山东省济南市章丘市第四中学2019-2020学年高二下学期第五次质量检测数学试题

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山东省济南市章丘市第四中学2019-2020学年高二下学期第五次质量检测数学试题

章丘四中·第五次网上教学质量评估 数 学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.‎ ‎4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.‎ 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数,则在复平面内对应点所在象限为( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发,一方有难八方支援,全国各大医院抽调精兵强将参加武汉疫情狙击战,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机,编号分为1,2,3,4,5,6号,同时到达武汉天河飞机场,每五分钟降落一架,其中1号与6号相邻降落的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,且,N为BC中点,则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4.设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.的展开式的各项系数和为243,则该展开式中的系数是( )‎ A.5 B. C. D.100‎ ‎6.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,事件A为“第一次取到的是奇数”,B为“第二次取到的是3的整数倍”,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.在四面体ABCD中,,,,,,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知定义在R上的函数的导函数为,且对任意都有,,则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9.给出下列命题,其中正确的命题有( )‎ A.设具有相关关系的两个变量x,y的相关系数为r,则越接近于0,x,y之间的线性相关程度越高 B.随机变量,若,则 C.公共汽车上有10位乘客,沿途5个车站,乘客下车的可能方式有种 D.回归方程为中,变量y与x具有正的线性相关关系,变量x增加1个单位时,y平均增加0.85个单位 ‎10.如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )‎ A.直线BC与平面所成的角等于 B.点C到面的距离为 C.两条异面直线和所成的角为 D.三棱柱外接球表面积为 ‎11.针对时下的“抖音热”,某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢抖音的人数占男生人数的,女生喜欢抖音的人数占女生人数,若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关,则调查人数中男生可能有( )人.‎ 附表:‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ 附:‎ A.25 B.45 C.60 D.75‎ ‎12.对于函数,下列说法正确的是( )‎ A.在处取得极大值 B.有两个不同的零点 C.‎ D.若在上恒成立,则 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.若函数,则的值为__________.‎ ‎14.在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布,已知成绩在80到90分之间的学生有120名,若该校计划奖励竞赛成绩在90分以上(含90分)的学生,估计获奖的学生有_______人(填一个整数)(参考数据:若,则,,.)‎ ‎15.为了宣传校园文化,让更多的学生感受到校园之美,某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄,若每个地点至少有1支小队拍摄,则不同的分配方法有_______种.(用数字作答)‎ ‎16.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,,是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,,则球O的体积为_______‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 正四棱柱,中,,E为中点,F为AD中点.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)若直线AC与平面所成的角为,求的长.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成,每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关,经统计得到如下数据:‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎112‎ ‎61‎ ‎44.5‎ ‎35‎ ‎30.5‎ ‎28‎ ‎25‎ ‎24‎ 根据以上数据,绘制了散点图.‎ 参考数据:(其中)‎ ‎183.4‎ ‎0.34‎ ‎0.115‎ ‎1.53‎ ‎360‎ ‎22385.8‎ 参考公式:对于一组数据,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:.‎ ‎(1)观察散点图判断,与哪一个适宜作为非原料成本y与生产该产品的数量x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)‎ ‎(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y与x的回归方程.‎ ‎(3)试预测生产该产品10000件时每件产品的非原料成本 ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)若函数在处的切线与直线垂直,求函数的单调区间及函数在上的最大值和最小值;‎ ‎(2)若时,函数在区间上是减函数,求实数a的取值范围.‎ ‎20.(本题满分12分)‎ 在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD,,,,,E为PD的中点,点F在PC上,且.‎ ‎(1)求证:平面平面PAD;‎ ‎(2)求二面角F-AE-P的余弦值.‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题,拟定出台“延迟退休年龄政策”为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15-65岁的人群中随机调查100人,调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下:‎ 年龄 支持“延迟退休”的人数 ‎15‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎28‎ ‎17‎ ‎(1)由以上统计数据填2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异;‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 支持 不支持 总计 参考数据:‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎,其中.‎ ‎(2)若以45岁为分界点,从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动、现从这8人中随机抽2人.记抽到45岁以上的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.‎ ‎22.(本题满分12分)‎ 已知 ‎(1)讨论f(x)的单调性:‎ ‎(2)若f(x)存在两个极值点,,证明:.‎ 数学标准答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B D C A C B D B BD ABD BC ACD 二、填空题:‎ ‎13.24 14.20 15.540 16.‎ 三、解答题:‎ ‎17.解析(1)法1:以A为坐标原点,建立空间直角坐标系 设,‎ 则,,,,‎ ‎,,‎ 故,,,‎ 设平面的法向量 ‎,不妨取,‎ 得平面的一个法向量 ‎,‎ 又平面,所以平面.‎ 法2:连接交于O,则O为中点.连接EO,OF.‎ 因为正四棱柱,‎ 所以,且 又因为E为中点,‎ ‎∴,且.‎ 中,O,F为中点,‎ ‎∴,且 ‎∴,且.‎ ‎∴,∴‎ 又平面,平面,‎ 所以平面.‎ ‎(2),则.‎ 直线AC与平面AED,所成的角为,‎ 即 解得,即的长为.‎ ‎18.(1)适宜.‎ ‎(2),则 ‎.‎ ‎(3)当(千件)时,‎ 所以预测生产该产品10000件时每件产品的非原料成本为21元.‎ ‎19.(1)与直线垂直的直线斜率为2,‎ 令,∴‎ 令,∴,‎ 所以的单减区间为,增区间为 因为在上减,在上增,‎ 所以函数在上的最大值为,‎ 最小值为 ‎(2)若时,‎ 若函数在区间上是减函数,‎ 则在区间上恒成立 即,恒成立.‎ 设 ‎∴在区间上恒成立.‎ 所以在上单调递增,‎ 所以.‎ ‎20.(1)证明因为平面ABCD,平面ABCD,‎ 所以.‎ 又因为,,平面PAD,‎ 所以平面PAD.‎ 又平面PCD,所以平面平面PAD.‎ ‎(2)过点A作AD的垂线交BC于点M.‎ 因为平面ABCD,平面ABCD,‎ 所以,.‎ 建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则,,,,.‎ 因为E为PD的中点,所以.‎ 所以,,‎ 所以,‎ 所以.‎ 设平面AEF的法向量为,则 令,则,.‎ 于是.‎ 又因为平面PAD的一个法向量为,‎ 所以.‎ 由题知,二面角为锐角,所以其余弦值为.‎ ‎21.(1)由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人,故填充列联表如下:‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 支持 ‎35‎ ‎45‎ ‎80‎ 不支持 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 因为的观测值 ‎,‎ 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.‎ ‎(2)从不支持“延迟退休”的人中抽取8人,则45岁以下的应抽6人,45岁以上的应抽2人.所以X 的可能取值为0,1,2.‎ ‎,,;‎ 故随机变量X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以.‎ ‎22.(1)的定义域为,‎ 对于一元二次方程,‎ ‎①若,即时,‎ 则恒成立,所以在单调递减.‎ ‎②若,即或时,‎ 令得,或 ‎(i)当时,当时,;‎ 当时,‎ 所以在单调递减,‎ 在单调递增.‎ ‎(ⅱ)当时,的两根均小于0,‎ 在单调递减. ‎ 综上:当时,在单调递减.‎ 当时,在单调递减,‎ 在单调递增.‎ ‎(2)由(1)知,存在两个极值点当且仅当.‎ 由于的两个极值点,满足,‎ 所以,不妨设,则.‎ 由于 所以等价于.‎ 设函数,‎ 由(1)知,在单调递减,‎ 又,从而当时,.‎ 所以,即.‎
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