高考数学一轮复习精品题集之解三角形

高考数学一轮复习精品题集之解三角形

解三角形 必修 5 第 1 章 解三角形 §1.1 正弦定理、余弦定理 重难点：理解正、余弦定理的证明，并能解决一些简单的三角形度量问题． 考纲要求：①掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 经典例题：半径为 R 的圆外接于△ABC，且 2R(sin2A-sin2C)＝( 3 a-b)sinB． (1)求角 C； (2)求△ABC 面积的最大值． 当堂练习： 1．在△ABC 中，已知 a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= ( ) (A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或 15° 2 在△ABC 中，若 a=2, b=2 2 , c= 6 + 2 ,则∠A 的度数是 ( ) (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 3．在△ABC 中，已知三边 a、b、c 满足(a+b+c)·(a+b－c)=3ab, 则∠C=( ) (A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60° 4．边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) (A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150° 5．在△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) (A) 有 一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定 6．在平行四边形 ABCD 中，AC= 3 BD, 那么锐角 A 的最大值为 ( ) (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 7. 在△ABC 中，若 cos 2 a A = cos 2 b B = cos 2 c C ，则△ABC 的形状是 ( ) (A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形 8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ） (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定 9．在△ABC 中，若 a=50，b=25 6 , A=45°则 B= . 10．若平行四边形两条邻边的长度分别是 4 6 cm 和 4 3 cm，它们的夹角是 45°， 则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 . 11.在等腰三角形 ABC 中，已知 sinA∶sinB=1∶2，底边 BC=10，则△ABC 的周长 是 。 12．在△ABC 中，若∠B=30°, AB=2 3 , AC=2, 则△ABC 的面积是 . 13．在锐角三角形中，边 a、b 是方程 x2－2 3 x+2=0 的两根，角 A、B 满足 2sin(A+B) － 3 =0，求角 C 的度数，边 c 的长度及△ABC 的面积。 14．在△ABC 中，已知边 c=10, 又知cosA cosB =b a =4 3 ，求 a、b 及△ABC 的内切圆的半径。 15．已知在四边形 ABCD 中，BC＝a，DC=2a，四个角 A、B、C、D 度数的比为 3∶7∶4∶ 10，求 AB 的长。 16．在△ABC 中，已知角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，边 c=7 2 ，且 tanA+tanB= 3 tanA·tanB－ 3 ，又△ABC 的面积为 S△ABC=3 3 2 ，求 a+b 的值。 必修 5 第 1 章 解三角形 §1.2 正弦定理、余弦定理及其应用 考纲要求：①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算 有关的实际问题． 1. 有一长为 1 公里的斜坡，它的倾斜角为 20°，现要将倾斜角改为 10°，则坡底要 伸长 （ ） A. 1 公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里 2. 已 知 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 x2+x+1,x2 － 1 和 2x+1(x ＞ 1) ， 则 最 大 角 为 （ ） B. 120° C. 60° D. 75° 3．在△ABC 中， ABBA 22 sintansintan  ，那么△ABC 一定是 （ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．在△ABC 中，一定成立的等式是 ( ) A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB C.asinB=bsinA D.acosB=bcosA 5 ． 在 △ ABC 中 ， A 为锐角， lgb+lg( c 1 )=lgsinA= － lg 2 , 则 △ ABC 为 （ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 6 ．在△ ABC 中，  70,50sin2,10sin4 Cba ，则△ ABC 的 面 积 为 （ ） A. 8 1 B. 4 1 C. 2 1 D. 1 7．若 c C b B a A coscossin  则△ABC 为 （ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．有一个内角为 30°的直角三角形 D．有一个内角为 30°的等腰三角形 8．边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和的 （ ） A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 9．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ ） A．b = 10，A = 45°，B = 70° B．a = 60，c = 48，B = 100° C．a = 7，b = 5，A = 80° D．a = 14，b = 16，A = 45° 10．在三角形 ABC 中,已知 A 60 ,b=1,其面积为 3 ,则 sin sin sin abc ABc   为 ( ) A.33 B. 2 39 3 C. 26 3 3 D. 39 2 11．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差 等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离 1d 与第 二辆车与第三辆车的距离 2d 之间的关系为 （ ） A. 21 dd  B. 21 dd  C. 21 dd  D. 不能确定大小 12．在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、60°，则塔高 为（ ） A. 3 400 米 B. 3 3400 米 C. 200 3 米 D. 200 米 13. 在△ABC 中，若 210c ，  60C ， 3 320a ，则 A ． 14. 在△ABC 中，B=1350，C=150，a=5，则此三角形的最大边长为 . 15. 在锐角△ABC 中，已知 BA 2 ，则的 b a 取值范围是 ． 16. 在△ABC 中，已知 AB=4，AC=7，BC 边的中线 7 2AD  ，那么 BC= . 17. 已知锐角三角形的三边长分别为 2、3、 x ，则 x 的取值范围是 ． 18. 在△ABC 中，已知 2 1tan A ， 3 1tan B ，则其最长边与最短边的比为 ． 19．为了测量上海东方明珠的高度，某人站在 A 处测得塔尖的仰角为75.5 ，前进 38.5m 后，到达 B 处测得塔尖的仰角为80.0 .试计算东方明珠塔的高度（精确到 1m）. 20．在 ABC 中，已知 )sin()()sin()( 2222 BAbaBAba  ，判定 的 形状． 21.在△ABC 中，最大角 A 为最小角 C 的 2 倍 ，且三边 a、b、c 为三个连续整数，求 a、b、c 的值. 22.在△ABC 中，若 2 2 29 9 19 0a b c   ，试求 tan tan (tan tan )tan AB A B C 的值． 23． 如图，已知 O 的半径为 1，点 C 在直径 AB 的 延长线上，BC＝1，点 P 是 上半圆上的一个动点， 以 PC 为边作正三角形 PCD，且点 D 与圆心分别在 PC 两侧. （1）若 POB ，试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成 的函数； （2）求四边形 OPDC 面积的最大值. 参考答案 第 1 章 解三角形 §1.1 正弦定理、余弦定理 经典例题：解：(1)∵ RC c B b A a 2sinsinsin  R bBR cCR aA 2sin,)2(sin,)2(sin 2222  ∵ 2R(sin2A-sin2C) ＝ ( 3 a － b)sinB ∴ 2R［( R a 2 )2-( R c 2 )2］＝( 3 a-b)· R b 2 ∴ a2-c2＝ 3 ab-b2 ∴ 2 3 2 222  ab cba ∴ cosC＝ 2 3 ，∴ C＝30° (2)∵ S＝ 2 1 absinC＝ ·2RsinA·2RsinB·sinC＝R2sinAsinB ＝- 2 2R ［cos(A＋B)-cos(A-B)］＝ 2 2R ［cos(A-B)＋cosC］ ＝ ［cos(A-B)＋ 2 3 ］ 当 cos(A-B)＝1 时，S 有最大值 2 2 4 32)2 31(2 RR  ．， 当堂练习： 1.D; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.C; 7.B; 8.A; 9. 60°或 120°; 10. 4 15 cm 和 4 3 cm; 11.50; 12. 2 3 或 3 ; 13、解：由 2sin(A+B)－ 3 =0，得 sin(A+B)= 3 2 , ∵△ABC 为锐角三角形 ∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b 是方程 x2－2 3 x+2=0 的两根，∴a+b=2 3 , a·b=2, ∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6, ∴c= 6 , S△ABC=1 2 absinC=1 2 ×2× 3 2 = 3 2 . 14．解：由cosA cosB =b a ，sinB sinA =b a ,可得 cosA cosB =sinB sinA ，变形为 sinAcosA=sinBcosB ∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π －2B, ∴A+B= 2  . ∴△ABC 为直角三角形. 由 a2+b2=102 和b a =4 3 ，解得 a=6, b=8, ∴内切圆的半径为 r=a+b-c 2 =6+8-10 2 =2 15、 解：设四个角 A、B、C、D 的度数分别为 3x、7x、4x、10x，根据四边形的内角和有 3x+7x+4x+10x=360°.解得 x=15° ∴A=45°, B=105°, C=60°, D=150° 连结 BD，得两个三角形△BCD 和△ABD 在△BCD 中，由余弦定理得 BD2=BC2+DC2－2BC·DC·cosC=a2+4a2－2a·2a·1 2 =3a2, ∴BD= 3 a.这时 DC2=BD2+BC2，可得△BCD 是以 DC 为斜边的直角三角形.∴∠CDB=30°, 于是∠ADB=120° 在△ABD 中，由正弦定理有 AB= sin sin BD ADB A  ＝ 3 sin 120 sin 45 a   ＝ 33 2 2 2 a  ＝ 32 2 a ∴AB 的长为 16、解：由 tanA+tanB= 3 tanA·tanB－ 3 可得 tan tan 1 tan tan AB AB   ＝－ 3 ，即 tan(A+B)=－ 3 ∴tan(π －C)= － 3 , ∴－tanC=－ 3 , ∴tanC= 3 ∵C∈(0, π ), ∴C= 3  又△ABC 的面积为 S△ABC=3 3 2 ，∴1 2 absinC=3 3 2 即1 2 ab× 3 2 =3 3 2 , ∴ab=6 又由余弦定理可得 c2=a2+b2 －2abcosC∴(7 2 )2= a2+b2－2abcos ∴(7 2 )2= a2+b2－ ab=(a+b)2－3ab ∴(a+b)2=121 4 , ∵a+b>0, ∴a+b=11 2            ,08 12cossin ,4 3cossin ,0)12(3236 2 m m mm   又 18 122)4 3( 2  mm ，解之 m=2 或 m= .9 10 而 2 和 9 10 不满足上式. 故这样的 m 不存在. §1.2 正弦定理、余弦定理及其应用 1.A; 2.B; 3.D; 4.C; 5.D; 6.C; 7.B; 8.B; 9.D; 10.B; 11.C; 12.A; 13．45 14．52 15． 2, 3 16．9 17．( 5, 13) 18． 5 :3 19.468m 20.等腰三角形或直角三角形 21.a＝6，b＝5，c＝4 22. 5 9 23. (1) 5sin 3 cos 3 4  (2)2＋ 5 3 4