高考数学模拟试题7苏教版

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高考数学模拟试题7苏教版

‎2015年高考模拟试卷(7)‎ ‎ 第Ⅰ卷(必做题,共160分)‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分 . ‎ ‎1.复数= .‎ ‎2. 设全集={1,2,3,4,5},={2,4},则= . ‎ ‎3. 从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ‎ . ‎ ‎4.某单位有职工52人,现将所有职工按l,2,3,…,52随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知6号,32号,45号职工在样本中,则样本中还有一个职工的编号是________.‎ ‎5.执行如图所示的程序框图,若输出的值为11,则输入自然数的 值是 .‎ ‎6.一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,‎ 那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为________.‎ ‎7. 已知各项均为正数的等比数列中,与的等比中项为,则的最小值为 .‎ ‎8. 给出下列几个命题:‎ ‎①若函数是定义域为的奇函数,对于任意的 都有,则函数的图象关于直线对称;‎ ‎②已知是函数定义域内的两个值,当时,,则是减函数;‎ ‎③设函数的最大值和最小值分别为和,则;‎ ‎④若是定义域为的奇函数,且也为奇函数,则是以4为周期的周期函数.‎ 其中正确的命题序号是 .(写出所有正确命题的序号)‎ ‎9.设F1、F2是双曲线-y2=1的两个焦点,P在双曲线上,当△F1PF2的面积为2时, 的值为 . ‎ ‎10.已知函数的值域为,若关于的不等式的解集为,则实数的值为 .‎ ‎11.已知正实数满足,则的最大值为 .‎ ‎12.已知圆C:,点P在直线l:上,若圆C上存在两点A、B使得,则点P的横坐标的取值范围是 .‎ ‎13.在中,内角所对的边分别为,,,令.‎ 若函数(是常数)只有一个零点.则实数的取值范围是 .‎ ‎14.设两个向量和,其中.‎ 若,则的取值范围是 .‎ 二、解答题:本大题共6小题,共90分.‎ ‎15.(本小题满分14分)在中,角的对边分别为,已知,‎ 且成等比数列.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎16.(本小题满分14分)如图,直角梯形中,∥,,平面平面,为等边三角形,分别是的中点,.‎ ‎(1)证明;‎ ‎(2)证明∥平面;‎ ‎(3)若,求几何体的体积.‎ ‎17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,其焦点在圆上.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设是椭圆上的三点(异于椭圆的顶点),且存在锐角,使 ‎.‎ ‎① 求证:直线与的斜率的乘积为定值;‎ ‎② 求的值.‎ ‎18. (本小题满分16分) 某小区想利用一矩形空地建造市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一个水塘(如图中阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中,,且中,,经测量得到.为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏.设计时经过点作一条直线交于,从而得到五边形的市民健身广场.‎ ‎(1)假设,试将五边形的面积表示为的函数,并注明函数的定义域;‎ ‎(2)问:应如何设计,可使市民健身广场的面积最大?并求出健身广场的最大面积.‎ A B C D E F M N G ‎ ‎ ‎19.(本小题满分16分)已知函数().‎ ‎(1)当时,求的图象在处的切线方程;‎ ‎(2)若函数在上有两个零点,求实数的取值范围;‎ ‎(3)若函数的图象与轴有两个不同的交点,且,‎ 求证:(其中是的导函数).‎ ‎20.(本小题满分16分)设数列的各项均为正数,若对任意的,存在,‎ 使得成立,则称数列为“型”数列.‎ ‎(1)若数列是“型”数列,且,,求;‎ ‎(2)若数列既是“型”数列,又是“型”数列,证明数列是等比数列.‎ 第Ⅱ卷(附加题,共40分)‎ ‎21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,每小题10分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答. ‎ A.(选修4-1:几何证明选讲)如图,的直径的延长线与弦的延长线相交于点,为上一点,,求证:.‎ B.(选修4-2:矩阵与变换)已知二阶矩阵有特征值,及对应的一个特征向量 ‎,并且对应的变换将点.变换成,求矩阵.‎ ‎ ‎ C.(选修4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,圆C的圆心坐标为,半径为2. 以极点为原点,极轴为的正半轴,取相同的长度单位建立平面直角坐标系,直线 的参数方程为(为参数)‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)设与圆C的交点为, 与轴的交点为,求 D.(选修4-5:不等式选讲)已知,,为正实数,若,求证:.‎ ‎【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.‎ ‎22.(本小题满分10分)如图,在四棱锥中,底面,, , ,,点为棱的中点. ‎ ‎(1)证明;‎ ‎(2)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.‎ ‎23.(本小题满分10分)已知 ‎(1)若,求证是奇数;‎ ‎(2)求证对于任意,都存在正整数,使得.‎ ‎2015年高考模拟试卷(7)参考答案 第Ⅰ卷(必做题,共160分)‎ 一、填空题 ‎1. ; 2. {1,3,5}; 3. ; 4. 19; 5. 4; 6. 3∶2.【解析】设圆柱的底面半径是r,则该圆柱的母线长是2r,圆柱的侧面积是2πr·2r=4πr2,设球的半径是R,则球的表面积是4πR2,根据已知4πR2=4πr2,所以R=r.所以圆柱的体积是πr2·2r=2πr3,球的体积是πr3,所以圆柱的体积和球的体积的比是=3∶2; 7.8; 8.③④;9.3;10. ; 11..【解析】.‎ 令,则,令 得,进而可求得,所以; 12.;13.或.【解析】,得 函数只有一个零点,即方程在上只有一解,‎ 即函数与的图像只有一个交点,所以或,‎ 从而或;14. .【解析】由,得 由,得 ‎,又, ‎ 则,∴‎ 解得,而,故.‎ 二、解答题 ‎15. (1)根据题意得,.‎ 由正弦定理得,‎ ‎,‎ ‎(2)‎ ‎,. ‎ ‎. ‎ 由余弦定理得 ‎ ‎ ‎16.(1) 为等边三角形,是的中点 ‎,‎ 又因为平面平面,交线为,平面 根据面面垂直的性质定理得 平面; ‎ 又平面 ‎ .‎ ‎(2)取中点G,连接 ‎ ‎,且 ,‎ ‎,‎ ‎,且 ,‎ 四边形是平行四边形 ‎ ,‎ 又平面,平面 平面.‎ ‎(3)依题,直角梯形中,,‎ 则直角梯形的面积为 ,‎ 由(1)可知平面,是四棱锥的高,‎ 在等边中,由边长,得,‎ 故几何体的体积为 ‎ ‎ .‎ ‎17.(1)根据题意得,于是,‎ 所以椭圆方程为. ‎ ‎(2)①设则,‎ 又设,由得, ‎ 又在椭圆上,‎ 整理得,‎ ‎,.‎ 为定值. ‎ ‎②‎ ‎ ,又, ,‎ ‎.‎ ‎18.(1)作GH⊥EF,垂足为H,因为,所以,因为 所以,所以 ‎ 过作交于T,则 ‎,‎ 所以 ‎ 由于与重合时,适合条件,故, ‎ ‎(2), ‎ ‎ 所以当且仅当,即时,取得最大值2000, ‎ 答:当时,得到的市民健身广场面积最大,最大面积为. ‎ ‎19.(1)当时,,,切点坐标为,‎ 切线的斜率,则切线方程为,即. ‎ ‎(2),则,‎ ‎∵,故时,.当时,;当时,.‎ 故在处取得极大值. ‎ 又,,,则,‎ 所以,在上的最小值是 ‎ 在上有两个零点的条件是,解得 所以实数的取值范围是 . ‎ ‎(3)因为的图象与轴交于两个不同的点 所以方程的两个根为,则,两式相减得 ‎,又,则 下证(*),即证明 即证明在上恒成立 ‎ 因为又,所以 所以,在上是增函数,则,从而知 故,即成立 ‎20. (1)由题意得,成等比数列,且公比,‎ ‎. ‎ ‎(2)由是“型”数列得…成等比数列,设公比为. ‎ 由是“型”数列得…成等比数列,设公比为;‎ ‎…成等比数列,设公比为;‎ ‎…成等比数列,设公比为; ‎ 则,,,‎ ‎,不妨令,则. ‎ ‎,‎ 综上,,从而是等比数列. ‎ 第Ⅱ卷(附加题,共40分)‎ ‎21. A. ,为直径 又 ‎.‎ B.设,由=3,得. ‎ 由=,得, ‎ 可以解得, ‎ 故. ‎ C. (1)法一:在直角坐标系中,圆心的坐标为,所以圆C的方程为即, ‎ 化为极坐标方程得,即.‎ 法二:令圆C上任一点,‎ 在中(其中O为极点),, ‎ 由余弦定理得 从而圆C的极坐标方程为.‎ ‎(2)法一:把代入得,所以点A、B对应的参数分别为,‎ 令得点P对应的参数为.‎ 所以.‎ 法二:把化为普通方程得, ‎ 令得点P坐标为,‎ 又因为直线l恰好经过圆C的圆心C,‎ 故.‎ D.,‎ ‎ . ‎ ‎22. 依题意,以点为原点建立空间直角坐标系,‎ 可得,,,.由为棱的中点,得.‎ ‎(1)向量,,故. 所以,.‎ ‎(2)向量,, ,.‎ 由点在棱上,设,.‎ 故.‎ 由,得,‎ 因此,,解得. ‎ 即.‎ 设为平面的法向量,则即 不妨令,可得为平面的一个法向量. ‎ 取平面的法向量,则 ‎.‎ 易知,二面角是锐角,所以其余弦值为. ‎ ‎23. (1)由二项式定理得,‎ 所以,为奇数. ‎ ‎(2)由(1),设 所以. ‎ 当为偶数时,,存在,使得;‎ 当为奇数时,,存在,使得;‎ 综上,对于任意,都存在正整数,使得. ‎
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