高考数学二轮复习专题能力提升训练：推理与证明

高考数学二轮复习专题能力提升训练：推理与证明

北京师范大学附中2014版《创新设》高考数学二轮复习专题能力提升训练：推理与证明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．下列说法中正确的是( )‎ A．合情推理是正确的推理 B．合情推理就是归纳推理 C．归纳推理是从一般到特殊的推理 D．类比推理是从特殊到特殊的推理 ‎【答案】D ‎2．对于函数①，②，‎ ‎③.判断如下两个命题的真假：‎ 命题甲：在区间上是增函数；‎ 命题乙：在区间上恰有两个零点，且。‎ 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是( )[来源:学。科。网]‎ A．① B．② C．①③ D．①②‎ ‎【答案】D ‎3．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于( )‎ A．演绎推理 B．类比推理 C．合情推理 D．归纳推理 ‎【答案】A ‎4．设a、，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎5．正整数按下表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】Ｄ ‎6．“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( )‎ A．完全归纳推理 B．类比推理 C．归纳推理 D．演绎推理 ‎【答案】C ‎7．已知整数对排列如下：（1,1）,(1,2）,(2,1）（1,3），（2,2）,(3,1),(1,4),(2,3),(3,2), (4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个整数对是( )‎ A．（5，7） B．（4，8） C．（5，8） D．（6，7）‎ ‎【答案】A ‎8．若，,则P、Q的大小关系是( )‎ A． B． C． D． 由a的取值确定 ‎【答案】C ‎9．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数.”上述推理是( )‎ A．正确的 B．大前提错 C．小前提错 D．结论错 ‎【答案】A ‎10．若数列中，则( )‎ A．1540 B．500 C．505 D．510‎ ‎【答案】C ‎11．已知 ，猜想的表达式为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎12．某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得( )‎ A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题成立 D．当时，该命题不成立 ‎【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．在数列中，，，可以猜测数列通项的表达式为　　　．‎ ‎【答案】‎ ‎14．个正整数排列如下：‎ ‎ 1，2，3，4，……，n ‎ 2，3，4，5，……，n+l ‎ 3，4，5，6，……， n+2‎ ‎ ……[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ n，n+l，n+2，n+3，……，2n一1‎ ‎ 则这个正整数的和S= ．‎ ‎【答案】‎ ‎15．观察下列等式,照此规律，第个等式为 .‎ ‎【答案】‎ ‎16．对于，将表示为，当时，，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则 ‎(1） (2）‎ ‎【答案】2，1093‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．已知⊙与的边分别相切于和，与外接圆相切于， 是的中点（如图）．‎ 求证：．‎ ‎【答案】已知⊙与的边分别相切于和，与外接圆相切于，‎ ‎∴ ‎ ‎∵和都是⊙的半径，‎ ‎∴ 由对称性知，‎ 且于． ‎ ‎∴ ，‎ 即 [来源:学科网]‎ 又∵，∴∽‎ ‎∴ ‎ 过作两圆的公切线，则 又∵，即 ‎∴ ‎ ‎ 故．‎ ‎18．如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且．记为所有这样的数表构成的集合．‎ 对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．‎ ‎(Ⅰ）对如下数表，求的值；‎ ‎ (Ⅱ）证明：存在，使得，其中；‎ ‎(Ⅲ）给定为奇数，对于所有的，证明：．‎ ‎【答案】（Ⅰ），；，，‎ ‎ 所以．‎ ‎(Ⅱ）证明：（ⅰ）对数表：，显然．‎ 将数表中的由变为，得到数表，显然．‎ 将数表中的由变为，得到数表，显然．‎ 依此类推，将数表中的由变为，得到数表．‎ 即数表满足：，其余．‎ 所以 ，．‎ 所以 ，其中．‎ ‎【注：数表不唯一】‎ ‎(Ⅲ）证明：用反证法．‎ ‎ 假设存在，其中为奇数，使得．‎ ‎ 因为， ，‎ ‎ 所以，，，，，，，这个数中有个，个．‎ ‎ 令．‎ ‎ 一方面，由于这个数中有个，个，从而． ①‎ ‎ 另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示， 从而． ②‎ ‎①、②相互矛盾，从而不存在，使得． ‎ 即为奇数时，必有．4‎ ‎19．观察（1）‎ ‎(2）‎ 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。‎ ‎【答案】若都不是，且，则 ‎20．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．‎ ‎【答案】（分析法）设圆和正方形的周长为，依题意，圆的面积为，‎ 正方形的面积为．‎ 因此本题只需证明．‎ 要证明上式，只需证明，‎ 两边同乘以正数，得．‎ 因此，只需证明．‎ 上式是成立的，所以．‎ 这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．‎ ‎21．已知：‎ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明。‎ ‎【答案】一般性的命题为 证明：左边 ‎ ‎ ‎ 所以左边等于右边 ‎22．求证：．‎ ‎【答案】由于，，‎ 故只需证明．‎ 只需证，即．‎ 只需证．‎ 因为显然成立，‎ 所以．‎ ‎[来源:学§科§网]‎