烟台市2013年中考数学卷

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烟台市2013年中考数学卷

山东省烟台市2013年中考数学试卷 一、选择题(本题共12小题,每小题3分,满分36分)‎ ‎1.(3分)(2013•烟台)﹣6的倒数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ ‎﹣‎ C.‎ ‎6‎ D.‎ ‎﹣6‎ 考点:‎ 倒数.‎ 分析:‎ 根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答.‎ 解答:‎ 解:∵(﹣6)×(﹣)=1,‎ ‎∴﹣6的倒数是﹣.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查了倒数的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2013•烟台)以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志,其中是中心对称图形的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 中心对称图形.‎ 分析:‎ 根据中心对称图形的定义,结合选项所给图形进行判断即可.‎ 解答:‎ 解:A、不是中心对称图形,故本选项错误;‎ B、是中心对称图形,故本选项正确;‎ C、不是中心对称图形,故本选项错误;‎ D、不是中心对称图形,故本选项错误;‎ 故选B.‎ 点评:‎ 此题主要考查了中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2013•烟台)“厉行勤俭节约,反对铺张浪费”势在必行,最新统计数据显示,中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮.将210000000用科学记数法表示为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2.1×109‎ B.‎ ‎0.21×109‎ C.‎ ‎2.1×108‎ D.‎ ‎21×107‎ 考点:‎ 科学记数法—表示较大的数.‎ 分析:‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ 解答:‎ 解:将210000000用科学记数法表示为:2.1×108.‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n 的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2013•烟台)下列水平放置的几何体中,俯视图不是圆的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 简单几何体的三视图.‎ 分析:‎ 俯视图是从上往下看得到的视图,分别判断出各选项的俯视图即可得出答案.‎ 解答:‎ 解:A、俯视图是一个圆,故本选项错误;‎ B、俯视图是一个圆,故本选项错误;‎ C、俯视图是一个正方形,不是圆,故本选项正确;‎ D、俯视图是一个圆,故本选项错误;‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查了俯视图的知识,注意俯视图是从上往下看得到的视图.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2013•烟台)下列各运算中,正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎3a+2a=5a2‎ B.‎ ‎(﹣3a3)2=9a6‎ C.‎ a4÷a2=a3‎ D.‎ ‎(a+2)2=a2+4‎ 考点:‎ 同底数幂的除法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;完全平方公式.‎ 分析:‎ 根据合并同类项的法则、幂的乘方及积的乘方法则、同底数幂的除法法则,分别进行各选项的判断即可.‎ 解答:‎ 解:A、3a+2a=5a,原式计算错误,故本选项错误;‎ B、(﹣3a3)2=9a6,原式计算正确,故本选项正确;‎ C、a4÷a2=a2,原式计算错误,故本选项错误;‎ D、(a+2)2=a2+2a+4,原式计算错误,故本选项错误;‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方,解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2012•青岛)如图,将四边形ABCD先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,那么点A的对应点A′的坐标是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎(6,1)‎ B.‎ ‎(0,1)‎ C.‎ ‎(0,﹣3)‎ D.‎ ‎(6,﹣3)‎ 考点:‎ 坐标与图形变化-平移.‎ 专题:‎ 推理填空题.‎ 分析:‎ 由于将四边形ABCD先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,则点A也先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,据此即可得到点A′的坐标.‎ 解答:‎ 解:∵四边形ABCD先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,‎ ‎∴点A也先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,‎ ‎∴由图可知,A′坐标为(0,1).‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移,本题本题考查了坐标系中点、线段的平移规律,在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2013•烟台)一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为720°,那么原多边形的边数为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎5‎ B.‎ ‎5或6‎ C.‎ ‎5或7‎ D.‎ ‎5或6或7‎ 考点:‎ 多边形内角与外角.‎ 分析:‎ 首先求得内角和为720°的多边形的边数,即可确定原多边形的边数.‎ 解答:‎ 解:设内角和为720°的多边形的边数是n,则(n﹣2)•180=720,‎ 解得:n=6.‎ 则原多边形的边数为5或6或7.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了多边形的内角和定理,理解分三种情况是关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2013•烟台)将正方形图1作如下操作:第1次:分别连接各边中点如图2,得到5个正方形;第2次:将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3,得到9个正方形…,以此类推,根据以上操作,若要得到2013个正方形,则需要操作的次数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎502‎ B.‎ ‎503‎ C.‎ ‎504‎ D.‎ ‎505‎ 考点:‎ 规律型:图形的变化类.‎ 分析:‎ 根据正方形的个数变化得出第n次得到2013个正方形,则4n+1=2013,求出即可.‎ 解答:‎ 解:∵第1次:分别连接各边中点如图2,得到4+1=5个正方形;‎ 第2次:将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3,得到4×2+1=9个正方形…,‎ 以此类推,根据以上操作,若第n次得到2013个正方形,则4n+1=2013,‎ 解得:n=503.‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 此题主要考查了图形的变化类,根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2013•烟台)已知实数a,b分别满足a2﹣6a+4=0,b2﹣6b+4=0,且a≠b,则的值是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎7‎ B.‎ ‎﹣7‎ C.‎ ‎11‎ D.‎ ‎﹣11‎ 考点:‎ 根与系数的关系.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 根据已知两等式得到a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根,利用根与系数的关系求出a+b与ab的值,所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算,再利用完全平方公式变形,将a+b与ab的值代入计算即可求出值.‎ 解答:‎ 解:根据题意得:a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根,‎ ‎∴a+b=6,ab=4,‎ 则原式===7.‎ 故选A 点评:‎ 此题考查了一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2013•烟台)如图,已知⊙O1的半径为1cm,⊙O2的半径为2cm,将⊙O1,⊙O2放置在直线l上,如果⊙O1在直线l上任意滚动,那么圆心距O1O2的长不可能是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎6cm B.‎ ‎3cm C.‎ ‎2cm D.‎ ‎0.5cm 考点:‎ 圆与圆的位置关系.‎ 分析:‎ 根据在滚动的过程中两圆的位置关系可以确定圆心距的关系.‎ 解答:‎ 解:∵⊙O1的半径为1cm,⊙O2的半径为2cm,‎ ‎∴当两圆内切时,圆心距为1,‎ ‎∵⊙O1在直线l上任意滚动,‎ ‎∴两圆不可能内含,‎ ‎∴圆心距不能小于1,‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了两圆的位置关系,本题中两圆不可能内含.‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)(2013•烟台)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).下列说法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(,y2)是抛物线上两点,则 y1>y2.其中说法正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎①②‎ B.‎ ‎②③‎ C.‎ ‎①②④‎ D.‎ ‎②③④‎ 考点:‎ 二次函数图象与系数的关系.‎ 分析:‎ 根据图象得出a>0,b=2a>0,c<0,即可判断①②;把x=2代入抛物线的解析式即可判断③,求出点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),根据当x>﹣1时,y随x的增大而增大即可判断④.‎ 解答:‎ 解:∵二次函数的图象的开口向上,‎ ‎∴a>0,‎ ‎∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上,‎ ‎∴c<0,‎ ‎∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1,‎ ‎∴﹣=﹣1,‎ ‎∴b=2a>0,‎ ‎∴abc<0,∴①正确;‎ ‎2a﹣b=2a﹣2a=0,∴②正确;‎ ‎∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).‎ ‎∴与x轴的另一个交点的坐标是(1,0),‎ ‎∴把x=2代入y=ax2+bx+c得:y=4a+2b+c>0,∴③错误;‎ ‎∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1,‎ ‎∴点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),‎ 根据当x>﹣1时,y随x的增大而增大,‎ ‎∵<3,‎ ‎∴y2<y1,∴④正确;‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用,题目比较典型,主要考查学生的理解能力和辨析能力.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2013•烟台)如图1,E为矩形ABCD边AD上一点,点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q从点B沿BC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1cm/s.若P,Q同时开始运动,设运动时间为t(s),△BPQ的面积为y(cm2).已知y与t的函数图象如图2,则下列结论错误的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ AE=6cm B.‎ sin∠EBC=‎ ‎ ‎ C.‎ 当0<t≤10时,y=t2‎ D.‎ 当t=12s时,△PBQ是等腰三角形 考点:‎ 动点问题的函数图象.‎ 分析:‎ 由图2可知,在点(10,40)至点(14,40)区间,△BPQ的面积不变,因此可推论BC=BE,由此分析动点P的运动过程如下:‎ ‎(1)在BE段,BP=BQ;持续时间10s,则BE=BC=10;y是t的二次函数;‎ ‎(2)在ED段,y=40是定值,持续时间4s,则ED=4;‎ ‎(3)在DC段,y持续减小直至为0,y是t的一次函数.‎ 解答:‎ 解:(1)结论A正确.理由如下:‎ 分析函数图象可知,BC=10cm,ED=4cm,故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm;‎ ‎(2)结论B正确.理由如下:‎ 如答图1所示,连接EC,过点E作EF⊥BC于点F,‎ 由函数图象可知,BC=BE=10cm,S△BEC=40=BC•EF=×10×EF,∴EF=8,‎ ‎∴sin∠EBC===;‎ ‎(3)结论C正确.理由如下:‎ 如答图2所示,过点P作PG⊥BQ于点G,‎ ‎∵BQ=BP=t,‎ ‎∴y=S△BPQ=BQ•PG=BQ•BP•sin∠EBC=t•t•=t2.‎ ‎(4)结论D错误.理由如下:‎ 当t=12s时,点Q与点C重合,点P运动到ED的中点,设为N,如答图3所示,连接NB,NC.‎ 此时AN=8,ND=2,由勾股定理求得:NB=,NC=,‎ ‎∵BC=10,‎ ‎∴△BCN不是等腰三角形,即此时△PBQ不是等腰三角形.‎ 点评:‎ 本题考查动点问题的函数图象,需要结合几何图形与函数图象,认真分析动点的运动过程.突破点在于正确判断出BC=BE=10cm.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本题共6小题,每小题3分,满分18分)‎ ‎13.(3分)(2013•烟台)分解因式:a2b﹣4b3= b(a+2b)(a﹣2b) .‎ 考点:‎ 提公因式法与公式法的综合运用.‎ 分析:‎ 先提取公因式b,再根据平方差公式进行二次分解.平方差公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).‎ 解答:‎ 解:a2b﹣4b3=b(a2﹣4b2)‎ ‎=b(a+2b)(a﹣2b).‎ 故答案为b(a+2b)(a﹣2b).‎ 点评:‎ 本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次分解,注意分解要彻底.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2013•烟台)不等式的最小整数解是 x=3 .‎ 考点:‎ 一元一次不等式组的整数解.‎ 分析:‎ 先求出一元一次不等式组的解集,再根据x是整数得出最小整数解.‎ 解答:‎ 解:,‎ 解不等式①,得x≥1,‎ 解不等式②,得x>2,‎ 所以不等式组的解集为x>2,‎ 所以最小整数解为3.‎ 故答案为:x=3.‎ 点评:‎ 此题考查的是一元一次不等式组的整数解,正确解出不等式组的解集是解决本题的关键.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2013•烟台)如图,四边形ABCD是等腰梯形,∠ABC=60°,若其四边满足长度的众数为5,平均数为,上、下底之比为1:2,则BD=  .‎ 考点:‎ 等腰梯形的性质;算术平均数;众数.‎ 分析:‎ 设梯形的四边长为5,5,x,2x,根据平均数求出四边长,求出△BDC是直角三角形,根据勾股定理求出即可.‎ 解答:‎ 解:设梯形的四边长为5,5,x,2x,‎ 则=,‎ x=5,‎ 则AB=CD=5,AD=5,BC=10,‎ ‎∵AB=AD,‎ ‎∴∠ABD=∠ADB,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠ADB=∠DBC,‎ ‎∴∠ABD=∠DBC,‎ ‎∵∠ABC=60°,‎ ‎∴∠DBC=30°,‎ ‎∵等腰梯形ABCD,AB=DC,‎ ‎∴∠C=∠ABC=60°,‎ ‎∴∠BDC=90°,‎ ‎∴在Rt△BDC中,由勾股定理得:BD==5,‎ 故答案为:5.‎ 点评:‎ 本题考查了梯形性质,平行线性质,勾股定理,三角形内角和定理,等腰三角形的性质等知识点的应用,关键是求出BC、DC长和得出三角形DCB是等腰三角形.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2013•烟台)如图,▱ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O.点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为 15 .‎ 考点:‎ 三角形中位线定理;平行四边形的性质.‎ 分析:‎ 根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得,OB=OD,又因为E点是CD的中点,可得OE是△BCD的中位线,可得OE=BC,所以易求△DOE的周长.‎ 解答:‎ 解:∵▱ABCD的周长为36,‎ ‎∴2(BC+CD)=36,则BC+CD=18.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,BD=12,‎ ‎∴OD=OB=BD=6.‎ 又∵点E是CD的中点,‎ ‎∴OE是△BCD的中位线,DE=CD,‎ ‎∴OE=BC,‎ ‎∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+(BC+CD)=6+9=15,即△DOE的周长为15.‎ 故答案是:15.‎ 点评:‎ 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质.解题时,利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质.‎ ‎ ‎ ‎17.(3分)(2013•烟台)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则∠OEC为 108 度.‎ 考点:‎ 线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;翻折变换(折叠问题).‎ 分析:‎ 连接OB、OC,根据角平分线的定义求出∠BAO,根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB,根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO,再求出∠OBC,然后判断出点O是△ABC的外心,根据三角形外心的性质可得OB=OC,再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC,根据翻折的性质可得OE=CE,然后根据等边对等角求出∠COE,再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.‎ 解答:‎ 解:如图,连接OB、OC,‎ ‎∵∠BAC=54°,AO为∠BAC的平分线,‎ ‎∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°,‎ 又∵AB=AC,‎ ‎∴∠ABC=(180°﹣∠BAC)=(180°﹣54°)=63°,‎ ‎∵DO是AB的垂直平分线,‎ ‎∴OA=OB,‎ ‎∴∠ABO=∠BAO=27°,‎ ‎∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°,‎ ‎∵DO是AB的垂直平分线,AO为∠BAC的平分线,‎ ‎∴点O是△ABC的外心,‎ ‎∴OB=OC,‎ ‎∴∠OCB=∠OBC=36°,‎ ‎∵将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,‎ ‎∴OE=CE,‎ ‎∴∠COE=∠OCB=36°,‎ 在△OCE中,∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°.‎ 故答案为:108.‎ 点评:‎ 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等腰三角形三线合一的性质,等边对等角的性质,以及翻折变换的性质,综合性较强,难度较大,作辅助线,构造出等腰三角形是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(3分)(2013•烟台)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在BC上,四边形EFGB也是正方形,以B为圆心,BA长为半径画,连结AF,CF,则图中阴影部分面积为 4π .‎ 考点:‎ 正方形的性质;整式的混合运算.‎ 分析:‎ 设正方形EFGB的边长为a,表示出CE、AG,然后根据阴影部分的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF,列式计算即可得解.‎ 解答:‎ 解:设正方形EFGB的边长为a,则CE=4﹣a,AG=4+a,‎ 阴影部分的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF ‎=+a2+a(4﹣a)﹣a(4+a)‎ ‎=4π+a2+2a﹣a2﹣2a﹣a2‎ ‎=4π.‎ 故答案为:4π.‎ 点评:‎ 本题考查了正方形的性质,整式的混合运算,扇形的面积计算,引入小正方形的边长这一中间量是解题的关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共8个小题,满分46分)‎ ‎19.(6分)(2013•烟台)先化简,再求值:,其中x满足x2+x﹣2=0.‎ 考点:‎ 分式的化简求值.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再求出x的值,把x的值代入进行计算即可.‎ 解答:‎ 解:原式=•‎ ‎=•‎ ‎=,‎ 由x2+x﹣2=0,解得x1=﹣2,x2=1,‎ ‎∵x≠1,‎ ‎∴当x=﹣2时,原式==.‎ 点评:‎ 本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎20.(6分)(2013•烟台)如图,一艘海上巡逻船在A地巡航,这时接到B地海上指挥中心紧急通知:在指挥中心北偏西60°方向的C地,有一艘渔船遇险,要求马上前去救援.此时C地位于北偏西30°方向上,A地位于B地北偏西75°方向上,A、B两地之间的距离为12海里.求A、C两地之间的距离(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45,结果精确到0.1)‎ 考点:‎ 解直角三角形的应用-方向角问题.‎ 分析:‎ 过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D,根据题意可得∠ACB和∠ABC的度数,然后根据三角形外角定理求出∠DAB的度数,已知AB=12海里,可求出BD、AD的长度,在Rt△CBD中,解直角三角形求出CD的长度,继而可求出A、C之间的距离.‎ 解答:‎ 解:过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D,‎ 由题意得,∠ACB=60°﹣30°=30°,‎ ‎∠ABC=75°﹣60°=15°,‎ ‎∴∠DAB=∠DBA=45°,‎ 在Rt△ABD中,AB=12,∠DAB=45°,‎ ‎∴BD=AD=ABcos45°=6,‎ 在Rt△CBD中,CD==6,‎ ‎∴AC=6﹣6≈6.2(海里).‎ 答:A、C两地之间的距离为6.2海里.‎ 点评:‎ 本题考查了解直角三角形的知识,解答本题的关键是构造直角三角形,利用三角函数的知识求解相关线段的长度,难度一般.‎ ‎ ‎ ‎21.(7分)(2013•烟台)如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,A、C分别在坐标轴上,点B的坐标为(4,2),直线y=﹣x+3交AB,BC分别于点M,N,反比例函数y=的图象经过点M,N.‎ ‎(1)求反比例函数的解析式;‎ ‎(2)若点P在y轴上,且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等,求点P的坐标.‎ 考点:‎ 反比例函数与一次函数的交点问题.‎ 分析:‎ ‎(1)求出OA=BC=2,将y=2代入y=﹣x+3求出x=2,得出M的坐标,把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案;‎ ‎(2)求出四边形BMON的面积,求出OP的值,即可求出P的坐标.‎ 解答:‎ 解:(1)∵B(4,2),四边形OABC是矩形,‎ ‎∴OA=BC=2,‎ 将y=2代入y=﹣x+3得:x=2,‎ ‎∴M(2,2),‎ 把M的坐标代入y=得:k=4,‎ ‎∴反比例函数的解析式是y=;‎ ‎(2)∵S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON ‎=4×2﹣4=4,‎ 由题意得: OP×AM=4,‎ ‎∵AM=2,‎ ‎∴OP=4,‎ ‎∴点P的坐标是(0,4)或(0,﹣4).‎ 点评:‎ 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式,一次函数与反比例函数的交点问题,三角形的面积,矩形的性质等知识点的应用,主要考查学生应用性质进行计算的能力,题目比较好,难度适中.‎ ‎ ‎ ‎22.(9分)(2013•烟台)今年以来,我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点.为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度,某校在学生中做了一次抽样调查,调查结果共分为四个等级:A.非常了解;B.比较了解;C.基本了解;D.不了解.根据调查统计结果,绘制了不完整的三种统计图表.‎ 对雾霾了解程度的统计表:‎ 对雾霾的了解程度 百分比 A.非常了解 ‎5%‎ B.比较了解 m C.基本了解 ‎45%‎ D.不了解 n 请结合统计图表,回答下列问题.‎ ‎(1)本次参与调查的学生共有 400 人,m= 15% ,n= 35% ;‎ ‎(2)图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是 126 度;‎ ‎(3)请补全图1示数的条形统计图;‎ ‎(4)根据调查结果,学校准备开展关于雾霾知识竞赛,某班要从“非常了解”态度的小明和小刚中选一人参加,现设计了如下游戏来确定,具体规则是:把四个完全相同的乒乓球标上数字1,2,3,4,然后放到一个不透明的袋中,一个人先从袋中随机摸出一个球,另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球.若摸出的两个球上的数字和为奇数,则小明去;否则小刚去.请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平.‎ 考点:‎ 游戏公平性;扇形统计图;条形统计图;列表法与树状图法.‎ 分析:‎ ‎(1)根据“基本了解”的人数以及所占比例,可求得总人数;在根据频数、百分比之间的关系,可得m,n的值;‎ ‎(2)根据在扇形统计图中,每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心的度数与360°的比可得出统计图中D部分扇形所对应的圆心角;‎ ‎(3)根据D等级的人数为:400×35%=140;可得(3)的答案;‎ ‎(4)用树状图列举出所有可能,进而得出答案.‎ 解答:‎ 解:(1)利用条形图和扇形图可得出:本次参与调查的学生共有:180÷45%=400;‎ m=×100%=15%,n=1﹣5%﹣15%﹣45%=35%;‎ ‎(2)图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是:360°×35%=126°;‎ ‎(3)∵D等级的人数为:400×35%=140;‎ 如图所示:‎ ‎;‎ ‎(4)列树状图得:‎ 所以从树状图可以看出所有可能的结果有12种,数字之和为奇数的有8种,‎ 则小明参加的概率为:P==,‎ 小刚参加的概率为:P==,‎ 故游戏规则不公平.‎ 故答案为:400,15%,35%;126.‎ 点评:‎ 此题主要考查了游戏公平性,涉及扇形统计图的意义与特点,即可以比较清楚地反映出部分与部分、部分与整体之间的数量关系.‎ ‎ ‎ ‎23.(8分)(2013•烟台)烟台享有“苹果之乡”的美誉.甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果.甲超市销售方案是:将苹果按大小分类包装销售,其中大苹果400千克,以进价的2倍价格销售,剩下的小苹果以高于进价10%销售.乙超市的销售方案是:不将苹果按大小分类,直接包装销售,价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价.若两超市将苹果全部售完,其中甲超市获利2100元(其它成本不计).问:‎ ‎(1)苹果进价为每千克多少元?‎ ‎(2)乙超市获利多少元?并比较哪种销售方式更合算.‎ 考点:‎ 分式方程的应用.‎ 分析:‎ ‎(1)先设苹果进价为每千克x元,根据两超市将苹果全部售完,其中甲超市获利2100元列出方程,求出x的值,再进行检验即可求出答案;‎ ‎(2)根据(1)求出每个超市苹果总量,再根据大、小苹果售价分别为10元和5.5元,求出乙超市获利,再与甲超市获利2100元相比较即可.‎ 解答:‎ 解:(1)设苹果进价为每千克x元,根据题意得:‎ ‎400x+10%x(﹣400)=2100,‎ 解得:x=5,‎ 经检验x=5是原方程的解,‎ 答:苹果进价为每千克5元.‎ ‎(2)由(1)得,每个超市苹果总量为:=600(千克),‎ 大、小苹果售价分别为10元和5.5元,‎ 则乙超市获利600×(﹣5)=1650(元),‎ ‎∵甲超市获利2100元,‎ ‎∴甲超市销售方式更合算.‎ 点评:‎ 此题考查了分式方程的应用,关键是读懂题意,找出题目中的等量关系,根据两超市将苹果全部售完,其中甲超市获利2100元列出方程,解方程时要注意检验.‎ ‎ ‎ ‎24.(2013•烟台)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,连接AC交⊙O于点D,E为上一点,连结AE,BE,BE交AC于点F,且AE2=EF•EB.‎ ‎(1)求证:CB=CF;‎ ‎(2)若点E到弦AD的距离为1,cos∠C=,求⊙O的半径.‎ 考点:‎ 切线的性质;相似三角形的判定与性质.‎ 分析:‎ ‎(1)如图1,通过相似三角形(△AEF∽△AEB)的对应角相等推知,∠1=∠EAB;又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3;最后根据等角对等边证得结论;‎ ‎(2)如图2,连接OE交AC于点G,设⊙O的半径是r.根据(1)中的相似三角形的性质证得∠4=∠5,所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧AD的中点,则OE⊥AD;然后通过解直角△ABC求得cos∠C=sin∠GAO==,则以求r的值.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:如图1,‎ ‎∵AE2=EF•EB,‎ ‎∴=.‎ 又∠AEF=∠AEB,‎ ‎∴△AEF∽△AEB,‎ ‎∴∠1=∠EAB.‎ ‎∵∠1=∠2,∠3=∠EAB,‎ ‎∴∠2=∠3,‎ ‎∴CB=CF;‎ ‎(2)解:如图2,连接OE交AC于点G,设⊙O的半径是r.‎ 由(1)知,△AEF∽△AEB,则∠4=∠5.‎ ‎∴=.‎ ‎∴OE⊥AD,‎ ‎∴EG=1.‎ ‎∵cos∠C=,且∠C+∠GAO=90°,‎ ‎∴sin∠GAO=,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得,r=,即⊙O的半径是.‎ 点评:‎ 本题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质.解答(2)题的难点是推知点E是弧AD的中点.‎ ‎ ‎ ‎25.(10分)(2013•烟台)已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.‎ ‎(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是 AE∥BF ,QE与QF的数量关系式 QE=QF ;‎ ‎(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;‎ ‎(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.‎ 考点:‎ 全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.‎ 分析:‎ ‎(1)证△BFQ≌△AEQ即可;‎ ‎(2)证△FBQ≌△DAQ,推出QF=QD,根据直角三角形斜边上中线性质求出即可;‎ ‎(3)证△AEQ≌△BDQ,推出DQ=QE,根据直角三角形斜边上中线性质求出即可.‎ 解答:‎ 解:(1)AE∥BF,QE=QF,‎ 理由是:如图1,∵Q为AB中点,‎ ‎∴AQ=BQ,‎ ‎∵BF⊥CP,AE⊥CP,‎ ‎∴BF∥AE,∠BFQ=∠AEQ,‎ 在△BFQ和△AEQ中 ‎∴△BFQ≌△AEQ(AAS),‎ ‎∴QE=QF,‎ 故答案为:AE∥BF,QE=QF.‎ ‎(2)QE=QF,‎ 证明:如图2,延长FQ交AE于D,‎ ‎∵AE∥BF,‎ ‎∴∠QAD=∠FBQ,‎ 在△FBQ和△DAQ中 ‎∴△FBQ≌△DAQ(ASA),‎ ‎∴QF=QD,‎ ‎∵AE⊥CP,‎ ‎∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线,‎ ‎∴QE=QF=QD,‎ 即QE=QF.‎ ‎(3)(2)中的结论仍然成立,‎ 证明:如图3,‎ 延长EQ、FB交于D,‎ ‎∵AE∥BF,‎ ‎∴∠1=∠D,‎ 在△AQE和△BQD中 ‎,‎ ‎∴△AQE≌△BQD(AAS),‎ ‎∴QE=QD,‎ ‎∵BF⊥CP,‎ ‎∴FQ是斜边DE上的中线,‎ ‎∴QE=QF.‎ 点评:‎ 本题考查了全等三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线性质的应用,注意:①全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,②全等三角形的性质是:全等三角形的对应边相等,对应角相等.‎ ‎ ‎ ‎26.(2013•烟台)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A,B,与x轴分别交于点E,F,且点E的坐标为(﹣,0),以0C为直径作半圆,圆心为D.‎ ‎(1)求二次函数的解析式;‎ ‎(2)求证:直线BE是⊙D的切线;‎ ‎(3)若直线BE与抛物线的对称轴交点为P,M是线段CB上的一个动点(点M与点B,C不重合),过点M作MN∥BE交x轴与点N,连结PM,PN,设CM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.S是否存在着最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.‎ 考点:‎ 二次函数综合题.‎ 分析:‎ ‎(1)根据题意易得点A、B的坐标,然后把点A、B、E的坐标分别代入二次函数解析式,列出关于a、b、c的方程组,利用三元一次方程组来求得系数的值;‎ ‎(2)如图,过点D作DG⊥BE于点G,构建相似三角形△EGD∽△ECB,根据它的对应边成比例得到=,由此求得DG=1(圆的半径是1),则易证得结论;‎ ‎(3)利用待定系数法求得直线BE为:y=x+.则易求P(1,).然后由相似三角形△MNC∽△BEC的对应边成比例,线段间的和差关系得到CN=t,DN=t﹣1.所以 S=S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC=﹣+t(0<t<2).由抛物线的性质可以求得S的最值.‎ 解答:‎ 解:(1)由题意,得A(0,2),B(2,2),E的坐标为(﹣,0),‎ 则,‎ 解得,,‎ ‎∴该二次函数的解析式为:y=﹣x2+x+2;‎ ‎(2)如图,过点D作DG⊥BE于点G.‎ 由题意,得 ED=+1=,EC=2+=,BC=2,‎ ‎∴BE==.‎ ‎∵∠BEC=∠DEG,∠EGD=∠ECB=90°,‎ ‎∴△EGD∽△ECB,‎ ‎∴=,‎ ‎∴DG=1.‎ ‎∵⊙D的半径是1,且DG⊥BE,‎ ‎∴BE是⊙D的切线;‎ ‎(3)由题意,得 E(﹣,0),B(2,2).‎ 设直线BE为y=kx+h(k≠0).则 ‎,‎ 解得,,‎ ‎∴直线BE为:y=x+.‎ ‎∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P,对称轴直线为x=1,‎ ‎∴点P的纵坐标y=,即P(1,).‎ ‎∵MN∥BE,‎ ‎∴∠MNC=∠BEC.‎ ‎∵∠C=∠C=90°,‎ ‎∴△MNC∽△BEC,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,则CN=t,‎ ‎∴DN=t﹣1,‎ ‎∴S△PND=DN•PD=(t﹣1)•=t﹣.‎ S△MNC=CN•CM=×t•t=t2.‎ S梯形PDCM=(PD+CM)•CD=•(+t)•1=+t.‎ ‎∵S=S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC=﹣+t(0<t<2).‎ ‎∵抛物线S=﹣+t(0<t<2)的开口方向向下,‎ ‎∴S存在最大值.当t=1时,S最大=.‎ 点评:‎ 本题考查了二次函数综合题,其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式,相似三角形的判定与性质以及二次函数最值的求法.注意配方法在(3)题中的应用.‎ ‎ ‎
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