2013年江西省南昌市中考数学试题（含答案）
江西省南昌市2013年初中毕业暨中等学校招生考试
数 学 试 题 卷
说明：1。本卷共有五个大题，25个小题，全卷满分120分。考试时间120分钟
2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题只有一个正确选项。
1．-1的倒数是（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．0
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人。下面所列的方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列数据是2013年3月日6点公布的中国六大城市的空气污染指数情况：
城市
北京
合肥
南京
哈尔滨
成都
南昌
污染指数
342
163
165
45
227
163
则这组据的中位数和众数分别是（ ）
A．163和164 B．105和163 C．105和164 D．163和164
5．某机构对30万人的调查显示，沉迷于手机上网的初中生大约占7%，则这部分沉迷于手机上网的初中生人数，可用科学记数法表示为（ ）
A．2．1×105 B．21×103 C．0．21×105 D．2．1×104
6．如图，直线y=x+a-2与双曲线y=交于A，B两点，
则当线段AB的长度取最小值是，a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.5
7.一张坐凳的形状如图所示，以箭并没有所指的方向为主视方向，则它的左视图可以是（ ）
8．将不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
9．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（ ）
A．60° B．75° C．85° D．90°
11．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
12．若二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1
0 B．b2-4ac≥0 C．x10)的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式。
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查。为期半天的会议中，每人发一瓶500毫升的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：A。全部喝完；B。喝剩约；C。喝剩约一半；D。开瓶但基本未喝。同学们根据统计结果绘制成如下两个统计图。根据统计图提供的信息。解答下列问题：
（1）参加这次会底色的有多少人？在图（2）中D所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；
（2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费矿泉水约多少毫升？（计算结果请保留整数）
（3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议60次，每次会底色人数约在40至60人之间，请用（2）中的计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水（500毫升/瓶）约有多少瓶？（可使用科学计算器）
22．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C。
（1）证明PA是⊙O的切线；
（2）求点B的坐标。
23．如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB。如图2所示，量杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm,∠OAB=120°.若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示。
（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01）
(2)求雨刮杆AB扫过的最大面积。（结果保留的整数倍）
(参考数据: , , ,,可使用科学计算器)
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
（1）操作发现：
在等腰△ABC，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可）
①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME
（2）数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；
（3）类比探究：
（i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MEC的形状。答： 。
（ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限制用题中字母表示）并说明理由。
25．已知抛物线 (n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an
）与x轴的交点为An-1(bn-1,0)和An(b,0),当n=1时，第1条抛物线 与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依次类推。
（1）求a1,b1的值及抛物线y2的解析式；
（2）抛物线y3的顶点坐标为（ ， ）；
依次类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（ ， ）（用含n的式子表示）；
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 ;
(3)探究下列结论：
①若用An-1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An-1An；
②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由。
江西省南昌市2013年初中毕业暨中等学校招生考试
数 学 试 题 卷 答 案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题只有一个正确选项。
1、B 2、C 3、B 4、A 5、D 6、C 7、C 8、D 9、B 10、C 11、C 12、D
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13、65° 14、 15、（答案不唯一） 16、2,3,4，
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17、解：（1）如图1，点P就是所求作的点；（2）如图2，CD为AB边上的高.
18、解：原式=·+1 [来源:学,科,网Z,X,X,K]
=
=．
当x=1时，原式=.
19、解：（1）A .
（2）依题意画树状图如下：
从上图可知，所有等可能结果共有6种，其中第4、5种结果符合，∴P(A)== ．
20、解：（1）B（2，4），C（6，4），D（6，6）.
（2）如图，矩形ABCD向下平移后得到矩形，
设平移距离为a，则A′（2，6－a），C′（6，4－a）
∵点A′，点C′在y=的图象上，
∴2(6－a)=6(4－a)，
解得a=3，
∴点A′（2，3），
∴反比例函数的解析式为y=．
21、解：（1）根据所给扇形统计图可知，喝剩约的人数是总人数的50%，
∴25÷50%=50，参加这次会议的总人数为50人，
∵×360°=36°，
∴D所在扇形圆心角的度数为36°，
补全条形统计图如下；
（2）根据条形统计图可得平均每人浪费矿泉水量约为：
(25××500+10×500×+5×500)÷50
=÷50≈183毫升；
（3）该单位每年参加此类会议的总人数约为24000人~3600人，则浪费矿泉水约为3000×183÷500=1098瓶．
22、（1）证明：依题意可知，A（0，2）
∵A（0，2），P（4，2），
∴AP∥x轴 ．
∴∠OAP=90°，且点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解法一：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°，即∠OBP=∠PEC，
又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC．
∴△OBC≌△PEC．
∴OC=PC．
（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）
设OC=PC=x，
则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，
在Rt△PCE中，∵PC2=CE2+PE2，
∴x2=(4－x)2+22，解得x=，…………………… 4分
∴BC=CE=4－=，
∵OB·BC=OC·BD，即×2×=××BD，∴BD=．
∴OD===，
由点B在第四象限可知B（，）；
解法二：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥y轴于点D，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°即∠OBP=∠PEC．
又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC，
∴△OBC≌△PEC．
∴OC=PC（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）
设OC=PC=x，
则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，
在Rt△PCE中，∵PC2=CE2＋PE2,
∴x2=(4－x)2+22，解得x=，……………………………… 4分
∴BC=CE=4－=，
∵BD∥x轴，
∴∠COB=∠OBD，
又∵∠OBC=∠BDO=90°，
∴△OBC∽△BDO， ∴==，
即==．
∴BD=，OD=．
由点B在第四象限可知B（，）；
24、解：
●操作发现：①②③④
●数学思考：
答：MD=ME，
１、MD=ME；
如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，
∵M是BC的中点，
∴MF∥AC，MF=AC．
又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线，
∴EG⊥AC且EG=AC，
∴MF=EG．
同理可证DF=MG．
∵MF∥AC，
∴∠MFA＋∠BAC=180°．
同理可得∠MGA+∠BAC=180°，
∴∠MFA=∠MGA．
又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°．
同理可得∠DFA=90°，
∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，
即∠DFM=∠MEG，又MF=EG，DF=MG，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD=ME．
●类比探究
（1）答：等腰直角三解形
（2）增加条件∠BAD=∠CAE或∠BAD+∠CAE=∠BAC
25、解：（1）∵y1=―(x―a1)2+a1与x轴交于点A0（0，0），
∴―a12+ a1=0，∴a1=0或1．
由已知可知a1>0，
∴a1=1．
即y1=―(x―1)2+1
方法一：令y1=0代入得：―(x―1)2+1=0，
∴x1=0，x2=2，
∴y1与x轴交于A0（0，0），A1（2，0）
∴b1=2，
方法二：∵y1=―(x―a1)2+a1与x轴交于点A0（0，0），[来源:学科网ZXXK]
∴―(b1―1)2+1=0，b1=2或0，b 1=0（舍去）．
∴b1=2．
又∵抛物线y2=―(x―a2)2+a2与x轴交于点A1（2，0），
∴―(2―a2)2+ a2=0，
∴a2=1或4，∵a2> a1，∴a2=1（舍去）．
∴取a2=4，抛物线y2=―(x―4)2+4．
（2）（9，9）；
（n2，n2）
y=x．
详解如下：
∵抛物线y2=―(x―4)2+4令y2=0代入得：―(x―4)2+4=0，
∴x1=2，x2=6．
∴y2与x轴交于点A1（2，0），A2（6，0）．[来源:Zxxk.Com]
又∵抛物线y3=―(x―a3)2+a3与x轴交于A2（6，0），
∴―(6―a3)2+a3=0
∴a3=4或9，∵a3> a3，∴a3=4（舍去），
即a3=9，∴抛物线y3的顶点坐标为（9，9）．
由抛物线y1的顶点坐标为（1，1），y2的顶点坐标为（4，4），y3的顶点坐标为（9，9），依次类推抛物线yn的顶点坐标为（n2，n2）．
∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，
∴顶点坐标满足的函数关系式是：y= x；
(3)∵A0（0，0），A1（2，0），
∴A0 A1=2．
又∵yn=―(x―n2)2+n2，
令yn=0，
∴―(x―n2)2+n2=0，
即x1=n2+n，x2=n2－n，
∴A n－1(n2－n，0)，A n(n2+n，0)，即A n－1 A n=( n2+n)－( n2－n)=2 n．
②存在．是平行于直线y=x且过A1（2，0）的直线，其表达式为y=x－2．
