况，故概率为=．‎ 点评：‎ 此题主要考查了条形统计图、众数、平均数、极差、样本估计总体、以及画树状图和概率，关键是能从条形统计图中得到正确信息，正确画出树状图．‎ ‎　‎ ‎23．（7分）（2013•钦州）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（﹣2，m），B（4，﹣2）两点，与x轴交于C点，过A作AD⊥x轴于D．‎ ‎（1）求这两个函数的解析式：‎ ‎（2）求△ADC的面积．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）因为反比例函数过A、B两点，所以可求其解析式和m的值，从而知A点坐标，进而求一次函数解析式；‎ ‎（2）先求出直线AB与与x轴的交点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵反比例函数y=的图象过B（4，﹣2）点，‎ ‎∴k=4×（﹣2）=﹣8，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=﹣；‎ ‎∵反比例函数y=的图象过点A（﹣2，m），‎ ‎∴m=﹣=4，即A（﹣2，4）．‎ ‎∵一次函数y=ax+b的图象过A（﹣2，4），B（4，﹣2）两点，‎ ‎∴，‎ 解得 ‎∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；‎ ‎（2）∵直线AB：y=﹣x+2交x轴于点C，‎ ‎∴C（2，0）．‎ ‎∵AD⊥x轴于D，A（﹣2，4），‎ ‎∴CD=2﹣（﹣2）=4，AD=4，‎ ‎∴S△ADC=•CD•AD=×4×4=8．‎ 点评：‎ 本题主要考查对一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（7分）（2013•钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）‎ ‎（1）求点B距水平面AE的高度BH；‎ ‎（2）求广告牌CD的高度．‎ ‎（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH；‎ ‎（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．‎ 解答：‎ 解：（1）过B作BG⊥DE于G，‎ Rt△ABF中，i=tan∠BAH==，‎ ‎∴∠BAH=30°，‎ ‎∴BH=AB=5；‎ ‎（2）由（1）得：BH=5，AH=5，‎ ‎∴BG=AH+AE=5+15，‎ Rt△BGC中，∠CBG=45°，‎ ‎∴CG=BG=5+15．‎ Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，‎ ‎∴DE=AE=15．‎ ‎∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7m．‎ 答：宣传牌CD高约2.7米．‎ 点评：‎ 此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）（2013•钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．‎ ‎（1）求⊙O的半径OD；‎ ‎（2）求证：AE是⊙O的切线；‎ ‎（3）求图中两部分阴影面积的和．‎ 考点：‎ 切线的判定与性质；扇形面积的计算．3718684‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；‎ ‎（2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；‎ ‎（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积，求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵AB与圆O相切，‎ ‎∴OD⊥AB，‎ 在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，‎ ‎∴OD=3；‎ ‎（2）连接OE，‎ ‎∵AE=OD=3，AE∥OD，‎ ‎∴四边形AEOD为平行四边形，‎ ‎∴AD∥EO，‎ ‎∵DA⊥AE，‎ ‎∴OE⊥AC，‎ 又∵OE为圆的半径，‎ ‎∴AC为圆O的切线；‎ ‎（3）∵OD∥AC，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴AC=7.5，‎ ‎∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，‎ ‎∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形BOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣‎ ‎=3+﹣‎ ‎=．‎ 点评：‎ 此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎26．（12分）（2013•钦州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．‎ ‎（1）求点A的坐标和∠AOB的度数；‎ ‎（2）若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的情况下，判断点C′是否在抛物线y=x2+2x上，请说明理由；‎ ‎（4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．3718684‎ 专题：‎ 探究型．‎ 分析：‎ ‎（1）由y=x2+2x得，y=（x﹣2）2﹣2，故可得出抛物线的顶点A的坐标，令x2+2x=0得出点B的坐标过点A作AD⊥x轴，垂足为D，由∠ADO=90°可知点D的坐标，故可得出OD=AD，由此即可得出结论；‎ ‎（2）由题意可知抛物线m的二次项系数为，由此可得抛物线m的解析式过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，根据勾股定理可求出OC的长，同理可得AC的长，OC=AC，由翻折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，由此即可得出结论；‎ ‎（3）过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，由于OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，故可得出∠COH=∠C′OG，再根据CE∥OH可知∠OCE=∠C′OG，根据全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO，故可得出点C′的坐标把x=﹣4代入抛物线y=x2+2x进行检验即可得出结论；‎ ‎（4）由于点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，故设Q（a，（a﹣2）2﹣4），由于OC为该四边形的一条边，故OP为对角线，由于点P在x轴上，根据中点坐标的定义即可得出a的值，故可得出结论．‎ 解答：‎ 解：（1）∵由y=x2+2x得，y=（x﹣2）2﹣2，‎ ‎∴抛物线的顶点A的坐标为（﹣2，﹣2），‎ 令x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣4，‎ ‎∴点B的坐标为（﹣4，0），‎ 过点A作AD⊥x轴，垂足为D，‎ ‎∴∠ADO=90°，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣2，﹣2），点D的坐标为（﹣2，0），‎ ‎∴OD=AD=2，‎ ‎∴∠AOB=45°；‎ ‎（2）四边形ACOC′为菱形．‎ 由题意可知抛物线m的二次项系数为，且过顶点C的坐标是（2，﹣4），‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣2，‎ 过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，‎ ‎∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE﹣EF=2，‎ ‎∴OC===2，‎ 同理，AC=2，OC=AC，‎ 由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，‎ 故四边形ACOC′为菱形．‎ ‎（3）如图1，点C′不在抛物线y=x2+2x上．‎ 理由如下：‎ 过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，‎ ‎∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，‎ ‎∴∠COH=∠C′OG，‎ ‎∵CE∥OH，‎ ‎∴∠OCE=∠C′OG，‎ 又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，‎ ‎∴△CEO≌△C′GO，‎ ‎∴OG=4，C′G=2，‎ ‎∴点C′的坐标为（﹣4，2），‎ 把x=﹣4代入抛物线y=x2+2x得y=0，‎ ‎∴点C′不在抛物线y=x2+2x上；‎ ‎（4）存在符合条件的点Q．‎ ‎∵点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，‎ ‎∴设Q（a，（a﹣2）2﹣4），‎ ‎∵OC为该四边形的一条边，‎ ‎∴OP为对角线，‎ ‎∴=0，解得x1=6，x2=4，‎ ‎∴P（6，4）或（﹣2，4）（舍去），‎ ‎∴点Q的坐标为（6，4）．‎ 点评：‎ 本题考查的是二次函数综合题，涉及到抛物线的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，难度适中．‎ ‎　‎