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文档介绍
2019年湖南郴州中考数学试题(解析版)
{来源}2019 年郴州市初中学业水平考试数学试卷 {适用范围:3. 九年级} {标题}2019年湖南省郴州市中考数学试卷 考试时间:120分钟 满分:130分 {题型:1-选择题}一、选择题:本大题共8小题,每小题8分,合计24分. {题目}1.(2019年郴州T1)如右图,数轴上表示-2 的相反数的点是 A.M B.N C.P D.Q {答案}A {解析}本题考查了有理数与数轴间的关系,由于点M对应的有理数是-2,因此本题选A. {分值}3 {章节:[1-1-2-2]数轴} {考点:数轴表示数} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}2.(2019年郴州T2)如图是我国几家银行的标志,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A. B. C. D. {答案}C {解析}本题考查了轴对称图形;中心对称图形,根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可解答本题.中国建设银行标志:不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不符合题意;中国农业银行标志:是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;中国银行标志:既是轴对称图形又是中心对称图形,符合题意;中国人民银行标志:是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;因此本题选C. {分值}3 {章节:[1-23-2-2]中心对称图形} {考点:轴对称图形} {考点:中心对称图形} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}3.(2019年郴州T3)邓小平曾说:“中东有石油,中国有稀土”.稀土是加工制造国防、军工等工业品不可 或缺的原料.据有关统计数据表明:至 2017 年止,我国已探明稀土储量约 4400 万吨,居世界第一位,请用科学记数法表示 44 000 000 为 A.44×106 B. 4.4×107 C. 4.4×108 D. 0.44×109 {答案}B {解析}本题考查了科学计数法表示较大的数,将44 000 000用科学记数法表示为:4.4×107.因此本题选B. {分值}3 {章节:[1-1-5-2]科学计数法} {考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}4.(2019年郴州T)下列运算正确的是 A.(x2)3=x5 B. C.x·x2·x4=x6 D.= {答案}D {解析}本题考查了同底数幂的乘法以及二次根式的运算,利用相关运算法则进行计算,然后判断即可.(x2)3=x6,所以A错误;,所以B错误;.x·x2·x4=x7,所以C错误;=,所以D正确,因此本题选D. {分值}3 {章节:[1-16-3]二次根式的加减} {考点:同底数幂的乘法} {考点:幂的乘方} {考点:二次根式的除法法则} {考点:二次根式的加减法} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}5.(2019年郴州T5)一元二次方程 2 x2 + 3x − 5 = 0 的根的情况为 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 {答案}B {解析}本题考查了一元二次方程根的判别式,因为a=2,b=3,c=-5,所以Δ=b2-4ac=32-4×2×(-5)=49>0,所以方程2 x2 + 3x − 5 = 0有两个不相等的实数根,因此本题选B. {分值}3 {章节:[1-21-2-2]公式法} {考点:根的判别式} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}6.(2019年郴州T6)下列采用的调查方式中,合适的是 A.为了解东江湖的水质情况,采用抽样调查的方式 B.我市某企业为了解所生产的产品的合格率,采用普查的方式 C.某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查,采用抽样调查的方式 D.某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况,采用普查的方式 {答案}A {解析}本题考查了调查方法的选择,调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来,具体问题具体分析.了解东江湖的水质情况时,若进行一次全面的调查,费大量的人力物力是得不尝失,因此宜采用抽样调查的方式,故A选项是合适的;企业为了解所生产的产品的合格率,所采取的实验多带有破坏性,因此采取抽样调查即可,故B选项不合适;小型企业员工数量有限,因此给在职员工做工作服前对每个人进行尺寸大小进行测量即可,所以C选项不合适;在了解某市中小学生的视力情况时,若进行一次全面的调查,费大量的人力物力是得不尝失的,采取抽样调查即可,故D选项不合适.因此本题选A. {分值}3 {章节:[1-19-4]课题学习 选择方案} {考点:全面调查} {考点:抽样调查} {类别:思想方法} {难度:2-简单} {题目}7.(2019年郴州T7)如图,分别以线段 AB 的两端点 A,B 为圆心,大于 AB 长为半径画弧,在线段 AB的两侧分别交于点 E,F,作直线 EF 交 AB 于点 O.在直线 EF 上任取一点 P (不与 O重合),连接 PA,PB,则下列结论不一定成立的是 A.PA=PB B.OA=OB C.OP=OF D.PO⊥AB (第7题图) {答案}C {解析}本题考查了线段垂直平分线的性质;作图—复杂作图,由作图过程可知EF是AB的垂直平分线,所以PA=PB,OA=OB,PO⊥AB,一定成立,因此本题选C. {分值}3 {章节:[1-13-1-2]垂直平分线} {考点:垂直平分线的性质} {考点:与垂直平分线有关的作图} {考点:垂直平分线的判定} {类别:北京作图} {难度:2-简单} {题目}8.(2019年郴州T8)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对 全等的三角形,如图所示,已知∠A=90°,BD=4,CF=6,则正方形 ADOF 的边长是 A. B.2 C. D.4 (第8题图) {答案}B {解析}本题考查了勾股定理和解一元二次方程,设正方形ADOF的边长为x,则AB=4+x,AC=6+x,BC=10,由于∠A=90°,所以BC2=AB2+AC2,即100=16+8x+x2+36+12x+x2,解得x=2或x=-12(不合题意,舍去),因此本题选B. {分值}3 {章节:[1-17-1]勾股定理} {考点:勾股定理} {考点:角平分线的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题型:2-填空题}二、填空题:本大题共8小题,每小题3分,合计24分. {题目}9.(2019年郴州T9)二次根式中,x 的取值范围是 . {答案}x≥2 {解析}本题考查了二次根式有意义的条件.直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.若在实数范围内有意义,则x-2≥0,解得:x≥2.因此本题应填x≥2. {分值}3 {章节:[1-16-1]二次根式} {考点:二次根式的有意义的条件} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}10.(2019年郴州T10)若,则= . {答案} {解析}本题考查了比例的性质,直接运用比例的性质化简计算即可,因为=1+=,所以=,因此本题应填. {分值}3 {章节:[1-27-3]图形的相似} {考点:比例的性质} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}11.(2019年郴州T11)如图,直线 a,b 被直线 c,d 所截.若 a//b,∠1=130°,∠2=30°,则∠3 的度数为 度. (第11题图) {答案}100 {解析}本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质,∵a∥b,∴∠1=∠2+∠3,又∵∠2=30°,∴∠3=∠1-∠2=130°-30°=100°,因此本题应填100. {分值}3 {章节:[1-11-2]与三角形有关的角} {考点:三角形的外角} {考点:两直线平行同位角相等} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}12.(2019年郴州T12)某校举行演讲比赛,七个评委对小明的打分如下: 9,8,7,6,9,9,7,这组数据的中位数是 . {答案}8 {解析}本题考查了中位数的概念,将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的数(或最中间的两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.将数据9,8,7,6,9,9,7,从小到大排列为:6,7,7,8,9,9,9,中间的数是8,即这组数据的中位数是8,因此本题应填8. {分值}3 {章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:中位数} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}13.(2019年郴州T13)某商店今年 6 月初销售纯净水的数量如下表所示: 日期 1 2 3 4 数量(瓶) 120 125 130 135 观察此表,利用所学函数知识预测今年 6 月 7 日该商店销售纯净水的数量约为 瓶. {答案}150 {解析}本题考查了函数的应用,由表格可知销售数量y与日期x之间的函数关系式为y=120+5(x-1)=5x+115,当x=7时,y=5×7+115=150,因此本题应填150. {分值}3 {章节:[1-19-1-1]变量与函数} {考点:函数关系式} {考点:函数值} {类别:思想方法} {难度:2-简单} {题目}14.(2019年郴州T14)如图是甲、乙两人 6 次投篮测试(每次投篮 10 个)成绩的统计图,甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、 ,则 (填“>”“=”或“<”) 测试次数 测试成绩/个 甲 乙 (第14题图) {答案}< {解析}本题考查了方差的计算,因为=(8+7+8+6+9+8)=,=〔(8-)2+(7-)2+(8-)2+(6-)2+(9-)2+(8-)2〕=,=(7+4+7+9+5+7)=,=〔(7-)2+(4-)2+(7-)2+(9-)2+(5-)2+(7-)2〕=,因为>,所以>,因此本题应填“<”. {分值}3 {章节:[1-20-2-1]方差} {考点:算术平均数} {考点:方差} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}15.(2019年郴州T15)已知某几何体的三视图如图,其中主视图和左视图都是腰长为 5,底边长为 4 的等腰三角形,则该几何体的侧面展开图的面积是 .(结果保留 π ) (第15题图) 5 5 4 4 {答案}10π {解析}本题考查了由三视图判断几何体,圆锥的计算.依题意,圆锥的地面周长为4π,圆锥的母线长为5,所以其侧面展开图为扇形,面积为×4π×5=10π,因此本题应填10π. {分值}3 {章节:[1-29-2]三视图} {考点:简单几何体的三视图} {考点:扇形的面积}{类别:常考题} {难度:2-简单} 题目}16.(2019年郴州T16)如图,点 A,C 分别是正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 y=的图象的交点,过 A点作 AD⊥ x 轴于点 D,过 C 点作 CB⊥ x 轴于点 B,则四边形 ABCD 的面积为 . (第16题图) {答案}8 {解析}本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解方程组得或,所以A的坐标为(2,2),C的坐标为(-2,-2),又过 A点作 AD⊥ x 轴于点 D,过 C 点作 CB⊥ x 轴于点 B,所以B(-2,0),D(2,0),所以BD=4,AD=2,所以ABCD的面积=AD·BD=0,因此本题应填8. {分值}3 {章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数与一次函数的综合} {考点:一次函数与几何图形综合} {考点:代数填空压轴} {考点:几何填空压轴} {类别:易错题} {难度:3-中等难度} {题型:4-解答题}三、解答题:本大题共10小题,合计82分. {题目}17.(2019年郴州T17)计算: {解析}本题考查了实数的运算,零指数幂,负整数指数幂,绝对值,特殊角的三角函数值.直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案. {答案}解:原式=1-2×+-1+2 =1-+-1+2 =2 {分值}6 {章节:[1-28-3]锐角三角函数} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:简单的实数运算} {考点:二次根式的混合运算} {考点:特殊角的三角函数值} {题目}18.(2019年郴州T18)先化简,再求值:,其中a=. {解析}本题考查了分式的化简求值,原式中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把a的值代入计算即可求值. {答案}解: 原式=- = = =. 当a=时,原式===. {分值}6 {章节:[1-15-2-2]分式的加减} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:分式的混合运算} {考点:简单的实数运算} {题目}19.(2019年郴州T19)如图,□ABCD 中,点 E 是边 AD 的中点,连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F,连接 AC,DF. 求证:四边形 ACDF 是平行四边形. {解析}本题考查了平行四边形、平行线的判定,全等三角形的性质,解题的关键是得到AF∥CD,且AF=CD. {答案}证明:∵ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,即AF∥CD, ∴∠AFE=∠DCE ∵点 E 是边 AD 的中点, ∴EF=EC, 又∵∠AEF=∠DEC, ∴△AEF≌△DEC, ∴ AF=DC ∴四边形 ACDF 是平行四边形. {分值}6 {章节:[1-18-1-2]平行四边形的判定} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:平行四边形边的性质} {考点:两直线平行内错角相等} {考点:全等三角形的判定ASA,AAS} {考点:全等三角形的性质} {考点:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形} {题目}20.(2019年郴州T20)我市去年成功举办 2018 郴州国际休闲旅游文化节,获评“全国森林旅游示范市”.我市有 A,B,C,D,E 五个景区很受游客喜爱.一旅行社对某小区居民在暑假期间去 以上五个景区旅游(只选一个景区)的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图: (1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 人,m= ,并补全条形统计图; (2)若该小区有居民 1200 人,试估计去 B 地旅游的居民约有多少人? (3)小军同学已去过 E 地旅游,暑假期间计划与父母从 A,B,C,D 四个景区中,任 选两个去旅游,求选到 A,C 两个景区的概率.(要求画树状图或列表求概率) {解析}本题考查了扇形统计图;条形统计图;列表法与树状图法.(1)由D组人数及其所占百分比求得被调查人数,再用B组人数除以被调查人数所得的百分比求m,继而根据各组人数之和等于总人数求出C组的人数,从而补全条形统计图;(2)用样本估计总体,从而估计去 B 地旅游的居民人数;(3)依据树状图,可得共有12种等可能的情况,其中选中A、C的情况有2种,即可得选到 A,C 两个景区的概率. {答案}解:(1)有统计图可知:D组人数有20人,占调查人数的10%, 所以被调查到的人数为 20÷10%=200(人) 又B组人数为70,所以占被调查人数的70÷200×100%=35%, 所以m=35, C组人数为:200-20-70-20-50=40(人) 补全的条形统计图为: (2)若该小区有居民 1200 人,则去 B 地旅游的居民约有1200×=420(人); (3)画树状图如下: 可见,共有12种等可能的情况,其中选中A、C的情况有2种, 所以选到 A,C 两个景区的概率为. {分值}8 {章节:[1-25-2]用列举法求概率} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:两步事件不放回} {考点:扇形统计图} {考点:条形统计图} (第21题图) {题目}21.(2019年郴州T21)如图所示,巡逻船在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上,距离 A 处 30 km.在灯塔 C 的正南方向 B 处有一渔船发出求救信号,巡逻船接到指示后立即前往施救.已知 B 处 在 A 处的北偏东 60°方向上,这时巡逻船与渔船的距离是多少?(精确到 0.01 km.参考数据:≈1.414,≈ 1.732,≈ 2.449 ) {解析}本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题.延长CB交东西方向线于点D,则AD=AC·sin45°,AD=AB·sin60°,从而得到AC·sin45°=AB·sin60°,由于AC=30km,sin45°=,sin60°=,因此可求得AB,此即巡逻船与渔船的距离. {答案}解:延长CB交东西方向线于点D,则AD=AC·sin45°,AD=AB·sin60°, ∴AC·sin45°=AB·sin60°, 由于AC=30km,sin45°=,sin60°=, ∴AB===10≈24.49(km) 答:巡逻船与渔船的距离是24.49km. {分值}8 {章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:解直角三角形-方位角} {考点:解直角三角形} {题目}22.(2019年郴州T22)某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批A,B两种型号的机器.已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件,且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等. (1)每台A,B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件? (2)如果该企业计划安排A,B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件,为了如期完成任务,要求两种机器每小时加工的零件不少于72件,同时为了保障机器的正常运转,两种机器每小时加工的零件不能超过76件,那么A,B两种型号的机器可以各安排多少台? {解析}本题考查了分式方程的应用;一元一次不等式组的应用.(1)设一台A型号机器每小时加工x个零件,则一台B型机器每小时加工(x-2)个零件,根据一台A型机器加工80个零件与一台B 型机器加工60个零件所用时间相等可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;(2)利用两种机器每小时加工的零件不少于72件,不能超过76件,列方程组可得出结论. {答案}解:(1)设一台A型号机器每小时加工x个零件,则一台B型机器每小时加工(x-2)个零件, 根据,解得x=8 经检验x=8是原方程的解, 所以A型机器每小时加工零件8个,B型机器每小时加工零件6个; (2)设A型号机器安排y台,则B型号机器安排(10-y)台, 依题意,可得 72≤8y+6(10-y)≤76 解得 6≤y≤8 即y的可取值为:6,7,8 所以A,B两种型号的机器可以作如下安排: ① A型号机器6台,B型号机器4台; ② A型号机器7台,B型号机器3台; ③ A型号机器8台,B型号机器2台. {分值}8 {章节:[1-15-3]分式方程} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:其他分式方程的应用} {考点:一元一次不等式的整数解} {考点:一元一次不等式的应用} {题目}23.(2019年郴州T23)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,CD 与⊙O 相切于点 D,且 AD//OC. (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)延长 CO 交⊙O 于点 E.若∠CEB=30°,⊙O 的半径为 2,求 的长.(结果保留 π ) (第23题图) {解析}本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质和弧长的计算.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用是解决问题的关键. {答案}解:(1)证明:连接OD,如答图所示. (23题答图) ∵AD//OC, ∴∠COD=∠ADO,∠COB=∠DAO, 又∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO, ∴∠COD=∠COB, 在△COD和△COB中, ∴△COD≌COB, ∴∠CDO=∠CBO, 又CD 与⊙O 相切于点 D, ∴∠CDO=90°, ∴∠CBO=90°, ∴BC 是⊙O 的切线; (2)∵∠CEB=30°,∴∠COB=60°, 由(1)知,∠COD=∠COB, ∴∠COD=60°, ∴∠DOB=∠COD+∠COB=120° ∵⊙O 的半径为 2, ∴的长==. {分值}8 {章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:两直线平行同位角相等} {考点:两直线平行内错角相等} {考点:全等三角形的判定SAS} {考点:全等三角形的性质} {考点:切线的性质} {考点:切线的判定} {考点:弧长的计算} {题目}24.(2019年郴州T24)若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照学习函数的过程与方法,探究分段函数 的图象与性质. 列表: x … -3 - -2 - -1 - 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点:在平面直角坐标系中,以自变量 x 的取值为横坐标,以相应的函数值 y 为纵坐标,描出相应的点,如图所示. (1)如图,在平面直角坐标系中,观察描出的这些点的分布,作出函数图象; (2)研究函数并结合图象与表格,回答下列问题: ①点A(-5,y1),B(-,y2),C(x1,),D(x2,6)在函数图象上,则 y1 y2 , x1 x2 ;(填“>”、“=”或“<”) ②当函数值y=2 时,求自变量 x 的值; ③在直线x=-1的右侧的函数图象上有两个不同的点 P( x3,y3 ),Q( x4,y4 ) ,且y3=y4 ,求 x3+x4的值; ① 若直线 y=a 与函数图象有三个不同的交点,求 a 的取值范围. {解析}本题考查了函数图象的一般画法,分段函数的增减性,绝对值的性质等内容. {答案}解:(1)根据列表、描点,可以做出函数图像,如下图: (2)①由图象可知,当x≤-1时,函数值随x的增大而减小, 因为A、B在函数图象上,且-5<-<-1, 所以y1<y2. 又因为>2,6>2,C、D在函数图象上, 所以C、D在函数图象y=x-1(x>1)上,且函数值随x的增大而增大, ∵<6,∴x1<x2. 即这里的两空应填:<;<. ②当y=2时,若x≤-1,则有-=2,解得x=-1; 若x>-1时,则有|x-1|=2,即x-1=±2, 解得x=3或x=-1(不合题意,舍去) 综上所述,y=2时,自变量x的值为-1或3. ③若点 P( x3,y3 ),Q( x4,y4 ) 是直线x=-1的右侧的函数图象上的两个不同的点,且y3=y4 ,则|x3-1|=|x4-1|,所以x3-1=-(x4-1), 所以x3+x4=2. ④若直线 y=a 与函数图象有三个不同的交点, 通过观察函数图象可知:0<a<2. {分值}10 {章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {难度:3-中等难度} {类别:高度原创} {考点:分段函数} {考点:函数图象上的点} {考点:一次函数的性质} {考点:反比例函数的性质} {题目}25.(2019年郴州T25)如图1,矩形ABCD中,点E为AB边上的动点(不与A,B重合),把△ADE沿DE翻折,点A的对应点为A1 ,延长EA1交直线DC于点F,再把∠BEF折叠,使点B的对应点B1落在EF上,折痕EH交直线BC于点H. (1)求证:△A1DE∽△B1EH; (2)如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴,若点A1恰好落在直线MN上,试判断△DEF的形状,并说明理由; (3)如图3,在(2)的条件下,点G为△DEF内一点,且∠DGF=150°,试探究DG,EG,FG的数量关系. (第25题图) A1 B1 A1 B1 A1 B1 {解析}本题考查了相似三角形的判定,轴对称图形的性质,勾股定理等内容. {答案}解:(1)证明:由于△ADE沿DE翻折,点A的对应点为A1 , ∴∠AED=∠A1ED 再把∠BEF折叠,使点B的对应点B1落在EF上,折痕EH交直线BC于点H. ∴∠BEH=∠FEH, 又∠AED+∠A1ED+∠BEH+∠FEH=180° ∴∠A1ED+∠FEH=90° ∵ABCD是矩形,∴∠EDA1+∠A1ED=180°-90°=90° ∴∠∠EDA1=∠FEH, 又∠DAE=∠DA1E=∠HBE=∠HB1E=90°, ∴△A1DE∽△B1EH; (2)△DEF是等边三角形,理由如下: ∵MN是矩形的对称轴,点A1恰好落在直线MN上, ∴,即EA1=A1F, 又∠DA1E=90° ∴DA1是EF的垂直平分线, ∴DE=DF,∠EDA1=∠FDA1,即△DEF是等腰三角形. ∵△A1DE是△ADE沿DE翻折得到的, ∴∠ADE=∠A1DE=∠A1DF=∠ADC=30°, ∴∠EDF=60°, 即△DEF是等边三角形. (3)DG,EG,FG所满足的数量关系为:DG2+FG2=EG2. 理由如下: 将△EDG绕点E逆时针旋转60°,从而旋转后的ED将会和EF重合,同时G点落在了 G1的位置(如答图). 由于△EFG1是由△EDG旋转过去得到的, 因此FG1=DG,EG=EG1,∠GEG1=60°. ∴GG1=EG, 所以△GFG1的三边长事实上分别等于GF、GD、GE。 又∠GFG1=∠G1FE+∠GFE =∠GDE+∠GFE =(60°-∠GDF)+(60°-∠GFD) =120°-(∠GDF+∠GFD) =120°-(180°-∠DGF) =120°-(180°-150°) =90° 所以△GFG1是直角三角形,且GF2+G1F2=GG12, 即DG2+GF2=GE2. {分值}10 {章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {难度:4-较高难度} {类别:发现探究} {考点:相似三角形的判定(两角相等)} {考点:垂直平分线的性质} {考点:等边三角形的判定} {考点:轴对称的性质} {考点:旋转的性质} {考点:勾股定理} {题目}26.(2019年郴州T26)已知抛物线y=ax2 + bx + 3与x轴分别交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标; (2)点F是线段AD上一个动点. ①如图1,设k=,当 k 为何值时,CF=AD ? ②如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与△ABC相似?若相似,求出点F的坐标;若不相似,请说明理由. A B O C D F y y y O O A A B B C C D D F F {解析}本题考查了有关二次函数的综合性问题.解题的关键在于熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题. {答案}解:(1)因为抛物线y=ax2 + bx + 3与x轴分别交于A(-3,0),B(1,0)两点, ∴,解得 ∴抛物线的表达式为y=-x2-2x+3, ∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, ∴抛物线的顶点D的坐标为(-1,4). (2)①∵A、D两点的坐标分别为:A(-3,0),D(-1,4), ∴可设过A、D两点的直线的表达式为y=mx+n, 依题意,得,解得 ∴直线AD的表达式为y=2x+6. 又∵抛物线y=ax2 + bx + 3与y轴的交点为C, ∴C点的坐标为(0,3), ∴AD2=[-3-(-1)]2+(0-4)2=20, AC2=(-3-0)2+(0-3)2=18, DC2=(-1-0)2+(4-3)2=2, 即AD2=AC2+DC2, ∴△ACD是直角三角形,且∠ACD=90°, 若CF=AD,则点F为AD的中点, 此时,k==, ∴当k=时,CF=AD. ②因为点F在AD上,所以可设F点的坐标为(t,2t+6) ∴AF=, OF= OA=3 由(2)①知△ABC各边的长为AC=,BC=,AB=4, 又tan∠DAC===,tan∠OCB== ∴∠DAC=∠OCB, ∵OA=OC=3,∴∠OAC=∠OCA ∴∠DAO=∠DAC+∠OAC=∠OCB+∠OCA=∠ACB, (i) 当时,我们有,解得t=-2 即当t=-2时,△OFA∽△ABC,此时F点的坐标为(-2,2); (ii)当时,我们有,解得t=-, 即当t=-时,△FOA∽△ABC,此时点F的坐标为(-,); 综上所述,当点F的坐标为(-2,2)或(-,)时,以A,F,O为顶点的三角形是否与△ABC相似. {分值}12 {章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {难度:5-高难度} {类别:思想方法} {考点:代数综合} {考点:二次函数y=ax2+bx+c的性质} {考点:二次函数的三种形式} {考点:二次函数中讨论相似} {考点:相似三角形的判定(两边夹角)} {考点:勾股定理}查看更多