河南省2019届“金学导航”大联考 数学（文）试卷（PDF版）

河南省2019届“金学导航”大联考 数学（文）试卷（PDF版）

书书书 【２０１９届高三·数学（文）试题·第 １　　　　页（共 ４页）】 大　 联　 考　 试　 卷 数学（文） （试卷总分 １５０分　考试时间 １２０分钟） 题号 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷 总分 合分人 复分人 得分 第Ⅰ卷（选择题　共 ６０分） 得分 评卷人 一、选择题：本大题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０ 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 题目要求的． １．已知集合 Ａ＝｛ｘ∈Ｚ｜－１≤ｘ＜２｝，则满足条件 Ａ∩Ｂ＝Ｂ的集合 Ｂ 的个数为 （　） 　Ａ．４　　　　　Ｂ．７　　　　　Ｃ．３　　　　　Ｄ．８ ２．已知复数 ｚ＝１－ｉ，则 ｚ２＋｜ｚ｜２在复平面上对应的点在 （　） 　Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 　Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 !"# $ !"# %&$ $ $"% '($ )"$$ &% *+$$ '% ３．国庆节期间，滕州市实验小学举行 了一次科普知识竞赛活动，设置了 一等奖、二等奖、三等奖、四等奖及 纪念奖，获奖人数的分配情况如图 所示，各个奖品的单价分别为：一 等奖 ５０元、二等奖 ２０元、三等奖 １０元，四等奖 ５元，纪念奖 ２元， 则以下说法中不正确 獉獉獉 的是 （　） 　Ａ．获纪念奖的人数最多 　Ｂ．各个奖项中二等奖的总费用最高 　Ｃ．购买奖品的费用平均数为 ６．６５元 　Ｄ．购买奖品的费用中位数为 ５元 ４．给出下列四个结论：①若 ｐ∧ｑ是真命题，则瓙ｐ可能是真命题； ②命题“若 ｐ则 ｑ”与命题“若瓙ｑ，则瓙ｐ”互为逆否命题；③若“瓙ｐ 或 ｑ”是假命题，则“ｐ且瓙ｑ”是真命题；④若 ｐ是 ｑ的充分条件， ｑ是 ｒ的充分条件，则 ｐ是 ｒ的充分条件．其中正确的个数为 （　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ５．已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｅｘ－１，ｘ＞０ －１，ｘ≤{ ０，函数 ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ的一个零点为 ｍ， 令 ｈ（ｘ）＝ｘｍ２－３，则函数 ｈ（ｘ）是 （　） 　Ａ．奇函数且在（０，＋∞）上单调递增 　Ｂ．偶函数且在（０，＋∞）上单调递减 　Ｃ．奇函数且在（０，＋∞）上单调递减 　Ｄ．偶函数且在（０，＋∞）上单调递增 ６．已知双曲线ｘ２ ａ２ －ｙ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左、右顶点为 Ａ，Ｂ，点 Ｐ为双 曲线上异于 Ａ，Ｂ的任意一点，设直线 ＰＡ，ＰＢ的斜率分别为 ｋ１，ｋ２， 若 ｋ１ｋ２＝１ ２，则双曲线的离心率为 （　） Ａ．槡３ ２ Ｂ．２ Ｃ．槡６ ２ Ｄ．３ ２ ! ! !"# $"% &"% ７．如图，是某几何体的三视图，该几何体的轴截 面的面积为 ８，则该几何体的外接球的表面积 为 （　） Ａ．１２５ １２π Ｂ．２５π Ｃ．２５π ２ Ｄ．１００π ８．若函数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２（２π－ωｘ） 槡＋ ３ｓｉｎωｘｃｏｓωｘ ＋３ ２，且 ｆ（α）＝３，ｆ（β）＝２，若 ｜α－β｜的最小值是 π ２，则下列结论 正确的是 （　） 　Ａ．ω＝１，函数 ｆ（ｘ）的最大值为 １ 　Ｂ．ω＝１ ２，函数 ｆ（ｘ）的最大值为 ３ 　Ｃ．ω＝２，函数 ｆ（ｘ）的最大值为 ３ 　Ｄ．ω＝１ ２，函数 ｆ（ｘ）的最大值为 １ ! " #$ % &９．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分 别是 ＢＣ，ＣＤ上的一点，且 →ＢＥ＝１ ３ →ＢＣ， →ＤＦ＝２→ＦＣ，则 →ＡＦ＋→ＤＥ＝ （　） 　Ａ．５ ３ →ＡＢ－１ ３ →ＡＤ 开始 !!" "!" #$%&"!'( "#")""#")! !#!)#$%*" ! 是偶数! 输出 "结束 是 是 否 否 　Ｂ．５ ３ →ＡＢ＋５ ３ →ＡＤ 　Ｃ．４ ３ →ＡＢ－２ ３ →ＡＤ 　Ｄ．５ ３ →ＡＢ＋１ ３ →ＡＤ １０．执行如图所示的程序框图，输出的 结果为 （　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 【２０１９届高三·数学（文）试题·第 ２　　　　页（共 ４页）】 １１．设 Ｇ是△ＡＢＣ的重心，且（ｓｉｎＡ）→ＧＡ＋（ｓｉｎＢ）→ＧＢ＋（ｓｉｎＣ）→ＧＣ＝０， 若△ＡＢＣ外接圆的半径为 １，则△ＡＢＣ的面积为 （　） Ａ． 槡３ ３ ２ Ｂ． 槡３ ３ ４ Ｃ．３ ４ Ｄ．９ １６ １２．各项均为正数的等比数列｛ａｎ｝满足：ａ６ ＝ａ３ａ４，ａ１ａ８ ＝１２８，函数 ｆ（ｘ）＝ａ１ｘ＋ａ２ｘ２ ＋… ＋ａ２０ ｘ２０，若 曲 线 ｙ＝ｆ（ｘ）在 点 （１ ２，ｆ（１ ２））处的切线垂直于直线 ｋｘ－１０５ｙ＋ｍ＝０，则 ｋ＝ （　） Ａ．－１ ２ Ｂ．１ ２ Ｃ．２ Ｄ．－２ 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 第Ⅱ卷（非选择题　共 ９０分） 　　本卷包括必考题和选考题两部分，第 １３～２１题为必考题，每个 试题考生都必须作答，第 ２２～２３题为选考题，考生根据要求作答． 得分 评卷人 二、填空题：本大题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０ 分．把答案填在题中横线上． !!"! #! $! !" $ # １３．已知 ｘ，ｙ满足不等式组 ｙ≤２ｘ ｘ＋ｙ≤３ ｙ≥{ ０ ，则 ｚ＝ｙ－１ ｘ＋１ 的取值范围是　　　　　　　． １４．如图，在长方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，对角线 ＤＢ１与平面 ＡＤＤ１Ａ１，ＡＢＣＤ，ＤＣＣ１Ｄ１ 的夹角分 别为 α，β，θ，且 Ａ１Ｂ１＋ＢＢ１ ＋Ｃ１Ｂ１ ＝８，Ａ１Ｂ２ １ ＋ＢＢ２ １ ＋Ｃ１Ｂ２ １ ＝２４，则 ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎθ＝　　　　　． １５．已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓｘ－ｘ，ｘ≤０ １－ｘ ｘ＋１，ｘ{ ＞０ ，ｇ（ｘ）＝ｌｏｇ３（ｘ２ －３），则不等式 ｆ［（ｇ（ｘ））］＜１的解集为　　　　　． １６．已知圆 Ｃ１：（ｘ－２）２ ＋（ｙ－２）２ ＝４，Ｃ２：（ｘ＋２）２ ＋（ｙ＋１）２ ＝２， 点 Ｐ是圆 Ｃ１上的一个动点，ＡＢ是圆 Ｃ２ 的一条动弦，且 ｜ＡＢ｜＝２， 则｜→ＰＡ＋→ＰＢ｜的最大值是　　　　　． 得分 评卷人 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤． １７．（１２分）已知数列｛ａｎ｝的前 ｎ项和为 Ｓｎ，且 Ｓｎ＝２ｎ２＋３ｎ（ｎ∈Ｎ ）， 数列｛ｂｎ｝满足：ａｎｂｎ＝４ｎ２＋ｎ（ｎ∈Ｎ）． 　（１）求数列｛ｂｎ｝的通项公式； 　（２）设数列｛ｂｎ｝的前 ｎ项和为 Ｔｎ，当 Ｔｎ＞４５时，求 ｎ的最小值． １８．（１２分）如图，四边形 ＡＢＣＤ是矩形，ＡＢ＝２π，ＡＤ＝４，Ｅ，Ｆ分别为 ＤＣ，ＡＢ上的一点，且 ＤＥ＝２ ３ＤＣ，ＡＦ＝２ ３ＡＢ，将矩形 ＡＢＣＤ卷成 以 ＡＤ，ＢＣ为母线的圆柱的半个侧面，且 ＡＢ，ＣＤ分别为圆柱的 上、下底面的直径． 　（１）求证：平面 ＡＤＥＦ⊥平面 ＢＣＥＦ； 　（２）求四棱锥 Ｄ－ＢＣＥＦ的体积． ! " #$ % & ! " #& $ % 【２０１９届高三·数学（文）试题·第 ３　　　　页（共 ４页）】 １９．（１２分）滕州市公交公司一切为了市民着想，为方便市区学生的 上下学，专门开通了学生公交专线，在学生上学、放学的时间段运 行，为了更好地掌握发车间隔时间，公司工作人员对滕州二中车 站发车间隔时间与侯车人数之间的关系进行了调查研究，现得到 如下数据： 间隔时间 ｘ（分钟） １０ １１ １３ １２ １５ １４ 侯车人数 ｙ（人） ２３ ２５ ２９ ２６ ３１ ２８ 调查小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 ２组，用剩下 的 ４组数据求线性回归方程，再用被选取的 ２组数据进行检验． 　（１）求选取的 ２组数据不相邻的概率； 　（２）若选取的是前两组数据，请根据后四组数据，求出 ｙ关于 ｘ的 线性回归方程 ) ｙ＝ ) ｂｘ＋ ) ａ； 　（３）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误 差均不超过 １人，则称为最佳回归方程，在（２）中求出的回归 方程是否是最佳回归方程？若规定一辆公交车的载客人数不 超过 ３５人，则间隔时间设置为 １８分钟，是否合适？ 参考公式：) ｂ＝ ∑ ｎ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－ｎｘｙ ∑ ｎ ｉ＝１ ｘ２ ｉ－ｎｘ２ ＝ ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ） ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）２ ，) ａ＝ｙ－ ) ｂｘ． ２０．（１２分）已知椭圆 Ｃ：ｘ２ ａ２ ＋ｙ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点为 Ｆ１，Ｆ２， 上、下顶点为 Ｂ１，Ｂ２，四边形 Ｂ１Ｆ２Ｂ２Ｆ１是面积为 ２的正方形． 　（１）求椭圆的标准方程； 　（２）已知点 Ｐ（２，０），过点 Ｆ２ 的直线 ｌ与椭圆交于 Ｍ，Ｎ两点，求 证：∠ＭＰＦ２＝∠ＮＰＦ２． 【２０１９届高三·数学（文）试题·第 ４　　　　页（共 ４页）】 ２１．（１２分）已知函数 ｆ（ｘ）＝１ ２ａｘ２＋２ｘ（ａ≠０），ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ． 　（１）令 ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ），若曲线 ｙ＝ｈ（ｘ）在点（１，ｈ（１））处的切 线的纵截距为 －２，求 ａ的值； 　（２）设 ａ＞０，若方程 ｇ（ｘ）＝ｘｆ′（ｘ）－（２ａ＋１）ｘ在区间（１ ｅ，ｅ）内 有且只有两个不相等的实数根，求实数 ａ的取值范围． 　　请考生在第 ２２、２３题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分． ２２．（１０分）【选修 ４－４　坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，直线 ｌ的参数方程为 ｘ＝－２＋ｔｃｏｓα ｙ＝ｔｓｉｎ{ α （ｔ为 参数），以坐标原点 Ｏ为极点，ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 Ｃ的极坐标方程为 ρ＝１． 　（１）若直线 ｌ与圆 Ｃ相切，求 α的值； 　（２）直线 ｌ与圆 Ｃ相交于不同两点 Ａ，Ｂ，线段 ＡＢ的中点为 Ｑ，求点 Ｑ的轨迹的参数方程． ２３．（１０分）【选修 ４－５　不等式选讲】 已知不等式｜ｘ＋３｜≥２ａ＋ｂ＋ｃ，ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ． 　（１）当 ２ａ＋ｂ＝２，ｃ＝｜ｘ＋１｜时，解不等式｜ｘ＋３｜≥２ａ＋ｂ＋ｃ； 　（２）当 ａ２ ＋ｂ２ ＋ｃ２ ＝６时，不等式 ｜ｘ＋３｜≥２ａ＋ｂ＋ｃ对所有实数 ａ，ｂ，ｃ都成立，求实数 ｘ的取值范围． 　　你选做的题目是　　　题（填 ２２、２３） 答案： 书书书 １　　　　数学（文）　金学导航·大联考 金学导航·大联考·数学（文） 参考答案 １．Ｄ（解析：Ａ＝｛ｘ∈Ｚ｜－１≤ｘ＜２｝＝｛－１，０，１｝， ∵Ａ∩Ｂ＝Ｂ，∴ＢＡ，∵集合 Ａ有 ３个元素，∴其子 集有 ８个，故选 Ｄ．） ２．Ｄ（解析：∵ｚ＝１－ｉ，∴ｚ２ ＋｜ｚ｜２ ＝（１－ｉ）２ ＋ （槡２）２＝２－２ｉ，则 ｚ２＋｜ｚ｜２ 在复平面上对应的点在 第四象限，故选 Ｄ．） ３．Ｂ（解析：设参加竞赛的人数为 ａ人，由扇形统计 图可知，一等奖占 ２％，二等奖占 ８％，三等奖占 １５％，四等奖占 ３５％，获得纪念奖的人数占 ４０％， 最多，Ａ正确；各奖项的费用：一等奖 ２％ａ×５０＝ａ， 二等奖 ８％ ａ×２０＝１．６ａ，三等奖 １５％ ａ×１０＝ １．５ａ，四等奖 ３５％ａ×５＝１．７５ａ，纪念奖 ４０％ａ×２ ＝０．８ａ，Ｂ错误；平均费用为 ５０×２％ ＋２０×８％ ＋ １０×１５％ ＋５×３５％ ＋２×４０％ ＝６．６５元，Ｃ正确； 由各个获奖的人数的比例知，购买奖品的费用的中 位数为 ５元，Ｄ正确，故选 Ｂ．） ４．Ｃ（解析：若 ｐ∧ｑ是真命题，则 ｐ，ｑ都是真命题， ∴瓙ｐ是假命题，①错误；由逆否命题的定义可得， ②正确；若“瓙ｐ或 ｑ”是假命题，则瓙ｐ，ｑ都是假命 题，∴ｐ，瓙ｑ都是真命题，③正确；④显然正确，故 选 Ｃ．） ５．Ｂ（解析：函数 ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ的零点，即为ｆ（ｘ） ＝ｘ的根，由 ｘ＞０ ｅｘ－１＝{ ｘ 或 ｘ≤０ －１＝{ ｘ 解得，ｘ＝１或 ｘ＝ －１，即 ｍ＝±１，则 ｈ（ｘ）＝ｘ－２，∴函数 ｈ（ｘ）是偶函 数且在（０，＋∞）上单调递减，故选 Ｂ．） ６．Ｃ（解析：由题设知，Ａ（－ａ，０），Ｂ（ａ，０），设 Ｐ（ｘ，ｙ）， 则 ｋ１＝ ｙ ｘ＋ａ，ｋ２ ＝ ｙ ｘ－ａ，∴ｋ１ｋ２ ＝ ｙ ｘ＋ａ× ｙ ｘ－ａ＝ ｙ２ ｘ２－ａ２ ＝１ ２，∵Ｐ（ｘ，ｙ）点在双曲线上，∴ｙ２＝ｂ２ ａ２（ｘ２－ａ２），则 ｂ２ ａ２（ｘ２－ａ２） ｘ２－ａ２ ＝１ ２，化简得，２ｂ２ ＝ａ２，又 ｂ２ ＝ｃ２ －ａ２， ∴２ｃ２＝３ａ２，则 ｅ＝槡６ ２，故选 Ｃ．） ７．Ｂ（解析：由三视图知，该几何体是一个圆锥，底 面半径为 ｒ＝２，设圆锥的高为 ｈ，则轴截面的面积 为 Ｓ＝１ ２×４ｈ＝８，∴ｈ＝４，设圆锥的外接球的半径 为 Ｒ，则由题意得，｜ｈ－Ｒ｜２ ＋ｒ２ ＝Ｒ２，即 ｜４－Ｒ｜２ ＋ ２２＝Ｒ２，解得，Ｒ＝５ ２，∴外接球的表面积为 Ｓ＝ ４πＲ２＝２５π，故选 Ｂ．） ８．Ｂ（解析：ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２（２π－ωｘ） 槡＋ ３ｓｉｎωｘｃｏｓωｘ＋ ３ ２＝ｓｉｎ２ωｘ＋槡３ ２ｓｉｎ２ωｘ＋３ ２＝槡３ ２ｓｉｎ２ωｘ－１ ２ｃｏｓ２ωｘ ＋２＝ｓｉｎ（２ωｘ－π ６）＋２，∵ｆ（α）＝３，ｆ（β）＝２， 且｜α－β｜的最小值是 π ２，∴周期为 ２π，则 ２π ２ω＝２π， ∴ω＝１ ２，则 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ－π ６）＋２，∴ｆ（ｘ）的最大 值为 ３，故选 Ｂ．） ９．Ｄ（解析：∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，且 →ＤＦ＝ ２→ＦＣ，∴ →ＡＦ＝→ＡＤ＋→ＤＦ＝→ＡＤ＋２ ３ →ＤＣ＝→ＡＤ＋２ ３ →ＡＢ，又 →ＢＥ＝１ ３ →ＢＣ，∴ →ＤＥ＝→ＤＣ＋→ＣＥ＝→ＡＢ＋２ ３ →ＣＢ＝→ＡＢ－ ２ ３ →ＡＤ，则 →ＡＦ＋ →ＤＥ＝→ＡＢ－２ ３ →ＡＤ＋ →ＡＤ＋２ ３ →ＡＢ＝ ５ ３ →ＡＢ＋１ ３ →ＡＤ，故选 Ｄ．） １０．Ｄ（解析：由程序框图知，ｋ＝１，ｘ＝１ｌｏｇ２ｘ＝０， 否ｘ＝１＋１＝２，ｌｏｇ２ｘ＝１＞０，是ｘ＝２＋１＝３， ｋ＝１＋ｌｏｇ３３＝２，是ｘ＝１ｌｏｇ２ｘ＝０，否ｘ＝１＋１ ＝２，ｌｏｇ２ｘ＝１＞０，是ｘ＝２＋２＝４，ｋ＝２＋ｌｏｇ３４， 否，输出 ｘ＝４，故选 Ｄ．） １１．Ｂ（解析：∵Ｇ是△ＡＢＣ的重心，∴ →ＧＡ＋→ＧＢ＋→ＧＣ ＝０，则 →ＧＡ ＝ － →ＧＢ － →ＧＣ，代 入 （ｓｉｎＡ）→ＧＡ ＋ （ｓｉｎＢ）→ＧＢ＋（ｓｉｎＣ）→ＧＣ＝０得，（ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢ）→ＧＢ＋ （ｓｉｎＡ－ｓｉｎＣ）→ＧＣ＝０，∵ →ＧＢ· →ＧＣ不共线，∴ｓｉｎＡ－ ｓｉｎＢ＝０且 ｓｉｎＡ－ｓｉｎＣ＝０，即 ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＣ， ∴△ＡＢＣ是等边三角形，又△ＡＢＣ外接圆的半径为 １，∴ 由 正 弦 定 理 得， ａ ｓｉｎ６０°＝２Ｒ＝２，则 ａ 槡＝ ３， ∴Ｓ△ＡＢＣ ＝槡３ ４ａ２＝ 槡３ ３ ４，故选 Ｂ．） ２　　　　数学（文）　金学导航·大联考 １２．Ａ（解析：设数列｛ａｎ｝的公比为 ｑ，由 ａ６ ＝ａ３ａ４， ａ１ａ８＝１２８得， ａ１ｑ５＝ａ１ｑ２·ａ１ｑ３ ａ１·ａ１ｑ７{ ＝１２８ ，解得，ａ１ ＝１，ｑ＝ ２，∴ａｎ ＝２ｎ－１，∵ｆ（ｘ）＝ａ１ｘ＋ａ２ｘ２ ＋… ＋ａ２０ｘ２０， ∴ｆ′（ｘ）＝ａ１＋２ａ２ｘ＋… ＋２０ａ２０ｘ１９，则 ｆ′（１ ２）＝ ａ１＋２ａ２· １ ２＋… ＋２０ａ２０（１ ２）１９，∵ａｎ·（１ ２）ｎ－１ ＝ ２ｎ－１×（１ ２）ｎ－１＝１，∴ｆ′（１ ２）＝ａ１＋２ａ２· １ ２＋… ＋ ２０ａ２０（１ ２）１９＝１＋２＋… ＋２０＝２０（１＋２０） ２ ＝２１０，由 题设知，ｋ １０５×２１０＝－１，∴ｋ＝－１ ２，故选 Ａ．） ! " # !$"!" "!#! %!$"## &!%$"$$ １３．［－１，１ ２］（解析：作出 不等式组 ｙ≤２ｘ ｘ＋ｙ≤３ ｙ≥{ ０ 所表示 的平面区域，如图所示，ｚ＝ ｙ－１ ｘ＋１的最大值即为直线 ＢＡ 的斜率 １ ２，最小值为直线 ＢＯ的斜率 －１，故取值范 围是［－１，１ ２］．） １４． 槡２ ６ ３ （解析：连结 ＤＡ１，ＤＢ，ＤＣ１，由长方体的性质 知，∠Ａ１ＤＢ１ ＝α，∠ＢＤＢ１ ＝β，∠Ｃ１ＤＢ１ ＝θ，∵Ａ１Ｂ２ １ ＋ＢＢ２ １ ＋Ｃ１Ｂ２ １ ＝２４，∴ＤＢ１ 槡＝ ２４，∴ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＋ ｓｉｎθ＝Ａ１Ｂ１ ＤＢ１ ＋ＢＢ１ ＤＢ１ ＋Ｃ１Ｂ１ ＤＢ１ ＝Ａ１Ｂ１＋ＢＢ１＋Ｃ１Ｂ１ ＤＢ１ ＝ ８ 槡２４ ＝ 槡２ ６ ３ ．） １５．（－∞，－２）∪ （２，＋∞）（解 析：∵ ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓｘ－ｘ，ｘ≤０ １－ｘ ｘ＋１，ｘ{ ＞０ ，∴ ｆ′（ｘ） ＝ －ｓｉｎｘ－１，ｘ≤０ －２ （ｘ＋１）２，ｘ{ ＞０， 则 ｆ′（ｘ）≤０，∴ｆ（ｘ）在 Ｒ上单调递减，又 ｆ（０）＝１， ∴不等式 ｆ［ｇ（ｘ）］＜１即为 ｆ［ｇ（ｘ）］＜ｆ（０）， 则 ｇ（ｘ）＞０，即 ｌｏｇ３（ｘ２－３）＞０，∴ｘ２ －３＞１，解得， ｘ＞２或 ｘ＜－２，∴不等式 ｆ［ｇ（ｘ）］＜１的解集为 （－∞，－２）∪（２，＋∞）．） １６．１６（解析：由题设知，圆 Ｃ１ 的圆心为 Ｃ１（２，２）， 半径为 ２，圆 Ｃ２的圆心为 Ｃ２（－２，－１），半径为槡２， 过 Ｃ２作 Ｃ２Ｄ⊥ＡＢ交 ＡＢ于 Ｄ，则 Ｄ为 ＡＢ的中点， 且｜Ｃ２Ｄ｜＝ （槡２）２－１槡 ２ ＝１，∴ 点 Ｄ的轨迹为 圆 Ｃ３：（ｘ＋２）２＋（ｙ＋１）２ ＝１，其圆心为 Ｃ３（－２，－１）， 半径为 １，由向量的平行四边形法则知，｜→ＰＡ＋→ＰＢ｜＝ ｜２→ＰＤ｜，∵｜Ｃ１Ｃ３｜＝５＞２＋１＝３，∴圆 Ｃ１ 与圆 Ｃ３ 外 离，则｜→ＰＤ｜的最大值为 ５＋２＋１＝８，｜→ＰＡ＋→ＰＢ｜的最 大值是 １６．） １７．解：（１）∵Ｓｎ＝２ｎ２＋３ｎ， ∴当 ｎ＝１时，ａ１＝Ｓ１＝５， 当 ｎ≥２时，ａｎ ＝Ｓｎ －Ｓｎ－１ ＝２ｎ２ ＋３ｎ－２（ｎ－１）２ － ３（ｎ－１）＝４ｎ＋１， ａ１＝５也满足，∴ａｎ＝４ｎ＋１； （３分）!!!!!! ∵ａｎｂｎ＝４ｎ２＋ｎ，∴ｂｎ＝４ｎ２＋ｎ ａｎ ＝４ｎ２＋ｎ ４ｎ＋１＝ｎ， 故数列｛ｂｎ｝的通项公式为 ｂｎ＝ｎ； （６分）!!!! （２）由（１）知，ｂｎ＝ｎ，∴Ｔｎ＝ｂ１＋ｂ２＋… ＋ｂｎ ＝１＋２＋３＋… ＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１） ２ ， （９分）!!!! 由 Ｔｎ＞４５得，ｎ（ｎ＋１） ２ ＞４５，即 ｎ２＋ｎ－９０＞０， ∴ｎ＞９或 ｎ＜－１０（舍去）， 故当 Ｔｎ＞４５时，ｎ的最小值为 １０． （１２分）!!! １８．（１）证明：∵Ｆ在下底面圆周上，且 ＡＢ为下底 面半圆的直径，∴ＡＦ⊥ＢＦ， 由题设知，ＥＦ∥ＡＤ，又 ＡＤ为圆柱的母线， ∴ＥＦ垂直于圆柱的底面， （３分）!!!!!!! 则 ＥＦ⊥ＢＦ，又 ＡＦ∩ＥＦ＝Ｆ，∴ＢＦ⊥平面 ＡＤＥＦ， ∵ＢＦ平面 ＢＣＥＦ，∴平面 ＡＤＥＦ⊥平面 ＢＣＥＦ； （５分）!!!!!!!!!!!!!!!! （２）解：设圆柱的底面半径为 ｒ， 由题设知，πｒ＝２π，∴ｒ＝２，则 ＣＤ＝４， ∵ＤＥ＝２ ３ＤＣ，ＡＦ＝２ ３ＡＢ，∴∠ＣＤＥ＝３０°， 又 ＤＥ⊥ＣＥ，∴ＣＥ＝１ ２ＣＤ＝２，ＤＥ 槡＝２ ３， （８分） !!! !!!!!!!!!!!!!!!! ３　　　　数学（文）　金学导航·大联考 由（１）知，ＤＥ⊥平面 ＢＣＥＦ， ∴ＤＥ为四棱锥 Ｄ－ＢＣＥＦ的高， 又 ＡＤ＝ＢＣ＝４， ∴ＶＤ－ＢＣＥＦ ＝１ ３ＳＢＣＥＦ·ＤＥ＝１ ３·ＢＣ·ＣＥ·ＤＥ ＝１ ３ 槡×４×２×２ ３＝ 槡１６ ３ ３ ． （１２分）!!!!!! １９．解：（１）设抽到不相邻两组的数据为事件 Ａ， 设这 ６组数据分别为 １，２，３，４，５，６，从中选取 ２组 数据共有：１２，１３，１４，１５，１６，２３，２４，２５，２６，３４，３５， ３６，４５，４６，５６共 １５种情况， 其中，抽到相邻数据的情况有：１２，２３，３４，４５，５６共 ５种情况， ∴Ｐ（Ａ）＝１－５ １５＝２ ３； （４分）!!!!!!!! （２）后四组数据是： 间隔时间 ｘ（分钟） １３ １２ １５ １４ 侯车人数 ｙ（人） ２９ ２６ ３１ ２８ ∴ｘ＝１３＋１２＋１５＋１４ ４ ＝１３．５， ｙ＝２９＋２６＋３１＋２８ ４ ＝２８．５， 又∑ ４ ｉ＝１ ｘｉｙｉ＝１３×２９＋１２×２６＋１５×３１＋１４×２８＝ １５４６， ∑ ｎ ｉ＝１ ｘ２ ｉ＝１３２＋１２２＋１５２＋１４２＝７３４， （７分）!!! ∴ ) ｂ＝ ∑ ｎ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－ｎｘｙ ∑ ｎ ｉ＝１ ｘ２ ｉ－ｎｘ２ ＝１５４６－４×１３．５×２８．５ ７３４－４×１３．５２ ＝１．４， 则 ) ａ＝ｙ－ ) ｂｘ＝２８．５－１．４×１３．５＝９．６， ∴ｙ关于 ｘ的线性回归方程为 ) ｙ＝１．４ｘ＋９．６； （９分） ! !!!!!!!!!!!!!!!! （３）由（２）知，当 ｘ＝１０时，) ｙ＝２３．６， ∴｜２３．６－２３｜＜１， 当 ｘ＝１１时，) ｙ＝２５，∴｜２５－２５｜＜１， ∴求出的回归方程是最佳回归方程； 当 ｘ＝１８时，) ｙ＝１．４×１８＋９．６＝３４．８， ∵３４．８＜３５，∴间隔时间设置为 １８分钟合适． （１２分） ! !!!!!!!!!!!!!!!! ２０．（１）解：∵四边形 Ｂ１Ｆ２Ｂ２Ｆ１ 是面积为 ２的正方 形，∴ ａ２＝２ ２ｂ＝２{ ｃ ， （２分）!!!!!!!!!!! 又 ａ２＝ｂ２＋ｃ２，∴ｂ＝ｃ＝１， 则椭圆 Ｃ的标准方程是ｘ２ ２＋ｙ２＝１； （４分）!!! （２）证明：由（１）知，Ｆ２（１，０）， 当直线 ｌ的斜率不存在时，ｌ⊥ｘ轴， 则点 Ｍ，Ｎ关于 ｘ轴对称， 此时有，∠ＭＰＦ２＝∠ＮＰＦ２； （６分）!!!!!! 当直线 ｌ的斜率存在时， 设直线 ｌ的方程为 ｙ＝ｋ（ｘ－１）， 联立 ｙ＝ｋ（ｘ－１） ｘ２ ２＋ｙ２{ ＝１ 消去 ｙ得， （２ｋ２＋１）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２ｋ２－２＝０， 设 Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２）， 则 ｘ１＋ｘ２＝ ４ｋ２ ２ｋ２＋１，ｘ１ｘ２＝２ｋ２－２ ２ｋ２＋１， （８分）!!! ∵Ｐ（２，０），∴ｋＭＰ ＋ｋＮＰ ＝ ｙ１ ｘ１－２＋ ｙ２ ｘ２－２ ＝ｋ（ｘ１－１）（ｘ２－２）＋ｋ（ｘ２－１）（ｘ１－２） （ｘ１－２）（ｘ２－２） ＝２ｋｘ１ｘ２－３ｋ（ｘ１＋ｘ２）＋４ｋ ｘ１ｘ２－２（ｘ１＋ｘ２）＋４ ＝ ２ｋ×２ｋ２－２ ２ｋ２＋１－３ｋ× ４ｋ２ ２ｋ２＋１＋４ｋ ２ｋ２－２ ２ｋ２＋１－２× ４ｋ２ ２ｋ２＋１＋４ ＝０， 即 ｋＭＰ ＝－ｋＮＰ，∴∠ＭＰＦ２＝∠ＮＰＦ２． （１２分）!! ２１．解：（１）由题设知， ｈ（ｘ）＝１ ２ａｘ２＋２ｘ－ｌｎｘ，ｘ＞０， 则 ｈ′（ｘ）＝ａｘ＋２－１ ｘ＝ａｘ２＋２ｘ－１ ｘ ； （１分）!! ∴ｈ′（１）＝ａ＋１，又 ｈ（１）＝１ ２ａ＋２， ∴切点为（１，１ ２ａ＋２）， 则切线方程为 ｙ－１ ２ａ－２＝（ａ＋１）（ｘ－１）， ４　　　　数学（文）　金学导航·大联考 令 ｘ＝０，则 ｙ＝－１ ２ａ＋１， 由题设知，－１ ２ａ＋１＝－２， ∴ａ＝６； （４分）!!!!!!!!!!!!!! （２）∵ｆ（ｘ）＝１ ２ａｘ２＋２ｘ，∴ｆ′（ｘ）＝ａｘ＋２， 则方程 ｇ（ｘ）＝ｘｆ′（ｘ）－（２ａ＋１）ｘ， 即为 ｌｎｘ＝ａｘ２＋２ｘ－（２ａ＋１）ｘ， 即为 ａｘ２＋（１－２ａ）ｘ－ｌｎｘ＝０； 令 Ｈ（ｘ）＝ａｘ２ ＋（１－２ａ）ｘ－ｌｎｘ，于是原方程在区 间（１ ｅ，ｅ）内根的问题，转化为函数 Ｈ（ｘ）在（１ ｅ，ｅ） 内的零点问题； （６分）!!!!!!!!!!! ∵Ｈ′（ｘ）＝２ａｘ＋（１－２ａ）－１ ｘ ＝２ａｘ２＋（１－２ａ）ｘ－１ ｘ ＝（２ａｘ＋１）（ｘ－１） ｘ ； ∵ａ＞０，∴当 ｘ∈（０，１）时， Ｈ′（ｘ）＜０，Ｈ（ｘ）是减函数， 当 ｘ∈（１，＋∞）时，Ｈ′（ｘ）＞０，Ｈ（ｘ）是增函数， （９分） ! !!!!!!!!!!!!!!!! 若使 Ｈ（ｘ）在（１ ｅ，ｅ）内有且只有两个不相等的零点， 只需 Ｈ（１ ｅ）＝ ａ ｅ２ ＋１－２ａ ｅ ＋１＝（１－２ｅ）ａ＋ｅ２＋ｅ ｅ２ ＞０ Ｈｍｉｎ（ｘ）＝Ｈ（１）＝ａ＋（１－２ａ）＝１－ａ＜０ Ｈ（ｅ）＝ａｅ２＋（１－２ａ）ｅ－１＝（ｅ２－２ｅ）ａ＋（ｅ－１） { ＞０ 即可， 解得，１＜ａ＜ｅ２＋ｅ ２ｅ－１， 即 ａ的取值范围是（１，ｅ２＋ｅ ２ｅ－１）． （１２分）!!!! ２２．解：（１）∵圆 Ｃ的极坐标方程为 ρ＝１， ∴Ｃ的直角坐标方程为 ｘ２＋ｙ２＝１， 圆心为（０，０），半径为 ｒ＝１； ∵直线 ｌ过点 Ｐ（－２，０），倾斜角为 α， ∴当 α＝π ２时，不合题意， （２分）!!!!!!! 当 α≠ π ２时，斜率为 ｋ＝ｔａｎα， 则直线的方程为 ｙ＝ｋ（ｘ＋２）， 即 ｋｘ－ｙ＋２ｋ＝０，∵直线 ｌ与圆 Ｃ相切， ∴ ｜２ｋ｜ ｋ２槡 ＋１ ＝１，解得，ｋ＝±槡３ ３， 即 ｔａｎα＝±槡３ ３，∴α＝π ６或 α＝５π ６； （５分）!!! （２）∵直线 ｌ与圆 Ｃ相交于不同两点 Ａ，Ｂ， ∴由（１）知，α∈［０，π ６）∪（５π ６，π）， 设 Ａ，Ｂ，Ｑ对应的参数分别为 ｔＡ，ｔＢ，ｔＱ， 则 ｔＱ ＝ｔＡ＋ｔＢ ２ ， （７分）!!!!!!!!!!!! 将 ｘ＝－２＋ｔｃｏｓα ｙ＝ｔｓｉｎ{ α 代入 ｘ２＋ｙ２＝１得， ｔ２－４ｔｃｏｓα＋３＝０， 则 ｔＡ＋ｔＢ ＝４ｃｏｓα，∴ｔＱ ＝２ｃｏｓα， 又点 Ｑ的坐标（ｘ，ｙ）满足 ｘ＝－２＋ｔＱｃｏｓα ｙ＝ｔＱｓｉｎ{ α ， 即 ｘ＝－２＋２ｓｉｎ２α ｙ＝２ｃｏｓαｓｉｎ{ α ， 故点 Ｑ的轨迹的参数方程是 ｘ＝－１＋ｃｏｓ２α ｙ＝ｓｉｎ２{ α （α为 参数，α∈［０，π ６）∪（５π ６，π））． （１０分）!!!! ２３．解：（１）当 ２ａ＋ｂ＝２，ｃ＝｜ｘ＋１｜时， 不等式｜ｘ＋３｜≥２ａ＋ｂ＋ｃ为｜ｘ＋３｜≥２＋｜ｘ＋１｜， 当 ｘ≤ －３时，－ｘ－３≥２－ｘ－１，－３≥１，无解； （２分） ! !!!!!!!!!!!!!!!! 当 －３＜ｘ＜－１时，ｘ＋３≥２－ｘ－１，ｘ≥ －１，无解； 当 ｘ≥ －１时，ｘ＋３≥２＋ｘ＋１，３≥３，∴ｘ≥ －１； 综上，不等式的解集为｛ｘ｜ｘ≥ －１｝； （５分）!!! （２）由柯西不等式得， （２ａ＋ｂ＋ｃ）２≤（２２＋１２＋１２）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）， ∵ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝６，∴（２ａ＋ｂ＋ｃ）２≤３６， （７分）! 则 ２ａ＋ｂ＋ｃ≤６；∵不等式 ｜ｘ＋３｜≥２ａ＋ｂ＋ｃ对所 有实数 ａ，ｂ，ｃ都成立， ∴｜ｘ＋３｜≥６，∴ｘ＋３≥６或 ｘ＋３≤ －６， 则 ｘ≥３或 ｘ≤ －９， 故实数 ｘ的取值范围是：（－∞，－９］∪［３，＋∞）． （１０分）!!!!!!!!!!!!!!!!